高中数学概率学案

高中数学概率学案第1页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四问题一：正偶数多还是正整数多?

定义1：设A，B是二个非空集合。若存在从A到B的一对一映射，则称A，B对等（或称“一样多”）。设正偶数集为A:={2,4,…,2k,…};正整数集为B:={1,2,…,k,…}.于是我们可建立一一对应：2～1，4～2，…

2k～k，…这说明正偶数集与正整数集“一样多”！第2页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四

“实变函数论”中还证明，有理数比无理数“少”。

在此意义下，“实变函数论”中已证明，正整数与全体有理数也是“一样多”的。第3页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四

但在函数论中有另外一种比利时较方法！

以原点为中心，任意画一个大圆。在这个圆中，算一算，看整数多，还是偶数多。

在这个定义下，可看出整数比偶数多。因此：数学的结论必须根据定义!!第4页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四问题二：美国选总统是不是随机事件?

布什当选的概率是多少?为此，我们先回忆一下定义！第5页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四有的事情通过一系列实验或观察,会得到不同的结果.对几种结果呈现出一种偶然性.我们称这种现象为随机现象.随机现象的每种结果,称为随机事件.第6页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四记某个随机事件为A,若在u次彼此无关的试验(或观察)中出现了v次,则发生称F(u,A)=v/u为随机事件A在u次独立试验中出现的频率.事件A的频率v/u会在某一常数P附近摆动.且当u越大时,这种摆动幅度越小.则称常数P为事件A的概率.记为P(A).一、概率的统计定义:第7页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四i)、不确定性:每次实验的结果(事件)具有多个可能性,且不能确定每次试验会出现哪种结果.ii)、可重复性:在相同的条件下,试验可重复进行;或者可以同时进行多次的相同试验.概率的统计定义是一种最基础的定义.它说明了事件的概率是客观存在的.也给出了概率的最原始求法.从定义可以看出,我们指的随机现象应具有二个条件:第8页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四(1)、平常,人们对第一个条件"不确定性"映象很深.对第二个条件-可重复性,往往容易忽视.从定义可以看出,概率论是一门实践性很强的科学.忽视了可重复性,就忽视了它的基础.第9页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四(2)、有些事情:比如美国的总统选举.虽然选举前不能确定它的结果.但它不满足可重复性.所以它不是数学中所指的随机现象.因此也不存在"概率"的问题.如果有四人预测美国的选举结果:甲说"布什有95%的可能当选."乙说"布什有50%的可能当选."丙说"布什有5%的可能当选."丁说"布什肯定不会当选."若结果是布什当选了.上面仅有丁一人说错.若布什没有当选.上面四人全没有错.由于美国的选举不可重复.实际上,前面三人说的话是不可验证的,它只是反映了说话人的主观态度及认识.在概率论中是无意义的.第10页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四有人认为对美国的选举结果谈"概率"是可以的.但是：1)你总要提出它的定义,及计算方法.由于没有可重复性,这里已不能用统计定义计算.即使你提出了一种不同的方法,那么或者你必须证明你的定义与公认的统计定义等价,或者你提出的是另一种意义下的“概率”.但决不是上述统计定义下的概率.2)你必须对结果作出判断.至少要合理地指出上面甲,乙,丙,丁的说法,谁更正确.有人说可通过民意测验的结果可计当选的概率.但总得有个具体的方法.比如说,若民意测验的结果是80%.您如何具体地计算出概率?当选的概率应是100%?90%?还是80%?若民意测验的结果是55%.您又如何计算出概率?第11页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四3)也有的人将此称为“主观概率”。即每个人根据自己的理解各自定义概率。因此对同一事件，概率因人各不相同。大家也就没有共同的计算，推演的基础。这在数学上是无意义的.

！第12页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四4)例如：对“白血病”。我们可以说“白血病”的“康复率”是多少，也可以说患“白血病”康复的概率是多少。这是因为世界上患“白血病”不少。我们的可以统计出它康复的百分比率。

但对于个人，比如说张三患了“白血病”。由于世界上只有一个张三，他要么“康复”，要么“不康复”。不存在百分比问题。即不存在“可重复性”。因此对个人也不存在数学意义下“康复”的概率。第13页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四二、古典概型：有一类人们称为古典概型的最简单的情况,可以通过概率的古典定义计算概率.但它必须满足下面的条件:

(我们说的基本事件,是根据问题的需要自主决定的.但一定要具有完整性及互不相容性,即,每次试验,有且仅有这n种事件{A_j}中的一种试验结果发生.例如,掷骰子,我们可以将出现1点,2点,…,6点看成由6个事件组成的基本事件组.也可以根据需要将"奇数点","偶数点"看成由2个事件组成的基本事件组.)i)、有有限的基本事件组A_1,A_2,…,A_n.第14页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四ii)、等可能性:

每次试验中,每个基本事件A_j出现的可能性是相同的,即它们出现的概率是相等的,P(A_1)=P(A_2)=…=P(A_n).(这里出现的概率,我们不妨称为初始概率.它仍然要用统计定义为基础.从上述可以看出,没有可重复性,就不能科学地谈等可能性.)第15页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四若实验结果由n个基本事件A_1,A_2,…,A_n.这些基本事件的出现具有相等的可能性.而事件A由其中m个基本事件组成.

则事件A的概率是P(A)=m/n.

概率的古典定义:第16页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四应用概率的古典定义,特别要注意基本事件的等可能性,即每个基本事件出现的概率要相等.因此它是以可重复性为基础的.没有可重复性,也就不存在等可能性.第17页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四2004年有这样一道高考填空题:某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副组长,其中至少有1名女生当选的概率是————.i)此题的"标准答案"认为,由于基本事件组有n=(7×6)/2=21个等可能的基本事件.其中事件A"至少有1名女生"是由m=(3×4)+(2×3)/2=15个基本事件组成.于是根据"概率的古典定义",

答案为:P(A)=m/n=5/7.ii)我们也可以将"有1名男生当选","有2名男生当选","没有男生当选"看成由3个等可能的基本事件组.这样"至少有1名女生当选"就由2个基本事件组成.

因此答案应该是2/3.第18页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四

问题三：二种解法的答案不同.到底谁对?二种解法都有合规定的基本事件组.问题出在对等可能性的理解上.许多人会认为第一种方法是等可能的.但仔细想想,这其实是个人的主观感觉.由于没有可重复性为基础,谁能说清楚,第一种就比第二种合理呢?别忘了要想科学地说清楚,首先你要建立一个可操作的准则.第19页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四有人说第二种解法中，"没有男生当选"是由“女甲，女乙”，“女甲，女丙”，“女乙，女丙”3种情况组成；"有2名男生当选"是由(4×3)/2=6种；"有1名男生当选"是由4×3=12种情况组成。它们怎么会是等可能的呢？我们冷静想想，说这种话的人其实是默认了第一种基本事件组是等可能的。反过来，若默认第二种基本事件组是等可能的，那么第一种基本事件组就一定不是等可能的了。第20页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四有人说第二种解法中的基本事件组不是不可分的。其实“不可分”本没有定义。所谓“基本事件组”它只是根据研究问题的需要选定的。例如：“生男孩”，“生女孩”通常可看成“基本事件组”。但若要研究男，女孩的体重分布，又可细分成：“4-5斤的男孩”，“5-6斤的男孩”，…“4-5斤的女孩”，…等，组成“基本事件组”。第21页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四在概率的公理化结构中，在满足几条公理的前提下，对随机事件及概率是可以人为规定的。若在上面题目中申明“假定每个人被选中的概率是相等的”，到也说得过去。但对数学的假定，尤其是在中学，应有相对的合理性，应有实践为背景.比如:假定天上有十个太阳；假定一个人头上长三只眼,放在数学应用题中，都是不合适的。选举的精神是体现民意,其基础就是承认人与人之间有差异.若要将结果规定成等可能的,也就没有必要进行选举,用抽签决定更省事。第22页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四事实上,在严谨的教科书中,只会将选举用于排列组合题,而不会用于求概率题.二者绝不能混为一谈.选举题可用于排列组合问题,是因为排列组合只考虑有几种结果,不涉及可能性的大小.但决不能想当然地照搬到概率题.第23页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四顺便指出:生活中除掷骰子,抽扑克牌…等是古典概型外.买彩票也是一个符合古典概型的例子.每张彩票都是等可能的.即中奖的机会是一样的。有些人,甚至我们的报纸,教人们如何选购彩票较有利.实际上是误导彩票购买者。而且前一期与后一期是“独立”的。即历史的结果，与以后将出现的结果无关。第24页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四事件的独立性:如果事件B的发生结果，不影响事件A发生的概率。则称事件A，B相互独立。第25页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四问题五：有一个家庭生了5个小孩，全是女儿。婆婆埋怨媳妇有问题。这是否有道理？从概率的观点看。如果我们观察3200个正常，健康的，生有5个小孩的夫妇，会发现1/25=1/32，即大约有100个家庭5个全是女孩；大约有100个家庭5个全是男孩。这是概率论的胜利。这不是妻子的问题.第26页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四反过来。若所有生5个孩子的家庭不可能全是男的，或全是女的。这就是说:生男,生女与前面生的记录有关。若再生一个孩子,那就意味着，一个有4个女孩的家庭.必定是男孩.也就是说不是“独立”的。这是说不过去的。第27页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四若说上述生5个女儿的妻子有“毛病”.其实这毛病也很好治!这时剩下约25个妻子已经连续生7个女孩了!是不是她们的“病”特别顽固呢?只要让她们再生一个小孩.则约有50个妻子会生男孩.即“治愈率”是50%.若让她们再生的是二个小孩.则约有75%的妻子至少会生一个男孩.即100个妻子中约有75个妻子的“病”会好.即“治愈率”是75%.第28页，共31页，2022年，5月20日，9点26分，星期四问题六：一个硬币有正，反二面。用投硬币赌博。猜对者赢。假定硬币是均匀的，也无舞弊。

假若