高中数学选修4-4(坐标系与参数方程)知识点总结

×××分厂×坐标系与参方程知识点1．平直角系的伸点P(x,y)平面直系中的任一在

:

xy

((0)

的作用,点P(x,y)到点

P平面直角系的伸称.2.极坐系的概念(1)极系图所示,在面内取一个定

O

,叫极点,自点

O

引一条

Ox

,叫极;再定一个位一个度位通常弧度)及其方向(通常取方),就立一个极系.注极坐系以角一面形几背景而面角坐标系互垂直的两条数轴几背景平面直角标系内的点与标能建立一一的关系,而极坐系不.但极系平面直角系是平面系(2)极：M是平内一点极点

O

与点M的距|OM|叫点M的极径

;以极

Ox

始,

的

xOM

叫做点M的极角序数

(

叫做点极坐,作

.一般地不特殊明我

可取任数.特地当

M

在极点,它的极(

)(

∈R).直角不同平面内一个点极有数表.如果规

0,0

,那么极点外,平面内的点可用唯一极坐标

(

表示;时极坐标

(

表示的也是唯一确定.3.极标和直角坐标互化1

×××分厂×(1)互背:把直角坐标系的原点作极,x轴的半轴作为极,在两种坐标中取相同的长单,如图所:(2)互公式:设

M

是坐标面内任意一,的直角坐标是

(y)

,极标是

(

(

),于极坐标与直角坐的互化公如表点

M

直角坐

(y)

极坐标

(

互化公

xy

tan

x

y2yxx在一般况由

tan

确定角,根据点

M

所在的限最小正角4.常曲线的极坐标程曲线

图形

极坐标程2

×××分厂×圆心在点半

(0为r

的圆圆心为r,半为r的圆

r

2

2

)圆心为

(r

2

)

,半

rsin

r径为的圆过极点,倾角为

(1)

)或

)

的直线

(2)

和

过点(,与极轴垂直的线

2

2

)3

×××分厂×过点

(,

2

)

,与极

轴平行直线注由平面上点的极坐的表示形式唯一即

(

都表示一点的坐标,这与点的直角标的唯一性明显不同.所对于曲线的点的极坐标的多种表示形,只要求至少一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐方程()(,或,或(,等多种形式,中,只有的极坐满足方程.4444

点

M(

,)44

可以表为二参数程参方程概念一般地在平面直角坐系中如果曲上任意一点的坐标

xy

都是某变数

t

的函数

xf(t)yg(t)

①,且对于

t

的每一允许值,由方程组①所确定的点

(x,

都在这曲线上那方程①就叫做这曲线的参数程联系变数的变t叫做参变,简称参数,相于参数方程而言直接给出点坐标间关的方程叫做通方.参方程普通程的化4

×××分厂×(1)曲的参数方程和通方程是曲线方程的不同形,一般地可以过消去参数而参数方程得到通方.(2)如知道变数

中的一与参数

t

的关系例如

xt)

,把它入普通方程,求出另一个变数参数的关系

yg(t)

,那

xf(t)yg(t)

就是曲的参数程在参数方与普通方程的互化,必须使

的取值围保持一致.注普通程化为参数程，参数方程形式不一定唯一。应用参数程解轨迹问题关键在于适地设参数，如选用的参数同，那么所求的曲线参数方程的式也不同。3圆的数如图所，设圆

O

的半径r

，点

M从初始位置M

出发，逆时针方向在圆

O

上作匀圆周运动，

(x,

，则

xryrsin

数

。这就是心在原点半径为r的的数方程，其的何意义是OM转过的角度。0圆心为

(a,)

，半径r的的普通方程是

x)

2)22

，它的参方程为：

xcosy

数

。4椭圆参数程以坐标点

O

为中心焦点在

轴上的圆的标准方为

2yaa2b

其参数程为

xysin

数

，其中数

称为离角；5

×××分厂×焦点在轴上的椭圆的标方程是

2a2

其参数程为

xysin

数,

其中参为离心通常规定参范围为[0注椭圆参数方程中，参数

的几何义为椭圆上一点的离心角要把它和这一点的旋转角

区分开，除了在四顶点处，离心和旋转角数值可等外（即在0到2的范围其任一点，两个的数值都不相。但当

0

2

时，相地也有

0

2

，在其象限内类似。5双曲的参方程以坐标点

为中心，焦点在

轴上的双曲线的标准议程为

y2aba

其参方为

xy

数)

，其中

,2

2焦点在

轴上的曲线的标准程是

2xb0),ab2

其参数程为

xycsc

其中(0,2

且以上参

都是双线上任意一的离心角。6抛物的参方程以坐标点为顶点，口向右的抛物

y

px(p

的参数程为

2ptypt

(参数7直线参数程6

×××分厂经过点

(x,y000

，倾斜为

)2

的直线l的普通方程

yytan0

),0

而过

x00

，倾斜为的线l参数方程

xx0yy0

(为参

。注线参数方程中参的几何意义点

(x,y000

倾斜为的线l参数方程

xx0yy0

(为参)

其中t表直线l上定点

M

为起点任一点

(x,

为终点有向线段MM数量，当点M在上时t＞0；当M在下