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文档简介

PAGE4巧用命题的等价性解题对于命题学习，当判断命题的充要关系，证明命题真假，不易判定时，可以考虑它的等价命题。进而化难为易，利用互为逆否命题的关系对两个命题同真或同假的性质进行判断。用于判断命题的真假例1、判断命题“若m>0，则有实数根”的逆否命题的真假。分析：常规思路是先根据已知命题写出期逆否命题，进而判断逆否命题的真假，求解过程较繁琐，由于逆否命题与原命题互为等价命题，故可以直接判断原命题的真假。解：因为m>0，所以方程的判别式，所以方程有实根，即原命题为真命题，又因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则有实数根”的逆否命题也为真命题。点评：有关命题的真假的判断是一类常见题型，解决此类问题应根据问题的题设特点灵活运用相应的策略。例2、判断命题“如果方程至少有一个负实根，则”的真假。分析：本命题若从条件入手，求结论，需讨论多种情况，比较复杂。因此我们考虑它的逆否命题的真假，进而判定它的真假。解：原命题的逆否命题是“如果方程a>1，则没有负实根”。因为当a>1时，方程根的判别式，所以方程没有负实根，即逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题。点评：含有至多（至少）等词语的命题的真假有时难以判定，我们可通过逆否命题来判定，但要注意将逆否命题书写正确。用于判断命题的充要关系例3、已知p：，q：，则是的什么条件分析：本题中给的是否定形式，可以考虑它的逆否命题。解：由，得，由，得，因为互为逆否的命题具有等价性，要判断是的什么条件，只要判断q是p的什么条件即可。由于，所以q是p的充分不必要条件，即是的充分不必要条件。点评：当我们正面求解比较困难时，可以考虑其逆否命题来解决，同时本题亦可以采用集合法。证明命题例4、已知，求证：分析：本题其实就是要我们来证明命题“若，则”是真命题，显然不太容易，我们可以先证明它的逆否命题。证明：命题“若，则”逆否命题为：“若a＝2b＋1，则”，于是，由a＝2b＋1，得，显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，故成立。点评：证明逆否命题的方法表现为反证法，是数学中证明问题的一种重要方法，显然它更是一种策略，当“正面不易突破”时，要变换角度，从“反面进军”。在推理中应用例5、根据已有证据，可以得到如下3个判断：（1）若A无罪，则B与C都有罪；（2）在B与C中必有一人无罪；（3）要么A无罪，要么B有罪试判断：A、B、C究竟谁有罪解：用p，q，r分别表示“A有罪”、“B有罪”、“C有罪”三个命题，则三个判断依次为：①非p则q且r；②非q或非r为真；③非p或q为真。又因为①的逆否命题是：非q或非r则p，结合②知q为真。由此，结合③知q为真。再结合2知非r为真，即r假，故A，B有罪，C无罪

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