新高中人教B版数学必修三同步练习13中国古代数学中的算法案例(含答案解析)

§1.3中国古代数学中的算法案例1．求两个正整数最大合约数的算法更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用______和__________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作素来做下去，直到产生____________，这个数就是最大合约数．2．割圆术割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．3．秦九韶算法把n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋＋a1x＋a0改写为P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋＋a2)x＋a1)x＋a0(((anx＋an－1)x＋an－2)x＋＋a1)x＋a0令vk＝__________________，则递推公式为，其中k＝1,2，，n.一、选择题1．自然数8251和6105的最大合约数为()A．37B．23C．47D．1112．五次多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－1，用秦九韶算法求f(－2)等于()2197197183183A．－2B.2C.2D．－23．以下哪组的最大合约数与1855,1120的合约数不同样()A．1120,735B．385,350C．385,735D．1855,3254．用更相减损之术求294和84的最大合约数时，需做减法的次数是()A．2B．3C．4D．55．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为()A．10B．9C．12D．86．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值()A．27B．11C．109D．36二、填空题7．用更相减损之术求36和134的最大合约数，第一步应为______________．8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为________．9．我国古代数学发展素来处于世界当先水平，特别是割圆术、更相减损之术、秦九韶算法等，其功能与欧几里得算法同样的是______________．三、解答题10．求210与98的最大合约数．11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．能力提升12．求三个数168,54,264的最大合约数．13．用秦九韶算法求f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8中x＝5时f(x)的值．秦九韶算法的特点秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转变成求n个一次多项式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋＋a1x＋a0的值转变成求递推公式：v0＝anvk＝vk－1x＋an－k＝1，2，，这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式对照减少了乘法的运算次数，提升了运算效率．答案知识梳理1．差较小的数一对相等的数2.正多边形面积逐渐逼近圆面积3.((anx＋an－1)x＋＋an－(k－1))x＋an－kv0＝anvk＝vk－1x＋an－k作业设计1．A[利用更相减损之术可得它们的最大合约数为37.]12．A[∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－2，f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－1＝－197.]223.D∵（1855,1120）→(735,1120)→(735,385)→(350,385)→(350,35),（315，35）→(35,35)1855与1120的合约数是35,由以上计算过程可知选D.］4.C∵（294，84）→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42),∴需做4次减法.］5．C[∵f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴加法6次，乘法6次，6＋6＝12(次)，应选C.]6．D[将函数式化成以下形式，f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1.由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.]7．134－36＝98剖析第一步为较大的数减去较小的数．8．220剖析v4＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋a3)x＋a2，把a6＝3，a5＝5，a4＝6，a3＝79，a2＝－8，x＝－4代入可得v4＝220.9．更相减损之术10．解∵(210,98)→(112,98)→(14,98)(84,14)→(70,14)(56,14)→(42,14)(28,14)→(14,14)，∴210与98的最大合约数为14.11．解将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.12．解∵（168,54）→(114,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)，→(6,6)∴168和54的最大合约数为6.(54，264)→(210,54)→(210,54)→(156,54)→(102,54)→(54,48)→(48,6)→(42,6)→→(6,6)，∴54和264的最大合约数为6.故168,54,264的最大合约数为6.13．解依照秦九韶算法，把多项式改写为以下形式：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x＋(－2.6))x＋1.7)x－0.8，按从内向外的序次依次计算一次多