三年级数学上册讲义 -第18讲-植树问题 周期问题（含答案）沪教版-

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题植树问题/周期问题教学内容1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用；2．解决有关周期性问题的关键是确定循环周期．（此环节设计时间在10—15分钟）一、植树问题为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。显然，只有下面四种情形：(1)非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1。(2)非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。(3)非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”－1。(4)封闭线上，“点数”=“段数”。最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。问题1、一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？分析：这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。问题2、肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？分析：由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。问题3、两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？分析：因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。问题4、一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？分析：这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。二、周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。（1）观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；问题1：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？答案：这个数列的周期是2，18÷2＝9，所以第18个数是2．（2）如果比整数个周期多个，那么为下个周期里的第个；问题2：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？答案：这个数列的周期是3，16÷3＝5……1，所以第16个数是1．（3）如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．问题3：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？答案：这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16－1)÷2＝7……1，所以第16个数是2．（此环节设计时间在40—50分钟）板块一、非封闭的植树问题大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）.从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵)，综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).板块二、封闭的植树问题（方阵）公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米．如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株数正好等于分成的段数．由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，所以栽月季花的株数等于2乘以段数的积．要求两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？需要懂得两株相邻的丁香花之间等距离地栽2株月季花，就是说这4株花之间有3段相等的距离.以6米为一段，圆形花坛一圈可分的段数，即是栽丁香花的株数：120÷6＝20(株)，栽月季花的株数是：2×20＝40(株)，每段上丁香花和月季花的总株数是：2＋2＝4(株)，4株花栽在6米的距离中，有3段相等的距离，每两株之间的距离是：6÷(4-1)＝2(米).板块三、方阵问题某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了．所以方阵最外层每边人数：(人)，整个方阵共有学生人数：(人)．板块四、图形中的周期问题小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73颗是什么颜色的？⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式：(颗)⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：(颗)．板块五、数列中的周期问题小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，…1⑵每个周期各个数之和是：．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．，所以，这81个数相加的和是279．板块六、日期中的周期问题阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，由此可以算出总天数，用总天数除以7，余1是星期一，余2是星期二，依次类推（天），（星期）……6（天），所以，阳历2000年1月1日是星期六．【问题一】大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长．他俩的起点和走的方向完全相同，小明的平均步长是54厘米，爸爸的平均步长是72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印，这个花圃的周长是多少厘米？通过画图使学生明白从第一个重合点（起点）到下一个重合点之间的距离是216厘米，，，从而知在两个重合点之间，爸爸留下脚印3个，小明留下脚印4个，去掉一个重合的脚印，共留下脚印(个)，因为从起点到最后雪地上共留下脚印60个，所以花圃的周长是（厘米）．【问题二】实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？昨晚8点至今早8点，共经历(分钟)，，说明从今早8点整起，7分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了102次．由于每次跳9格，所以共跳了(格)．每20格一圈，，因此从“0”位开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：，因此昨晚8点整时指针正指着2．此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。练习1：从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求还需要多少根电线杆？该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：①从甲地到乙地距离多少米?(米)②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?(根)，（根）③还需要下多少根电线杆?(根)综合算式：(根)练习2：马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5分钟汽车共走了：(米)，汽车每分钟走：(米)，汽车每小时走：(米)(千米)列综合式：(千米)练习3：新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边人，彩车周围的少先队员有多少人？先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生思考一个问题：相邻两层差几个人．外层人，内外相差人（教师可举例说明），内层人，共人．练习4：（1）……（25个4），积的个位数是几？（2）24个2相乘，积末位数字是几？（1）按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以…1，25个4相乘，积的末位数字是4．

（2）按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组，所以24个2相乘，积末位数字是6．练习5：1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005年的元旦是星期六（此环节设计时间在5—10分钟内）让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾习题1、在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。两端都植，共植树多少棵？（棵）习题2、某小区要对一块空地进行绿化，把这些树种成方阵的样子．最外面一周有60棵树．问这个方阵外层每边有多少棵树？这块空地一共种了多少棵树？根据四周棵数和每边棵数的关系：每边棵数四周棵数，可以求出方阵最外层每边棵数．那么整个方阵队列的总人数就可以解出．方阵最外层每边棵数：(棵)整个方阵共有树：(棵).习题3、园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？这道题的关键就在之间每3米一个，已经挖的坑，和后来改成5米挖一个坑，有多少个是重复不需要挖的，那么一步一步分析如下：(1)从第1个坑到第30个坑，共有多长？(米)(2)改为“每5米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？(个)(3)改为“每5米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？(个)(4)还要挖多少个？(个)习题4、★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共有多少个五角星？…2．第87个图形是圆形．（个）．习题5、流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是，因此只要用2003除以15，…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色．习题6、如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边第一个数是几？每7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第98行中最大的那个数为：（49×7-1）×2=68