离散型随机变量的方差同步练习-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

.3.2离散型随机变量的方差（同步练习）一、选择题1.从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1当取到白球时，,0当取到红球时，))则X的方差D(X)＝()A.eq\f(21,100)B.eq\f(7,50)C.eq\f(1,10)D.eq\f(3,10)2.甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是()环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A.甲B．乙C．一样D．无法比较3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1，P2，P3，P4，且eq\i\su(i＝1,4,P)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．P1＝P4＝0.1，P2＝P3＝0.4B．P1＝P4＝0.4，P2＝P3＝0.1C．P1＝P4＝0.2，P2＝P3＝0.3D．P1＝P4＝0.3，P2＝P3＝0.24.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D(X)等于()A．3.36B.eq\f(7,15)C．7.8D．3.65.设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，现已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(7,3)C．3D.eq\f(11,3)6.设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(x2＋x3,2)，eq\f(x3＋x4,2)，eq\f(x4＋x5,2)，eq\f(x5＋x1,2)的概率也为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则()A．D(ξ1)>D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)<D(ξ2)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关7.（多选）已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则下列结论正确的是()A．E(X)＝－eq\f(1,3)B．E(X＋4)＝－eq\f(1,3)C．D(3X＋1)＝5D．P(X>0)＝eq\f(1,6)二、填空题8.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________9.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为________10.随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，则D(X)＝________11.若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________．三、解答题12.袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．13.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．14.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．15.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)参考答案：一、选择题1.A2.B3.B4.A5.C6.A7.ACD解析：E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(X＋4)＝eq\f(11,3)，故A正确，B错误．D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故C正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝eq\f(1,6)，故D正确．二、填空题8.答案：eq\f(17,9)9.答案：0.5和0.2510.答案：eq\f(2,5)11.答案：eq\f(3,2)，1解析：由分布列的性质可知p∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，则E(X)＝p＋1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，故E(X)的最大值为eq\f(3,2).∵D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋eq\f(1,2)(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，又p∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1.三、解答题12.解：(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)则E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))13.解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由于E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好．14.解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)因为f(x)＝Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,100)·Y1))＋Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,100)·Y2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,100)))2D(Y1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,100)))2D(Y2)＝eq\f(4,1002)[x2＋3(100－x)2]＝eq\f(4,1002)(4x2－600x＋3×1002)，所以当x＝eq\f(600,2×4)＝75时，f(x)取最小值3.15.解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝eq\f(15,50)＝0.3.(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f