《函数的零点》教学设计

方程的根与函数的零点教学设计方案教学设计方案课程方程的根与函数的零点教学内容人教A必修1教学目标1、知识与技能：a、理解函数零点的定义；b、掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；c、掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。2、过程与方法：a、从一元二次方程根的求解以及相应函数图象，探索出零点的概念与方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；b、通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；c、特殊到一般的方法。3、情感、态度与价值观：a、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；b、培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；c、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。学习目标理解函数零点的定义；掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。学情分析在初中学习了一次函数二次函数反比例函数等函数的基础上，进一步学习了函数概念和性质，认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质。重点、难点重点：零点的概念及零点存在性的判定。难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。教与学的媒体选择PPT几何画板课程实施类型偏教师课堂讲授类√偏自主、合作、探究学习类备注两者结合，在教师引导下合作探究教学活动步骤序号1函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，函数思想是高中最重要的数学思想之一。函数的应用十分广泛，这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决一些数学问题和现实生活中的简单问题。今天我们先来学习函数在方程中的应用.问题引入：求下列方程的根：（1）；（2）；（3）；（4）（超越）.方程(4)不会解，怎么办？——用函数来解决!那我们先研究方程的根与函数有什么关系.先看我们最熟悉的一类方程和对应的函数有什么关系？思考(课本P86)：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有什么关系？——二次方程的根就是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标.问题：推广到一般的方程及相应的函数，上述结论是否仍然成立？不妨看看前面3个方程，画出相应函数的图象，结论仍然成立.一般的，方程的根就是相应的函数的图象与x轴交点的横坐标.21、零点定义：使的实数叫做函数的零点.易知函数的零点即方程的实数根，即函数的图象与轴的交点的横坐标.书写课题.定义辨析：（1）函数的一个零点是点（1，0）.()零点不是点，零点是数.（2）每个函数都有零点.（）（3）函数有两个相等零点.（）2、由零点的定义，方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点．所以，函数的零点可以通过求方程的实根得到，也可以通过画图，找函数与轴交点的横坐标得到．前者是纯代数的思维，后者是函数、数形结合的思维.同理，对于方程，当不能用公式法求根时，我们可以研究相应函数，利用函数的性质或图象找出函数的零点，进而得出方程的根的情况．例如方程（4），无法直接解出，那么我们可以转为研究函数的零点.3那么我们要画出这个函数的图象.怎么画？列表、描点、连线.先求定义域，,列表时取哪些x的值呢？,,参考值：,所以,解：记函数，其定义域是，列表得：x…1234…f(x)…－4－1.30691.09863.3863…描这四个点，能否确定函数有零点？能，为什么？——与x轴有交点，为什么有交点？——有正有负，为什么有正有负就可以有零，——因为图象是光滑曲线（连续不断）.负意味着有点在x轴下方，正意味着在x轴上方，图象就会穿过x轴，那么函数就有零点了.函数的零点在哪个位置？——区间(2,3)内.4函数的零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得.这个也就是方程的根.定理辨析：（1）划掉“图象是连续不断的一条曲线”这个条件，结论还成立吗？——不一定，试举例.如图1（2）划掉“”这个条件，结论还成立吗？——不一定，试举例.如图3（3）将条件“”换成“”，结论还成立吗？——成立.那为什么不用而用呢？——因为包含了两种可能：或，这两个条件下结论都成立.（4）将条件“”换成“”，结论还成立吗？——不一定.如图3（5）“有零点”“存在”是什么意思？零点个数一定是一个吗？——“至少有一个”的意思，可能是1个，可能是多个，如3个、2个等(看情况).如图5、6、7条件图像结论若函数满足，但在[]上的图象不连续图1函数在区间()内无零点图2函数在区间()内有零点函数在[]上的图象是连续不断的一条曲线，但不满足图3函数在区间()内无零点图4函数在区间()内有零点函数在[]上的图象是连续不断的一条曲线，且满足，则函数在区间()内有零点图5函数在区间()内有1个零点图6函数在区间()内有3个零点图7函数在区间()内有2个零点所以，零点存在性定理中的两个条件一起保证了函数至少有一个零点，那是不是函数有零点就一定满足这两个条件呢？——不一定，如图2、4，所以零点存在性定理给出了保证函数有零点的条件，但并不意味着只有满足这两个条件函数才有零点.回到方程（4），因为函数的图象是连续不断的，且，由函数的零点存在性定理知，在区间（2，3）内有零点.5练习1、函数在区间（1,2）内是否存在零点？说明理由.——存在.因为,，又函数的图象是连续不断的曲线，由函数的零点存在性定理知，函数在区间（1，2）内有零点.注意：一般基本初等函数的图象都是连续的练习2、已知函数在定义域内是连续函数，其部分函数值见下表：x124f(x)31-3可知，函数的一个零点所在大致区间是．区间（2，4） 有同学答区间（1，4）.对不对？——对.哪个答案更优？——前者，相对精准.练习2、(课本P98习题A2)已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f(x)136．13615．552-3.9210.88-52.488-232.064函数在哪几个区间内有零点？为什么？区间（2，3），（3，4），（4，5）. 有同学答区间（1，3），（3，4），（4，6）.对不对？——对.哪个答案更优？——前者，相对精准.练习3、函数的零点所在的大致区间是().答案BA.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（，3）,审完四个选项，还得看D,计算可以得出一个更精准的区间，这个区间可以进一步缩窄吗？——可以在区间内再取一个数，判断其函数值符号，就可以进一步缩窄.练习4、下列函数中，在区间（1，2）内有零点的是（）.A.B.C.D.答案：D6回到最初的问题，为了研究方程的根，我们转为研究函数的零点，因为函数的图象是连续不断的，且，由函数的零点存在性定理知，在区间（2，3）内有零点.即方程有实根，方程有几个实根呢？J即函数有几个零点呢？—1个，为什么？——因为在定义域上单调递增，所以函数有唯一零点.所以方程有唯一实根.这个实根在哪个区间内？它的近似值可以求出来吗？——可以按练习3所说的方法，在区间（2，3）内取一个x值判断函数值的符号，缩窄零点所在的区间，多进行几次，直到零点所在的区间足够窄，例如宽度比0.1还小，那就可以以得到一个零点的近似值了.这个具体的操作方法，我们下节课再研究.思考：如果函数在定义域内是单调的，那么的零点个数是怎样的？——至多有一零点.小结：这节课学习了什么知识？——函数的零点，零点跟对应方程的根的关系，怎样的函数有零点？怎样的函数有1个零点？怎样确定零点的大致位置.等等.这节课的学习体现了什么数学思想？——函数思想、数形结合的思想、转化的思想.作业：课本P112复习题A1，《成才》P49(选做题)3.设函数．（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；（2）当内取不同值时，函数的零点怎样分布？教学反思本节课的设计意图就是让学生一层层地深入，弄清楚几个问题：什么叫函数的零点？怎样的函数有零点？为什么要连续？为什么要两端点函数值之积小于0？？存在的话存在几个？至少1个.什么情况恰好是1