函数周期性专题

v1.0可编写可更正第七讲：函数的周期性与对称性（一）【知识梳理】：1.周期函数的定义：关于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)拥有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.2.几种特其他抽象函数：拥有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,1）fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2）fxafx，则fx是以T2a为周期的周期函数；3）fxak(k0)，则fx是以T2a为周期的周期函数；fx4）若函数f(x)是偶函数，且f(xa)f(ax)，则fx是以T2a为周期的周期函数；）若函数f(x)是奇函数，且f(xa)f(ax)，则fx是以T4a为周期的周期函数；53.对称性：（1）函数关于原点对称即奇函数：f(x)f(x)（2）函数关于y对称即偶函数：f(x)f(x)（3）函数关于直线xa对称：f(xa)f(ax)（二）典例解析：例1.（安徽卷）函数fx关于任意实数x满足条件fx21，若f15,则xfff5__________(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为_________例2：设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且yf(x)的图像关于直线x3对称，则下面正确的结论是A.f(1.5)f(3.5)f(6.5)B.f(3.5)f(1.5)f(6.5)C.f(6.5)f(3.5)f(1.5)D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)1v1.0可编写可更正例3.已知函数f(x)满足f(1)2,f(x2)2015，则f(3)-f(9)的值为f(x)例4.已知f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(x2)f(x)，且x[0,2]时，f(x)2xx2.1求x[2,0]时，f(x)的表达式；2证明f(x)是R上的奇函数．例5.f(x)是定义域在R上的奇函数，且其图像关于直线x1对称，2则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)=例6.已知f(x)x2x(x0)，则f(2016)f(2015)f(2014)f(2015)f(2016)=x2x(x0)三．【牢固提高】1.设函数fx（xR）是以3为周期的奇函数，且f11,f2a,则（）A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-12.（2006山东）已知定义在R上的奇函数fx满足f(x+2=－fx),则,f(10)的值为()( ))(A.－1B.0C.1．函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－，］310上是减函数，那么f（x）在［，］上是()23A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函4．已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对xR都有f(2x)f(2x)，当f(3)2时，f(2007)的值为（）2v1.0可编写可更正A．2B．4C．－2D．－45.若已知f(x)是R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x0,2时，f(x)2x2，则f(7)等于A.2B.2C.98D.986.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)fx3，且f23，则f(2014)27.设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)1，且当x3,2时，f(x)f(x)2x，则f(113.5)221D.1A.B.C.57758．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x2)f(x)，且x[0,2]时，f(x)2xx2.1求证：f(x)是周期函数；2当x[2,4]时，求f(x)的表达式；3计算f(1)f(2)f(3)f(2013).四．【课后练习】1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)，则f(6)的值为( )A．—1B．0C．1D．2、设f（x）定义域为，且对任意实数x,f(x3)2恒成立，f（x）在(0,3)内单调2Rf(x)递减，且该函数的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A、f1.5f3.5f6.5；B．f3.5f1.5f6.5；C．f6.5f3.5f1.5；D．f3.5f6.5f1.53、设函数fx（xR）是以3为周期的奇函数，且f11,f2a，则（）A.a2B.a2C.a1D.a13v1.0可编写可更正4、定义域在R的函数f(x)既是的偶函数，又关于x1对称，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)