高二物理竞赛第3章刚体定轴转动讲义

PAGE35第3章刚体的定轴转动在第2章里，我们讨论了质点和质点系的动力学规律，对处理各类具体问题给出了普遍原理。然而在实际问题中，往往物体的大小和形状不可忽略，而大小和形状随时间的改变又微乎其微，这时就可以将物体作为刚体进行处理。在讨论刚体运动及其规律时，一般的做法是：把质量连续分布的刚体分成许多部分，每一部分称为刚体的质元，可以看作是一个质点，且各个质点间的距离保持不变。这时把刚体看成是由无数个质点构成的不变质点系，借助质点系所遵从的运动规律，通过积分求和的方法，得出刚体的运动规律。刚体的运动包括平动、定轴转动(fixed-axisrotation)和其它较复杂的运动形式。在这一章里，我们主要讨论刚体定轴转动的动力学规律。首先给出质心和质心运动定理，然后将牛顿运动定律应用定轴转动的刚体，导出刚体定轴转动的转动定律；进而分析作用在刚体上的力矩的时间累积效应和空间累积效应，讨论刚体的动量矩定理和动量矩守恒定律，以及刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律；最后简单地介绍对称性的概念及对称性与守恒定律的关系。通过本章的学习，应当掌握质心运动定理、刚体定轴转动的转动定律、动量矩定理、动量矩守恒定律、动能定理和机械能守恒定律，能够计算对刚体转轴的力矩、转动惯量、动量矩和动能等物理量，了解对称性的概念及其与守恒定律的联系。3.1质心质心运动定理3.1.1质心刚体的一般运动是比较复杂的，但是实践和理论都证明，刚体（可以推广到质点系）的整体运动可以用刚体或质点系的质量中心的运动来描述，这个质量中心称为质心(centerofmass)。例如，在手榴弹投掷运动中，若给其一个初速度，它将大体沿着“抛物线”形态运动，同时又处于不停的转动。认真观测可以发现，手榴弹上有一个特殊点真正作抛物线运动，其它各点一方面与这个特殊点作抛物线运动，同时又绕着这个特殊点转动。这个特殊点就是手榴弹的质心。对于N个质点构成的质点系，各个质点的质量分别是m1、m2…、mi、…、mN，其位置分别是、、…、、…，则质心的位置矢量定义为（3.1）式中，是质点系的总质量。质心位置矢量与参考点的选择有关，但可以证明，质心相对于质点系的位置完全由质点系的质量分布决定。在直角坐标系中，各个质点和质心的位置矢量是带入到（3.1式中，得出质心的坐标是，，（3.2）对于质量连续分布的物体，可以为它是无穷多个质量元的组合，其中任意一个质量元的质量为dm,视其为质点，位置是，则物体的质心位置是（3.3）在直角坐标系中的坐标是，，（3.4）应当明确，物体所受重力的作用点称为重心(centerofgravity)。在一般情况下，质心与重心是重合的。但是，质心的位置只决定于物体的质量分布，与物体是否受到重力的作用无关；而物体的重力随物体在地球上的位置不同会发生变化，离开地球引力范围，重心就失去了意义。3.1.2质心运动定理当质点系（或物体）发生运动时，其质心的位置将随时间变化。根据速度的定义，物体质心的运动速度是（3.5）式中，是第i个质点的速度。上式可以改写为（3.6）式中，是物体的总动量。这说明，物体的总动量等于物体的全部质量集中到质心、并以质心速度运动时的动量。同理，物体质心运动的加速度是（3.7）若物体上各质点所受到的外力的矢量和是，且，上式可以改写为（3.8）上式称为物体的质心运动定理(theoremofmotionofcenterofmass)。它表明：只要将物体的质量集中于质心，全部外力都集中在质心上，则物体的质心运动如同一个质点的运动。前面我们提到了手榴弹投掷例子。把手榴弹各部分所受的重力平行等值的移到它的质心后求和，得出物体所受的总重力，将全部质量集中于质心，根据质心运动定理，质心运动的加速度是重力加速度，质心的运动与质点的抛体运动是相同的。根据质心运动定理，物体质心的运动只与外力有关，物体内部各个质点之间相互作用的内力并不影响质心的运动。当作用于物体的外力的矢量和为零时，物体的质心加速度对于零，即：当外力的矢量和为零时，物体的质心保持静止或匀速直线运动状态。由于质心的特殊性，我们可以建立质心参照系。所谓质心参照系就是物体的质心在其中静止的平动参照系，而且往往把质心作为原点。在这样参照系中，质心的速度，即。因此，相对于质心参照系，物体的总动量为零。例3.1在光滑水平面上有一质量为m、长为l的均质细杆，一端可以绕固定轴无摩擦转动，另一端与质量为的小球固定在一起。若系统以不变的角速度ω在水平面上转动，问：（1）系统的质心位置；（2）细杆与固定轴之间的作用力。解（1）对于均质细杆，其质心在杆的中点。而小球可以视为质点，所以系统质心到转轴一端的位置是（2）根据质心运动定理，细杆与固定轴之间的作用力N是系统的外力，它使系统质心绕固定轴做圆周运动，其方向沿细杆的方向。于是有3.2刚体定轴转动定律3.2.1力对轴的力矩前面已经讨论了力对空间点的力矩，现在引入力对转轴的力矩的概念。力对轴的力矩定义为力对空间点力矩在转轴方向的分量（投影）或分矢量。如图3.1所示，设刚体所受的外力在转动平面内，力的作用点P到转轴中心点的矢径为，力臂的大小为d，则力对该转轴的力矩为图3.1力对轴的力矩(3.9)图3.1力对轴的力矩因为Ft是力在垂直于矢径方向的分量，所以力矩也可以表示为(3.10)应当指出，力矩不仅有大小，而且有方向。力矩的方向由力矩的定义式(3.11)来确定。在定轴转动中，力对轴的力矩的方向总是沿着转轴的，当转轴的方向确定之后，力矩的方向可由正、负号来决定。在定轴转动中，转轴的正方向就是角速度的方向。如果几个力同时作用于刚体上，而且这几个力均在转动平面内，则它们对轴的合力矩为(3.12)由于只讨论定轴转动的情况，此式也可写成(3.13)如果作用在刚体上的力不在转动平面内，在计算力对轴的力矩时，可以把力分解成两个相互垂直的分力,与转轴平行的分力对刚体的转动不起作用，只有与轴垂直的分力（即在转动平面内的分力）才对轴的力矩有贡献。例3.2如图3.2所示，长为l、质量为m的匀质细直杆，放在粗糙的水平面上，杆可绕通过其中心且与平面垂直的固定轴转动。已知杆与平面间的摩擦系数为μ，求杆绕竖直轴转动时所受的摩擦力矩。图3.2例3.2题图解杆转动时，所受摩擦力沿杆长连续分布，且杆上不同部位的摩擦力臂不等，故需用积分法求摩擦力的总力矩。图3.2例3.2题图如图3.2，建立ox坐标轴，杆上任一元段dx，质量为，所受的摩擦力为对转轴的阻力矩大小为由于各元段所受的阻力矩方向一致，则总的阻力矩大小为例3.3在三维坐标中，有一力N作用于点，求：2s时对Z轴的力矩。解由题意，力对原点的力矩为则力对Z轴的力矩为当t=2s时MZ=2Nm3.2.2转动定律刚体做定轴转动时，组成刚体的各个质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。在转动平面内，考虑刚体任意一个质点，设其质量为，其到轴的距离为，所受到的合外力为，不失一般性，假定在转动平面内，受到的合内力为，它们沿着圆周切线方向的分力分别为Fit和fit。，在切线方向上应用牛顿第二定律有其中，为刚体转动的角加速度。方程两边分别乘以，然后对所有质点求和有上式左边第二项为内力矩，由于内力总是成对出现的，且等值反向，所以其值为零。上式左边第一项是合外力矩，用M表示，右边括号内部分用I表示，则上式可写为写成矢量式为(3.14)式中，I定义为转动惯量(momentinertia)。转动惯量的物理意义和计算，下面会详细讨论。此式表明，刚体在合外力矩M作用下所获得的角加速度的大小与合外力矩的大小成正比，并与转动惯量I成反比。这一关系称为刚体的定轴转动定律（lawofrotationofarigidbodyaboutafixedaxis）。刚体的定轴转动定律在刚体动力学中的地位与牛顿第二定律在平动中的地位相当，它是定量研究刚体定轴转动问题的基本定律。为此，做作出如下说明。（1）代表所有外力对轴的力矩的矢量和，即合外力矩；为合外力矩引起刚体定轴转动的角加速度。（2）瞬时性。转动定律给出的是一种瞬时关系，为某一时刻刚体所受的合外力矩，为该时刻刚体产生的角加速度，二者同时存在，同时消失（3）同轴性。这一点很重要，力矩、转动惯量I和角加速度都是对同一确定轴而言的。例3.4一转动惯量为I的圆盘，绕一固定轴转动，起初角速度为ω0，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M=－kω（k为常数），试求角速度从ω0变为ω0／2时所需的时间。解由转动定律所以两边取定积分计算得出例3.5一绳跨过定滑轮，两端分别系质量为m1和m2的物体，m2>m1。滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，质量为m，半径为R，转动惯量为I=mr2/2，可绕水平轴自由转动。如图3.3所示。绳与滑轮间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。解按题意,滑轮具有一定的转动惯量，在作加速转动时，滑轮两侧绳子的张力不再相等。同时，滑轮作自由转动，故滑轮与轴间的摩擦力矩可忽略不计。将滑轮m和m1、m2隔离开，受力情况及假定的运动方向如图3.3所示。按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程对于m1，有T1-m1g=m1a图3.3例3.5题图对于m2，有m2g-T2=m2a图3.3例3.5题图对于滑轮m，有T2R-T1R＝Iβ考虑到角加速度β与切向加速度a的关系，有a=Rβ由上面四个方程联立解得当不计滑轮质量时，即m=0，则有3.2.3转动惯量由转动惯量的定义式(3.15)可以看出，转动惯量I与下列因素有关：（1）刚体的质量；（2）在质量一定的情况下，还与质量的分布有关，亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关。例如，同质料的质量相等的空心圆柱与实心圆柱，对于圆柱的轴而言，前者的转动惯量较大。③转动惯量与转轴的位置有关。例如，同一均匀细杆，对于通过杆的中心并与杆垂直的转轴和通过杆的一端并与杆垂直的另一转轴，后者的转动惯量较大。所以只有明确转轴，转动惯量才有明确的意义。在SI中，转动惯量I的单位为千克·米2(kg·m2)。由刚体定轴转动定律知，在作用于刚体上的力矩一定的情况下，转动惯量越大，刚体的角加速度越小，刚体转动状态改变越小。因此，刚体转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。一般刚体的质量是连续分布的，式（3.15）可以写成积分形式(3.16)式中，dm为任取的质元的质量，视刚体质量分布情况，dm可分别表示为(3.17)其中ρ、σ、λ分别为体积元dV、面积元dS和线元dl的体密度、面密度和线密度。下面举例计算几种具有简单对称形状的刚体的转动惯量。例3.6求质量为m、长为l的均质细杆对下列各轴的转动惯量：(1)轴通过杆的中心并与杆垂直；(2)轴通过杆的一端并与杆垂直；(3)轴通过杆上离中心为h的一点并与杆垂直。图3.4例3.6题图解如图3.4所示，在杆上任取一质量元，设它到轴的垂直距离为x，长度为dx，这质量元的质量dm=λdx，其中λ=m/l，故根据转动惯量定义式（3.16）有图3.4例3.6题图（1）轴通过杆的中心并与杆垂直（2）当轴通过杆的一端并与杆相垂直时（3）当轴通过杆上离中心为h的一点并与杆垂直时由此题可以看出，刚体的转动惯量与转轴的位置有关。若有两个平行转轴，其中一轴过质心，则刚体对另一个轴的转动惯量为(3.18)图3.5例3.7题图式中，m为刚体质量，I图3.5例3.7题图求质量为m、半径为R的细圆环及均质薄圆盘通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量。解(1)如图3.5所示。对于细圆环，则有dm=dx，其中dl为圆环上的线元，所以由此可求得半径为R、质量为m的均质薄圆筒对其几何中心轴的转动惯量亦为mR2。(2)对于薄圆盘，取一半径为r和r+dr的小圆环，其面积为dS=2πrdr，设薄圆盘的质量面密度为σ，则小圆环的质量dm=σ2πrdr，于是有小圆环对转轴o的转动惯量为因此，圆盘对轴o的转动惯量为将代入上式，便得同样道理可求出半径为R，质量为m的实心匀质圆柱体对柱中心轴的转动惯量也是mR2/2。表3.1转动惯量上面计算的是一些简单形状的刚体的转动惯量。对于一些不规则的物体，其转动惯量很难计算，可以通过实验的方法来测定。表3.1中给出一些常见的规则形状的刚体的转动惯量。表3.1转动惯量3.3对定轴的动量矩定理与动量矩守恒定律在讨论质点运动时，我们从力对时间的累积作用出发，引出了冲量和动量的概念，并得到了动量定理和动量守恒定律。本节我们将从力矩对时间的累积作用出发，给出对定轴的动量矩定理和动量矩守恒定律。3.3.1动量矩定理首先讨论刚体做定轴转动时对轴动量矩的计算。由于刚体做定轴转动，刚体内各个质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。考虑第个质点，设其质量为，到轴的距离，它的线速度为vi，则该质点对转轴的角动量为对所有质点求和有写成矢量式(3.19)动量矩(亦称角动量)是描述刚体转动状态的物理量，是矢量，其方向与角速度的方向一致。在讨论定轴转动时，动量矩的方向可用正、负号来表示。在SI中，其单位是千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。引入刚体对轴的动量矩概念后，由刚体转动定律有(3.20)或者写成(3.21)上式表明，刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对绕定轴的动量矩随时间的变化率，这就是对轴的动量矩定理。一般说来，力矩是时间的函数，即。因此，当刚体在合外力矩作用下，由t1时刻的角速度改变到t2时刻的角速度时，对式(3.21)两边取积分，得(3.22)式中反映了力矩对时间的累积作用，称作力矩对转动刚体的冲量矩，又称角冲量。在SI中，冲量矩的单位是牛顿·米·秒(N·m·s)。式(3.22)表明，在定轴转动中，刚体所受的冲量矩，等于物体在这段时间内动量矩的增量。这就是定轴转动动量矩定理的积分形式。它与质点的动量定理的形式很相似。若定轴转动的物体不能视为刚体，其内部各质点相对转轴的位置可以变化。这时，物体的转动惯量不再是常数，动量矩定理依然成立，其形式为(3.23)3.3.2动量矩守恒定律由式(3.20)可知，当作用在物体上合外力矩为零时，则(3.24)上式说明，当物体所受合外力矩等于零时，物体的动量矩保持不变。这个结论称为动量矩守恒定律。动量矩守恒的情形可能有两种：一种是转动惯量和角速度均保持不变，即刚体绕定轴作匀速转动。例如，静止的陀螺很难靠螺尖站立不倒，但旋转着的陀螺如果处在直立情况下，就能保持这个状态而不倾倒。这是由于在转动过程中，螺尖受地面的摩擦力矩可以忽略，即在相当长的一段时间内保持恒定的动量矩的缘故。动量矩守恒的另一种情况是转动惯量和角速度同时改变，但二者的乘积保持不变，即。若是一个非刚体物体的转动，当转动惯量增大时，其角速度变小；而当转动惯量变小时，其角速度增大。这样的例子是很多的。例如，芭蕾舞演员和溜冰运动员等在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂收回靠拢身体，使自己的转动惯量减小，因而旋转速度加快。若是一个力学系统，当满足动量矩守恒定律时，即，有（3.25）上式称为系统对某一定轴的动量矩守恒定律。图3.6陀螺仪最后应当明确，尽管动量矩守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律都是用经典理论推证出来的，但它们的适用范围却远远超过原有条件的限制，即不仅适用于宏观物体的机械运动，也适用于基本粒子的微观运动，成为自然界中的普遍规律。图3.6陀螺仪由于在无外力矩的情况下，刚体的角动量L=Iω守恒。如果保持刚体相对转轴的转动惯量不变，角动量守恒就表现为ω是常矢量，即转动快慢、转轴的方向不变。图3.6所示的常平架陀螺仪(gyroscope)就是这样的一种装置，它的核心部分是装在常平架上的一个质量较大的轴对称物体，称为转子。常平架由套在一起，分别具有竖直轴和水平轴的两个圆环(内环和外环)组成，转子装在内环上，转子、内环和外环三者的转轴两两正交，且相交于一点，其交点与整个陀螺的质心重合。这样，转子既不受重力矩的作用，又能在空间任意取向，可以绕三个相互垂直的轴自由转动(因此又称其为三自由度陀螺)。如果不考虑轴承的摩擦和转动时空气的阻力，一旦转子绕其对称轴高速转动起来，则陀螺转子的转轴就在空间确定了一个不变的方向，不管我们如何移动或转动陀螺仪，高速自转的陀螺具有保持其转轴在空间的方向不变的特性，这称为陀螺的定向性。陀螺仪的这一特性在现代技术中的一个重要应用是惯性导航，其广泛应用于航海、航空航天、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等。陀螺惯性导航系统的转子转速高达每分钟数万转，若高速转子稍不对称，就会对各个支撑轴承产生巨大的作用力而使其损坏，因此在设计和制造转子时的精度要求是非常高的。目前，陀螺的研究课题主要是如何实现无干扰力矩的支撑，主要途径是用电场力或磁场力造成悬浮支撑，例如采用超导磁悬浮无摩擦轴承等。此外，研制无机械转子的陀螺仪——激光陀螺亦成为当代陀螺研究的重要课题。【科技博览】关于陀螺的应用研究经历了一个长时间的探索。在19世纪中叶，随着钢制外壳船舶的出现，磁罗盘导航失效，人们对用陀螺导航的要求日益迫切。在第一次世界大战中，美国海军制成了陀螺导航仪，并很快被其他国家采用，随着航海、航空事业的发展，陀螺仪已成为不可缺少的精密导航仪器。20世纪初出现了飞机的陀螺稳定器和自动驾驶仪，1940年以后，陀螺罗盘完全代替了磁罗盘，1950年出现了陀螺惯性导航系统，为了消除难以避免的轴承摩擦力和支点与质心的偏差所引起的进动漂移，人们着手研制电陀螺和磁陀螺，用电力或磁力托起球形转子以实现无支承悬浮，当然，磁陀螺转子必须是超导体。1960年自激光出现以后，人们又在致力于制造出没有机械转子的陀螺仪——激光陀螺。激光陀螺不使用机械转子，而是使用沿闭合光路运转的激光光束。激光陀螺仪的工作原理是建立在两束沿着三角形排列的三面镜子折射的激光束基础上的。一条顺时针前进，另外一条逆时针前进。当仪器静止的时候，两条激光束完成一个周期都用了相同的时间。当仪器旋转时，一条激光束的路径变短，另外一条激光束的路径变长了。通过测量两条激光束走完一个周期所用时间的不同，旋转角就可以被测量出来。因此，它实际上是一个光学器件，只是从功能上说，和机电陀螺一样，用来测定运动物体相对惯性空间的方位，所以人们仍把它称为“陀螺”。激光陀螺最先由美国海军和空军联合研制，并于1975年在战术飞机上试用成功，接着在战术导弹上成功。现已用于战术飞机、战术导弹、反坦克导弹、巡航导弹、海军火炮基准、波音民航飞机以及战略导弹等。目前，我国已自行研制成功动态响应范围大、抗冲击性能强的激光陀螺，研究成果已投入生产和实际使用中。3.3.3进动图3.7陀螺的进动作为动量矩定理的重要应用之一，下面简单讨论刚体进动(precession)问题。一般来说，刚体绕固定点的转动问题是很复杂的，这里仅对对称陀螺作初步的讨论。对称陀螺是一个质量均匀分布的轴对称刚体，且以其几何对称轴为自转轴。图3.7陀螺的进动如图3.7(a)所示，陀螺绕其对称轴高速旋转，它的转轴不是固定的，但其顶点o是固定的。根据经验，快速自转陀螺的轴总是围绕竖直轴z转动而扫出一个圆锥面；与此同时，陀螺还绕其自转轴转动，设自转角速度为。一般而言，陀螺总角动量与的方向并不相同。但是，由于陀螺的形状是对称的，且外力矩较小，因此可近似地认为与方向相同。如图3.7(b)所示，对于固定点o来说，陀螺只受到重力矩的作用，即其中，是陀螺质心的位置矢量。对这里所讨论的对称陀螺，沿自转轴，故与平行。如图3.7(c)所示，设自转轴与竖直方向的夹角为，重力矩垂直于和所决定的平面，即垂直于。由刚体的动量矩定理，在dt时间内，的变化应为即角动量的变化也垂直于，因此陀螺在时间间隔末的角动量与原来的角动量数值相等，方向不同，角动量的顶端绕一水平圆周运动。我们把自转轴绕竖直铀的这种转动称为进动。由图3.7(c)可见，在时间内陀螺对称轴所转过的角度为式中，L是陀螺的自转角动量，它等于陀螺绕其对称轴旋转的转动惯量I与自转角速度的乘积。因此，陀螺的进动角速度为(3.26)由此可见，陀螺的进动角速度随着其自转角速度的增大而减小，与角度无关。进动这一性质在实践中有许多应用。例如，为了使射出的炮弹或子弹不在空气阻力作用下翻转，应使它们绕自转轴高速旋转。例3.8一根轻绳绕过质量为、半径为R的定滑轮，滑轮的质量均匀分布在边缘上。绳的一端系一质量为的重物，另一端由质量为m的人抓住，如图3.8所示。若绳与滑轮间没有滑动，当人以匀速率u相对绳子向上爬时，重物上升的速率υ多大？（设重物初始时静止）图3.8例3.8题图解图3.8例3.8题图由动量矩定理可得其中，为滑轮的转动惯量，ω为滑轮转动的角速度，由题意ω=υ/R因此即图3.9例3.9题图例3.9一质量为m，长为2l的均质细杆，其一端有一很小的光滑圆孔。开始时杆在一光滑水平面上以速度图3.9例3.9题图解当杆以速度υ平动时，杆上距圆孔为r，长为dr的一小段杆对圆孔的动量矩为整个杆对圆孔的动量矩为设小钉穿入后杆做定轴转动的角速度为ω，在此过程中杆对轴的动量矩守恒，即则在杆定轴转动时，距轴为r、长为dr的一小段杆受到的向心力为整个杆受到的向心力为该力的大小即等于杆对钉的反作用力。3.4刚体定轴转动的动能定理与机械能守恒定律本节讨论力矩对空间的累积作用，给出力矩的功、刚体的转动动能及将它们联系在一起的动能定理，进而给出刚体质心的定义和势能的计算公式，最后给出刚体机械能守恒定律。3.4.1刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功刚体在外力的作用下发生了定轴转动，力做了功，对这种情形也可以描述为，刚体在外力矩作用下绕定轴转动产生了角位移，力矩做了功，力矩的功只是力的功一种替代说法。图3.10力矩的功如图3.10，设一刚体在外力的作用下，绕轴oz转动，在dt时间内，转过一极小的角位移dθ，这时力的作用点的位移大小，根据功的定义，力所做的元功为（设与之间的夹角为）图3.10力矩的功因为α+φ＝90o，所以cosα=sinφ，于是(3.27)由此，力对刚体所做的功，可以用力矩和转动的角位移来表示，称式(3.27)为力矩的元功。当刚体在变力矩的作用下转过角θ时，力矩的功为(3.28)当力矩不变时，则它对刚体所做的功为(3.29)如果刚体同时受到几个外力矩的作用，当式(3.28)和式(3.29)中的M为合外力矩时，A则是合外力矩的功。对于刚体而言，内力是成对出现的，且大小相等，方向相反，作用在同一直线上，故所有内力矩的总和为零。因此，刚体转动具有一个特点，即内力矩的总功为零。力矩做功的快慢，称为力矩的功率，由式(3.27)可得(3.30)在刚体做定轴转动时，力矩和角速度的方向或者相同，或者相反。当力矩与角速度的方向相同时，力矩的功率为正；当力矩与角速度的力向相反时，力矩的功率为负。在SI中，力矩的功与功率的单位也为焦耳(J)和瓦特（W）。二、转动动能下面计算刚体做定轴转动的动能。刚体的动能等于组成刚体的全部质元（质点）做圆周运动的动能。当刚体以角速度ω绕定轴转动时，刚体上各个质点的角速度相等而线速度不等。任取第i个质点，设其质量为△mi，距转轴距离为ri，，则线速度i=ωri,，相应的动能为对全部质点求和得刚体的总动能为即(3.31)上式是刚体转动动能的表达式。三、刚体定轴转动的动能定理根据力矩的功的表达式及转动定律，可以得出刚体定轴转动的动能定理，即(3.32)式中，M为刚体所受的合外力矩，表示刚体初位置处和末位置处的角速度。此式即是刚体定轴转动的动能定理，亦可简写为(3.33)其物理含义为：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。例3.10如图3.11所示，一根质量为m、长为l的均匀细棒oA可绕通过其一端的光滑轴o在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，试求：(1)细棒摆到竖直位置时重力矩的功；(2)细棒摆到竖直位置时的角速度；(3)细棒摆到竖直位置时中心点C和端点A的线速度。图3.11例3.10题图解（1）由于重力对转轴的力矩是随θ而变化的，棒转过一极小的角位移dθ时，重力矩所做的元功是图3.11例3.10题图棒从水平位置下降到竖直位置的过程中，重力矩所做的总功为（2）根据刚体定轴转动的动能定理：，得整理并将棒的转动惯量代入上式，得出（3）细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的线速度分别为例3.11如图3.12所示，一质量为M，半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动，圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少?图3.12例3.11题图解如图所示，对圆盘而言，受到重力、支持力和拉力的作用。由于重力和支持力通过转轴o，故作用圆盘的外力矩仅是拉力提供的力矩。由刚体绕定轴转动的动能定理可得图3.12例3.11题图式中，△θ为在力矩作用下圆盘转过的角度，为圆盘在起始和终了位置时的角速度。对物体m而言，它受到拉力T和重力mg的作用。由质点的动能定理可得式中，υ0和υ是物体在起始和终了位置时的速度。由于绳与圆盘无相对运动，所以重物下落的距离与圆盘边缘上任意点所经过的弧长相等h=R△θ，且υ=Rω此外，物体是由静止开始下落的，故有υ0＝0，ω0＝0。于是已知圆盘的转动惯量，故上式为我们知道，物体由高h处自由下落的末速度大小为，故，原因在于物体的重力所作的功有一部分用于增加圆盘的转动动能。3.4.2刚体定轴转动的机械能守恒定律一、刚体的重力势能刚体的重力势能是指刚体与地球共有的势能，它等于各质元与地球共有的重力势能之和。设刚体任意质元的质量为mi，距势能零点的高度为hi=yi，如图3.13所示，则此质元的重力势能为hi=yhi=yiOymi图3.13刚体的重力势能整个刚体的重力势能为即Ep=mgyC（3.34）即刚体重力势能决定于刚体质心距势能零点的高度。无论刚体如何放置，都能推出（3.34）式，故刚体势能仅取决于质心高度，与刚体的方位无关。上述结果表明：刚体的重力势能相当于在刚体质心处的一个质点的重力势能，该质点集中了刚体的全部质量。当然，这里重力势能是属于由物体和地球所组成的质点系或物体系的。二、机械能守恒定理在保守力场中定轴转动的刚体，对于包含有刚体的系统，如果在运动的过程中，只有保守内力做功，则系统的机械能守恒。即常量式中，动能Ek应当包括刚体的转动动能，势能Ep中刚体的重力势能由（3.34）决定。图3.14例3.12题图例3.12设一长为l=1m的均匀木棒，质量M=2.5kg，可绕过其一端的水平轴在竖直平面内无摩擦转动。开始时棒自然下垂，一质量m=0.02kg的子弹以υ=200ms-1的速率从A点射入并停留在棒中，A距O为0.75m。求：图3.14例3.12题图（1）棒开始转动的角速度；（2）棒的最大偏转角。解（1）子弹射入前后，木棒与子弹系统的动量矩守恒。其中kgm2所以s-1（2）转动过程中系统机械能守恒。选棒下垂时质心位置为重力势能零点，设最大偏转角为θm，则最大偏转角为arccos0.57。*3.5对称性与守恒定律在牛顿定律的基础上导出的动量、角动量和机械能相关的守恒定律，不仅适用于宏观物体，而且突破牛顿定律的适用范围，在现代物理学中也适用，成为自然界中最基本的守恒定律。现代物理学研究表明：自然界中的守恒定律总是与相应的对称性密切相关的。诺贝尔奖获得者和对称性原理的主要阐述者之一的EugeneWigner把对称性与自然定律之间的关系，类比于自然定律与单个事件之间的关系时说：“对称性原理为自然定律提供的构造和相关性，恰似自然定律自身为一组事件提供的构造和相关性。”杨振宁教授曾指出：“二十世纪物理学的主旋律是：量子化、对称性和相因子。”李政道教授也指出：“21世纪物理学的挑战和前景是：夸克禁闭，对称和对称破缺”。可以说，对称性和对称破缺是世界统一性和多样性的根源。因此，认识物理学中对称性的深刻内涵，以及对称性与守恒定律之间的关系，对于探究自然规律、揭示宇宙奥秘是很重要的。3.5.1对称性及其原理一、对称性在丰富多彩的自然世界中，对称性(symmetry)是普遍存在的现象。蜂巢是由一个个正六边形对称排列组合而成的建筑物，每个正六边形大小统一、上下左右距离相等，这种结构最紧密有序，也最节省材料；蝴蝶左右翅膀的结构是对称的，就连翅膀上的图案与颜色也是对称的，因此它能够成为自然界最美丽的昆虫；所有的海螺都拥有奇妙的左右旋对称；人本身也是对称的，而且不止左右结构对称，双眼、双耳和左右脑的形状也是对称的。

人类自古以来就对对称美推崇备至，对称的概念几乎已经渗透到所有的学科领域。建筑学中，建筑家们在规划、设计和建造形形色色的建筑时，总是离不开对称，那些流传千古的著名建筑物也大多是极具对称美的，比如中国的故宫、天坛、颐和园的长廊，埃及的大金字塔，罗马的角斗场。几何学中，有圆、椭圆、正方形、矩形、梯形、三角形、圆锥、圆柱等各种对称。在晶体学中，对称性表现得尤为突出。其实，自然界中百分之百完全对称的东西极少，但晶体是个例外，无论从宏观还是微观来看，晶体都是严格对称的。晶体中的原子数目很大而且有严格的空间排列，如果任意画出一部分原子排列图，无论对此图进行平移、旋转还是左右互换，所得的图像与原图像都无法区分。又如，雪花具有六重旋转对称，就是说，雪花晶体在沿一根固定的轴旋转60度、120度、180度、240度、300度或360度后，其原子的空间排布都与原来的排布完全相同。为了给对称性一个普适定义，先引进一些概念。首先是系统，它是我们讨论的对象；其次是状态，同一系统可以处在不同的状态；不同的状态可以是等价的，也可以是不等价的。我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做变换，或者说，我们给它一个操作。德国数学家魏尔(H.Weyl)在1951年提出了关于对称性的普遍的严格的定义：“如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说系统对于这一操作是对称的，而这个操作叫做这系统的一个对称操作(symmetryoperation)。”在物理中，由于操作或变换不同，可以有各种不同的对称性。最常见的操作是时空操作，与之对应的就是时空对称性。空间对称操作有平移、转动、镜象反射、空间反演和标度变换（尺度放大和缩小）等等。一个物体在平面镜中的像与该物体一模一样，则该物体具有镜像对称性(左右对称性或反射对称性)；在空间里，沿着任何方向平移一单元，平移后的图像与原图无法区分(即完全重合)，这种操作可继续下去，这就是平移对称；把一个质地均匀的球绕球心旋转任意角度，它的形状、大小、质量、密度分布等等，所有的性质都保持不变，这就是转动对称。时间对称操作包括时间反演操作和时间平移操作。一个系统对任何时间间隔表现出不变性，该系统具有时间平移对称性；无阻尼的单摆运动录像片正、反放映看不出有什么区别，则单摆的摆动过程具有时间反演对称性。除了时空操作外，物理学中还涉及许多抽象的对称操作，如全同粒子置换、规范变换、正反粒子共扼变换等，还可以是几种不同类型变换的复合变换。物理学中存在两类不同性质的对称性：一类是某个系统或具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称性。物理规律对称性是指物理规律经某种变换后形式保持不变，叫物理定律的对称性或不变性。同质均匀的球体具有中心对称性，属于前者；低速时空牛顿定律对伽利略变换具有不变性，高速时空所有物理定律对洛伦兹变换具有不变性，则属于后者。现代物理理论研究表明：一切对称性的根源在于一些基本量是不可测量性或不可分辨性。正是因为自然界中某个不可观测量的存在，造成了相应对称性的存在。例如，空间绝对位置不可测量(即坐标原点的绝对位置不可确定)，导致空间平移对称性；绝对时间(记时起点不能唯一确定)不可测量，决定了时间平移的对称性；空间绝对方向不可测量，决定了空间转动的对称性;在强相互作用下，微观粒子的左右不可分辨性，决定了粒子空间反演的对称性。二、对称性原理对称性原理起源于因果关系，所谓因果关系就是在一定条件下会出现一定的现象。并不一定条件称为原因，把出现的现象称为结果。由于稳定的因果关系必具有可重复性和可预见性。所以因果关系可说成是“相同的原因必定产生相同的结果”。但世界上任何实物除了自身之外，没有绝对相同的。所以把相同一词换成等价，即是“等价的原因必定产生等价结果”。这就是因果性的等价原理。等价性就是不变性，不变性就是对称性。故上述等价原理可改述为“对称的原因必定产生对称的结果”。但这个说法是单向的，不能倒过来讲，因为对称结果也可能来源于不对称的原因。于是，在1894年皮埃尔居里（PierreCurie）提出了对称性原理：原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性那么多。反过来讲，结果中的不对称性必在原因中有反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。三、对称性及其原理的指导作用对称性概念早在古代人们就都有一定的认识，在经典物理学发展时期，虽然没有把对称性上升为规律性的法则，但对称性的观念已在人们的头脑中根深蒂固了。比如，当丹麦物理学家奥斯特于1820年发现电流的磁效应时，很多物理学家马上想到对称性，10年后，法拉第终于实现了把磁转变为电的愿望。又如，麦克斯韦在建立电磁理论的过程中，首先发现了变化的磁场可以产生电场，但这不够圆满，还缺乏对称性，基于这种观念，麦克斯韦很快又发现了变化的电场可以产生磁场，从而给人以完美的感受。由于物理学家的这种观念，实际中已使对称性原理在物理学的发展中起到了指导的作用。随着近代物理的发展，对称性的作用以及重要性与日俱增。从讨论物理对象的对称性出发，可得到很多有意义的结果。如:当爱因斯坦1921年从光电效应实验出发，建立了光的波粒二象性概念后，德布罗意根据对称性，于1924年大胆地提出了物质波的假设，即任何实物粒子都具有波粒二象性，此假设很快就由戴维孙和革末等人在实验中给予证实。总之，对称性概念已在现代物理理论结构中占据了支配地位，并对探索和发现未知的物理规律起着非常重要的作用，对称性已成为现代物理最重要的指导思想和最基本的工作语言。3.5.2时空对称性与能量、动量、动量矩守恒定律物理定律对称性与物理量守恒定律有着密切联系。在1918年，德国数学家内特尔（E.Nöther）提出了一个著名定理，叫做内特尔定理。内特尔定理指出，如果运动规律在某一不明显依赖于时间的变换下具有不变性，必相应存在一个守恒定律。内特尔定理将物理学中的对称重要性推到了前所未有的高度。自那以后，物理学家们已经形成了这样一种思维定式：只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律；反之，只要发现了一条守恒定律，也总要把相应的对称性找出来。一、时间平移对称性与能量守恒只要实验条件相同，任何一个物理实验的过程和结果都与它在什么时间做的没有关系。因此，物理规律具有时间平移不变性。它要求物理定律不随时间变化，即昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的。时间平移不变性又称时间均匀性或时间平移对称性。此对称性与能量守恒对应。设质量为m的一个粒子，在势能U(x,t)场中作一维运动，其受力为F(x)，则F做功若势能不随时间变化，则由动能定理得由上面三个等式联立可得＝恒量上述讨论表明，当势能函数对时间平移具有不变性时，能量具有守恒性。用对称性原理可表述为，有势能对时间平移的不变性，就必有能量的守恒性。可见，如果物理定律随时间变化，例如重力法则随时间变化，那就可以利用重力随时间的可变性，在重力变弱时把水提升到蓄水池中去，所需做的功较少；在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电，释放出较多的能量。这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机，这是与能量守恒定律相违背的。这就清楚地说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系。二、空间平移对称性与动量守恒一个物理实验与它所处的空间位置没有关系。只要实验条件相同，在两个不同地方所做的实验结果都相同。因此，物理规律具有空间平移不变性。空间平移不变性也称空间均匀性或空间平移对称性。此对称性与动量守恒对应。设质量为m的一个粒子，在势能U(x,t)的场中作一维运动，若p为粒子的动量，其运动由下面方程所决定若空间势能函数U不随位置x变化,则所以恒量这说明，当势能函数对空间平移具有不变性时，动量具有守恒性。即有势能对空间平移的不变性，必有动量的守恒性。例如，考虑两个质点组成的系统，它们的相互作用能为U，U是这两个质点位置r1,r2的函数，以U(r1,r2)表示，由于物理定律具有空间平移对称性，质点的绝对位置是一个不可观测量，质点间的相互作用势能只能依赖质点间的相对位置，即U=U(r1-r2)。将质点1和质点2移动相同的小量，相互作用能U不变，则相互作用力做功的总和为零。由于位移相同，因此系统相互作用力之和为零，即两个质点之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在一条直线上，这正是牛顿每三定律。我们知道，在力学范围内牛顿第三定律与动量守恒是互为因果的。可见空间平移对称性与动量守恒之间的联系。三、空间转动对称性与动量矩守恒只要实验条件相同，物理实验与空间的取向无关。把实验装置转换一个方向，并不影响实验过程和结果，因此，物理规律具有空间转动不变性，空间转动不变性也叫空间各向同性或空间转动对称性。此对称性与动量矩守恒对应。设一个质量为m的粒子，在势能U(x,y,t)的场中作二维运动，且绕z轴转动。如果用极坐标(r,)代替笛卡尔坐标(x,y)，则粒子的转动方程为其中，L为粒子对z轴的动量矩。若势能函数U(x,y,t)不随空间变化，则L=恒量这说明，当势能函数对于空间转动具有不变性时，动量矩具有守恒性。即有势能的空间转动不变性，必有动量矩守恒性。例如，考虑两个质点组成的系统，固定质点1，将质点2以质点1为中心移动一小段弧长s，如果相互作用力存在切向分量，则相互作用能改变为。空间各向同性意味着两个质点相互作用势能只与它们之间的距离有关，与两者联线在空间的取向无关，所以转动操作不改变相互作用能，从而U=0，于是相互用力切向分量,或者说两质点的相互作用力沿两者的联线，这与动量矩守恒是等价的，从而空间各向同性与动量矩守恒联系在一起。【网络资源】力学的发展导致若干分支学科的出现，希望了解这方面进展的同学可以浏览下述关于力学的一些网站：中国力学学会.中国运动生物力学网::宇宙飞船、人造卫星等航天器的制造实现了人类的飞天梦想，火箭的发射从其动力学角度而言是与物理学不可分开的。了解有关空间站的新闻、太空计划的最新进展情况可以访问美国宇航局官方网站另外，哈勃望远镜给我们展现出很多太空的新图景，下面的网址给出了一些关于哈勃望远镜的构造情况以及所拍摄到的图片等相关资料：/pubinfo/Anim.html随着人类对惯性的深入了解，对惯性的应用技术也越来越多，宇航惯性技术信息资讯网给出了惯性导航系统、惯性技术基础以及惯性动态相关的知识本章小结刚体力学是经典力学的一个重要组成部分，本章重点讨论的是刚体定轴转动的动力学规律，这是深入研究刚体复杂运动的基础。由于刚体的大小和形状不随时间发生变化，因此可以将刚体看成是不变质点系。在考虑用质点系的动力学规律解决刚体问题时，必须施加刚体内各个质元（质点）的相对位置保持不变的约束条件，比如，对刚体应用质点系动能定理时，内力的功必须为零。这是第一点要注意的。第二点要注意的是，我们讨论的是刚体定轴转动，各个物理量（如，转动惯量、力矩、动量矩、转动动能等）的计算都是相对转轴而言的。第三点要注意的是，本章的组织结构同第二章是相同的，要弄清如何从刚体定轴转动定律出发分别沿着时间和空间两条线索建立其知识结构的，并把刚体运动规律与质点运动规律对照学习。本章的重点是刚体质心运动规律，刚体定轴转动定律、动能定理、动量矩定理和动量矩守恒定律以及转动惯量、力矩、力矩的功、转动动能、动量矩等一些物理量的计算，要很好的掌握。另外，要了解一般刚体运动的处理方法、对称性的概念及其与守恒定律的联系。附：本章知识网络刚体定轴转动刚体定轴转动转动惯量转动定律转动力矩1．力矩对时间的累积——力矩的冲量矩2．动量矩定义1．力矩对空间的累积——力矩的功2．转动动能定义动量矩定理转动动能定理动量矩守恒定律（常矢量）机械能守恒定律（常量）刚体质心：质心运动定理：思考题3.1刚体所受的合力与其所受的力的矢量和相等吗？为什么？3.2如果作用在刚体上外力矢量和为零，则刚体运动状态是否一定不变？3.3刚体的转动惯量都与那些因素有关？说“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？3.4刚体转动时，若它的角速度很大，那么作用在它上面的力是否一定很大？那么作用在它上面的力矩是否一定很大？3.5刚体在某一力矩作用下绕定轴转动，当力矩增加时，角速度与角加速度怎样变化？当力矩减少时，角速度与角加速度又怎样变化？3.6对于定轴转动的刚体，其角动量与参考点在轴上的位置是否有关？其角动量在轴方向上的分量与参考点在轴上的位置是否有关？3.7有两个鸡蛋在桌上旋转，你能判断哪个是生的，哪个是熟的，如何判断？说明理由。3.8芭蕾舞演员要使自己不断旋转时，总是用足尖站立，并把双臂伸开挥动后，迅速把双臂收拢尽量靠近身体；而要停止旋转时又把双臂伸开，为什么要这样做？3.9一个体系的动量守恒，它的角动量是否一定也守恒？反过来，体系的角动量守恒，其动量是否守恒？举例证明你的观点。3.10假定时钟的指针是质量均匀的矩形薄片，分针长而细，时针短而粗，两者具有相等的质量。那一个指针有较大的转动惯量?那一个有较大的动能与角动量?3.11刚体定轴转动时，它的动能增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？3.12杂技节目“转碟”是用直杆顶住碟底突沿内侧不断晃动，使碟子旋转不停，碟子就不会掉下来。这是为什么？碟子在旋转的同时，还要围绕顶杆转，又是为什么？碟子围绕顶杆转动时，还会上下摆动，这是为什么？3.13试应用转动惯量、角动量和能量概念说明荡秋千原理。习题RR题3.1图3.1比较为r的圆盘是从半径为R的均质圆盘上切割出来的，如图所示。圆孔中心到原来圆盘中心的距离是R/2，求原来圆盘剩余部分的质心位置。解：根据质心概念，质心坐标为,，以半径为R的圆盘中心为坐标原点，切割后圆盘剩余部分的质心位置坐标为3.2将一根长为2l的均质细杆竖直悬挂于一端。试问在悬挂点下方何处施以水平方向的冲击，使细杆开始振动，而这时在悬挂点不产生水平方向的反作用力？解：设施力点到悬挂点的距离为r，利用质心定律和刚体定轴转动定律，有令N水=0时，有3.3一根长l、质量为m的匀质杆，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度，这时受轴的力的大小为多少？OmgN1OmgN1N2题3.3图根据转动定律，有得利用机械能守恒，设水平位置为势能零点，有有设轴对杆的作用力可分解为法向力N1，切向力N2，如图所示。利用质心定理，法线方向满足得切线方向满足得3.4有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过杆中心O的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆相同的小球沿与杆垂直的速度飞来，与杆端点碰撞，并粘附于杆端点上。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态；（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统的运动状态。解：（1）利用动量矩守恒定律，有得即杆和小球以角速度绕轴O转动。（2）设系统的质心速度为，因为，满足动量守恒，即则质心平动的速度为同时，系统还会绕质心转动，质心的位置满足满足动量矩守恒，（以质心为参考点），有得3.5质量为m、半径为R的匀质圆盘，放在摩擦系数为的粗糙水平面上。圆盘可绕通过其中心O的竖直光滑轴转动。开始时圆盘静止，一颗质量为m0的子弹以水平速度垂直于O轴射入圆盘边缘并嵌入盘边上。试求：（1）子弹射入圆盘后，圆盘所获得的角速度；（2）忽略子弹产生的摩擦阻力矩，圆盘停止转动时，共转动了多少圈？解：（1）将子弹和圆盘看成一个系统，射入过程动量矩守恒，有得（2）忽略子弹产生的摩擦力矩，圆盘受到的摩擦力矩需采用积分法计算，任取一微元dm，有因微元受到的摩擦力矩方向均相同，故力矩的大小为利用动能定理，有及得题3.6图题3.6图3.6一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放。求：(1)放手时棒的角加速度；(2)棒转到水平位置时的角加速度．解：（1）根据转动定律，有求得（2）水平状态，有解得2mmO题3.7图3.7一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O2mmO题3.7图（1）系统所受到的合外力矩的大小；（2）此时该系统角加速度的大小。解：（1）水平位置时，合外力矩为（2）此时的角加速度满足，其中则m题3.8图3.8落体法测飞轮的转动惯量，如图所示。将飞轮支持，使之能绕水平轴转动，在轮边缘上绕一轻绳，在绳的一端系一质量为m的重物，测得重物由静止下落高度H所用的时间为t，已知飞轮半径为R,忽略摩擦阻力，试求飞轮的转动惯量m题3.8图解：重物m和飞轮分别满足其中，重物m满足联立得3.9一定滑轮半径为0.1m。相对中心轴的转动惯量为10-3kgm2。一变力F=0.5t（SI）沿切线方向作用在滑轮的边缘上。如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦。试求它在1s末的角速度。解：根据转动定律，有分离变量，取积分即则题3.10图3.10质量为M1的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M2的圆盘形定滑轮悬有m的物体。求当重物由静止开始下降了h时(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为，)，求：题3.10图(1)物体的速度；(2)绳中张力。解：分别以M1、M2、m为研究对象。进行受力、力矩分析。因滑轮的质量不能忽略，绳中各段张力不等，用T1、T2表示。两滑轮的角加速度不等，用、表示。根据运动特征，列方程如下联立求解，其结果为；，若把M1、M