难点突破立体图形的外接球与内切球问题

22**届高三数学第一轮复习教学案：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题一、基础知识与概念：．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆．大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大：截面不过球心．．球心和截面圆心的连线垂直于截面．．球心到截面的距离

与球半径R

及截面圆半径r

的关系：

d

．．何体的外接球：几何体的顶点在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切．二、多面体的外接球（球包体）模型：球包直柱（直锥垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）球包直柱

球包正方体

球包长方体

球包四棱柱

球包三棱柱

球径公式：

，球包直锥

三棱锥

（r

为底面外接圆半径）

四棱锥r速算模型点连心”锥：锥的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥球径计算方程：2h2

h22h（h为锥的高，r为面外接圆半径）特别地，（1边长为正面体的外接球半径：R______________．（2底面边长为

，高为

的正三棱锥的外接球半径：R

（3底面边长为a，为h的四棱锥的外接球半径：例：1年国卷III第8题）已知圆柱的高为

，它的两个底面的圆周在直径为2

的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A

B．

C．

D．

【解析】模式辨识包”的“垂底侧边棱（母线，，R

，底面半径为r

，则由

得12

r

，V

3

．2010年全国新课标卷第题设三棱柱的侧棱直于底面，所有棱的长都a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

22A

a

B．

2

C．

2D．5

a

a22【解析“球包体”中的垂底侧边棱类型，22，4312

，

r

，所以该球的表面积

S

2

727a12

2

．答案B年国大纲卷第8题正棱锥的顶点都在同一球面上该棱锥的高为4，底面边长为，则该球的表面积为A

81

B．

16

C．

9

D．

【解析】模式辨识“球包体”的“顶点连心锥”，h，rh216，28

2

，则所以S

4

，答案A．年国卷I题如有个水平放置的透明无盖的正方容器，容器高，将一个球放在容器口向器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为

体A

500B．3320483D．cm3

cm

3

1372C．cm3

3

*【解析】设水面与球的接触点（切点）

，球心为

O

，则

PO

垂直于正方体的上表面意P

到正方体上表面的距离为正方体上表面相交圆的半径r

，有：2

，r2R4

4500，所以球的体积VR3

．三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心．例21．已知边长为2的形中60

，现沿对角线

折起，使得二面角

为1时，B在同一个球面上，则该球的表面积为（）A

20

B．

24

C．

D．

．在矩形

ABCD

中，

，

，沿

将矩形折成一个直二面角BAC

，则四面体

ABCD

的外接球的体积___________．在边长为的形ABCD中

，沿对角线将菱形折成直二面角

，则三棱锥

的外接球的表面积为_____________．四、正多面体的内切球（体中球）

锥体的内切球：

圆锥的内切球：

边长为

的正方体：

等边圆柱（母线

边长

的正八面体

．

．

五、正多面体的切边球（所有的棱都相切的球）正四面体边长为

，球半径

正方体边长为

，球半径

正四面体边长为

，球半径例3．一个球的外切正方体的全面为6，则球的体积为．．某圆锥的截面为边长为

的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积______年全国卷III第10题在封闭的直棱柱

AB11

内有一个体积为

的球，若BC，AB，BC，AA，的大值是1A

B．

C．

D．

【解析】考查直三棱柱中截面的切圆为球的大圆的情景，有R

AA31，故当球径时球的体积最大为24V3练习：

．答案B2015年全国卷II第9题已知A

，B

是球

O

的球面上两点，

AOB

，

为该球面上的动点，若三棱锥

O

体积的最大值为36，则球

O

的表面积为A

B．

C．

144

D．

年福建漳州市月质检三棱锥

ABC

中，SB

平面

ABC

，

5

，是边长为3的三角形，则三棱锥ABC的外接球的表面积为（

）A

B．

5

C．

9D．

122014年南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1

B．

C．

D．年辽宁卷理10已知三棱柱

ABC的个顶都在球的球面上，1若

，

，

，

1

，则球

O

的半径为（）A

17

B．

2

C．

D．

3102012年国新课标卷第11题已知棱锥

的所有顶点都在球

O

的球面上，ABC是长1为

的正三角形，为球O直径，且C则此棱锥的体积A

B．

C．

D．

．在正三棱锥P，PBPC为60三棱锥外接球的体积（）

3侧棱PA与面所成的角A

B．

C．

D．

4

．已知底面边长1

，侧棱长为

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A

B．

C．

D．

4年建省质检间边形ABCD的个顶点都在同一球面上E分别是、的点，且AB,CD，ABCD4的半径等于

，则该球A

B．

C．

D．

65．三棱锥P的长的棱PA外接球的体积是_．

，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的10年高考浙江卷理球

O

的面上四点A

B

C

D

平面

，BC，DABC3，球O的积____________．2016年东北三省三校联考三棱柱

AB11

各顶点都在一个球面上侧与底面垂直，

ACB

，

CACB3

，

AA41

，则这个球的表面积为____________．12在三棱柱

A1

中，侧棱

AA

1

垂直底面，

，

，BC

，且三棱柱

A的积为3，则三棱柱1

AB11

的外接球表面积为．13在正三棱锥

中，M，

分别是棱

、

BC

的中点，且

AMMN

，若侧棱

SA

，则正三棱锥SABC外球的表面积___________．14在三棱锥

A

中，

ABCD

，

5

，

ACBD

7

，则三棱锥B