(新高考)高考数学一轮复习第19讲《导数的应用-利用导数研究函数零点问题》达标检测(解析版)

1、导数的应用利用导数研究函数零点问题达标检测A组应知应会1（春海淀区校级期末）已知函数 SKIPIF 1 0 有最小值，则函数 SKIPIF 1 0 的零点个数为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A0B1C2D不确定【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质判断即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ，若函数 SKIPIF 1 0 有最小值，则 SKIPIF 1 0 不能恒大于等于0，故存在 SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 有2个不相等的实数根，即函数 SKIPIF 1 0 的零点个数为2个，故选： SKIPIF 1 0 2（春辽宁期末）

2、函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则实数 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】函数 SKIPIF 1 0 ，变形为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，利用导数求最值，可得 SKIPIF 1 0 结合 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取得最小值再把 SKIPIF 1 0

3、 ， SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 ，求解 SKIPIF 1 0 ，再代入 SKIPIF 1 0 ，即可求得 SKIPIF 1 0 的最小值【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 ，变形为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 取得最小值 SKIPIF 1 0 又当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF

4、1 0 ，且函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取得最小值由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 3（包头二模）已知函数 SKIPIF 1 0 是

5、定义在 SKIPIF 1 0 上连续的奇函数，且当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF 1 0 的零点个数是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A0B1C2D3【分析】分析可得 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上连续的奇函数，且在 SKIPIF 1 0 上为增函数，说明函数 SKIPIF 1 0 只有1个零点，可得选项【解答】解： SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上连续的奇函数，则函数 SKIPIF 1 0 ，其定义域为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，则 SK

6、IPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上连续的奇函数， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，又由当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，即函数 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的增函数，又由 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上连续的奇函数，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的增函数，故函数 SKIPIF 1 0 只有1个零点，故选： SKIPIF 1 0 4（武汉模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 无零点，则实数 SK

7、IPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 无零点，可转化为 SKIPIF 1 0 无正实数根，研究函数 SKIPIF 1 0 的值域， SKIPIF 1 0 只要在值域之外取值即可【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 无零点，显然 SKIPIF 1 0 不是函数 SK

8、IPIF 1 0 的零点故问题可转化为 SKIPIF 1 0 无正实数根，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递减；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 递增又 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ； SKI

9、PIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 作出函数 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的图象：可知，当 SKIPIF 1 0 介于 SKIPIF 1 0 轴（包括 SKIPIF 1 0 轴）与点 SKIPIF 1 0 之间时，原函数在 SKIPIF 1 0 上无零点故 SKIPIF 1 0 即为所求故选： SKIPIF 1 0 5（湖北模拟）已知 SKIPIF 1 0 存在唯一零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIP

10、IF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】先由题设条件得到 SKIPIF 1 0 ，再研究 SKIPIF 1 0 的奇偶性，把问题转化为当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 无零点利用放缩法与单调性求出 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：由题意知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 存在唯一零点， SKIPIF 1 0 只有一个零点0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是奇函数，故只考虑当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 无零点即可当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0

11、 ， SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 6（临汾模拟）若函数 SKIPIF 1 0 有且只有一个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】原问题等

12、价于关于 SKIPIF 1 0 的方程 SKIPIF 1 0 有且只有一个实根显然 SKIPIF 1 0 ，分离参数可得 SKIPIF 1 0 有且只有一个实根，然后构造函数，结合导数分析函数的特征，结合图象可求【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 有且只有一个零点，等价于关于 SKIPIF 1 0 的方程 SKIPIF 1 0 有且只有一个实根显然 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 方程 SKIPIF 1 0 有且只有一个实根设函数 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为增函数，又 S

13、KIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为增函数；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为减函数；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为增函数； SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 时取极小值1当 SKIPIF 1 0 趋向于0时， SKIPIF 1 0 趋向于正无穷大；当 SKIPIF 1 0 趋向于负无穷大时， SKIPIF 1 0 趋向于负无穷大；又当 SKIPIF 1 0 趋向于

14、正无穷大时， SKIPIF 1 0 趋向于正无穷大 SKIPIF 1 0 图象大致如图所示： SKIPIF 1 0 方程 SKIPIF 1 0 只有一个实根时，实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 7（2019兰州模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，函数的零点个数为 【分析】通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，函数是减函数， SKIPIF 1 0 （1）

15、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以函数函数 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，函数的零点个数为1故答案为：18（济南二模）已知函数 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 有两个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】先对 SKIPIF 1 0 求导，根据 SKIPIF 1 0 的范围研究 SKIPIF 1 0 的符号，判断 SKIPIF 1 0 的单调性，结合 SKIPIF 1 0 有两个零点，求出 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：由题知： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1

16、0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增，至多有一个零点，不合题意；当 SKIPIF 1 0 时，令 SKIPIF 1 0 ，易知 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递减，在 SKIPIF 1 0 单调递增，故 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 有两个零点，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 9（春贵池区校级期中）已知函数 SKIPIF 1 0 有3个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为

17、【分析】构造函数，利用函数的图象，通过函数的导数，求出切线的斜率，然后推出 SKIPIF 1 0 的范围【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 有3个零点，就是 SKIPIF 1 0 有3个解，也就是 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的图象有3个交点，显然 SKIPIF 1 0 ，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：设切点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以直线与指数函数相切时， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 有3个零点，可得 SKIPIF 1

18、 0 故答案为： SKIPIF 1 0 10（盐城三模）设函数 SKIPIF 1 0 ，若函数 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 都有零点，且它们的零点完全相同，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】由题意可求 SKIPIF 1 0 ，所以函数 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，易得符合题意，当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 ，有两个零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，所以方程 SKIPIF 1 0 无解，利用 SKI

19、PIF 1 0 即可求出 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：设零点为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，都有唯一零点 SKIPIF 1 0 ，符合题意；当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 ，有两个零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0

20、 ， SKIPIF 1 0 已满足有两个相同的零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 方程 SKIPIF 1 0 无解，即方程 SKIPIF 1 0 无解， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，综上所述，实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是： SKIPIF 1 0 ，故答案为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 11（春新华区校级期中）设 SKIPIF 1 0 ，若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上有三个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围 【分析】首先，画出

21、函数 SKIPIF 1 0 的图象，然后，借助于图象，结合在区间 SKIPIF 1 0 上有三个零点，进行判断【解答】解：函数 SKIPIF 1 0 的图象如图示：当 SKIPIF 1 0 时，显然，不满足题意当 SKIPIF 1 0 时，如图所示，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时，存在一个零点，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为减函数，若 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0

22、 ， SKIPIF 1 0 为增函数，此时 SKIPIF 1 0 必须在 SKIPIF 1 0 上有两个零点， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， 解得， SKIPIF 1 0 ，在区间 SKIPIF 1 0 上有三个零点时， SKIPIF 1 0 ，故答案为： SKIPIF 1 0 12（春烟台期末）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）求函数 SKIPIF 1 0 的极值；（2）若函数 SKIPIF 1 0 有3个零点，求 SKIPIF 1 0 的取值范围【分析】（1）求导得 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0

23、或 SKIPIF 1 0 ，列表格分析随着 SKIPIF 1 0 变化 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 变化情况，进而得出极值（2）由（1）可知要使得函数 SKIPIF 1 0 有3个零点，只需 SKIPIF 1 0 ，进而解出 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，则随着 SKIPIF 1 0 变化 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 变化情况如下表： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SK

24、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值单调递增所以，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取得极大值 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取得极小值 SKIPIF 1 0 （2）要使得函数 SKIPIF 1 0 有3个零点，只需 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 13（新课标）设函数 SKIPIF 1 0 ，曲线 SKIPIF 1 0 在点

25、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 处的切线与 SKIPIF 1 0 轴垂直（1）求 SKIPIF 1 0 ；（2）若 SKIPIF 1 0 有一个绝对值不大于1的零点，证明： SKIPIF 1 0 所有零点的绝对值都不大于1【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得 SKIPIF 1 0 ，由此求得 SKIPIF 1 0 值；（2）设 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的一个零点，根据题意， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，对 SKIPIF 1 0 求导数，可得 SKIPIF 1 0 在

26、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的单调性，得到 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的零点，则必有 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，由此求得 SKIPIF 1 0 的范围得答案【解答】（1）解：由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ；（2）证明：设 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的一个零点，根据题意， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1

27、 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 可知 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF

28、 1 0 为 SKIPIF 1 0 的零点，则必有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所有零点的绝对值都不大于114（2019新课标）已知函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的导数证明：（1） SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 存在唯一极大值点；（2） SKIPIF 1 0 有且仅有2个零点【分析】（1） SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，求出原函数的导函数，进一步求导

29、，得到 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为减函数，结合 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在唯一得零点 SKIPIF 1 0 ，结合单调性可得， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，可得 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减；当 SKIPIF 1 0 时， S

30、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增；由于 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 0 ，结合单调性可知，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递增；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递减当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递减，再由 SKIPI

31、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 然后列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的变化情况表得答案【解答】证明：（1） SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为减函数，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在唯一的零点 SKIPIF 1 0 ，结合单调性

32、可得， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，可得 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递增， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递增， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增；由于 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 0 ， SK

33、IPIF 1 0 ，由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 0 ，结合单调性可知，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递减， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递减， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

34、 1 0 单调递减，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 于是可得下表： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 单调递减 0单调递增 大于0单调递减 大于0单调递减 小于0结合单调性可知，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

35、 1 0 上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有且只有一个零点 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 恒成立，因此函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上无零点综上， SKIPIF 1 0 有且仅有2个零点15（沙坪坝区校级模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是自然对数的底数）（1）若 SKI

36、PIF 1 0 ，讨论函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的零点个数；（2）设 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 是曲线 SKIPIF 1 0 上的一个定点，实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的导函数试比较 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的大小，并证明你的结论【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，判断函数的零点个数即可；（2）代入 SKIPIF 1 0 的值，原不等式等价于 SKIPIF 1 0 ，不妨设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，原不等式等价于

37、 SKIPIF 1 0 ，两边同除以 SKIPIF 1 0 得到 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，根据函数的单调性证明结论即可【解答】解：（1）若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以： SKIPIF 1 0 ，易知 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增， SKIPIF 1 0 ，所以函数 SKIPIF 1 0 在 SKIP

38、IF 1 0 上的零点个数为0 （4分）（2） SKIPIF 1 0 证明： SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，原不等式等价于 SKIPIF 1 0 ，等价于 SKIPIF 1 0 （7分）不妨设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，原不等式等价于 SKIPIF 1 0 两边同除以 SKIPIF 1 0 得到 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPI

39、F 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递增，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 0 16（春未央区校级月考）已知函数 SKIPIF 1 0 有两个零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围；（2）求证： SKIPIF 1 0 【分析】（1）利用导数求出函数 SKIPIF 1 0 的单调区间，由 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，即对任意 SKIPIF 1 0 ，存在 SKIPIF 1

40、 0 ，满足 SKIPIF 1 0 再由当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 可得函数 SKIPIF 1 0 有两个零点的充要条件为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，化简得 SKIPIF 1 0 的范围；（2）函数 SKIPIF 1 0 有两个零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立可得 SKIPIF 1 0 ，把证 SKIPIF 1 0 转化为证 SKIPIF 1 0 ，不妨设 SKIPIF 1 0 ，则转化为 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，即证 SKIPIF

41、1 0 ， SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，求导即可证明 SKIPIF 1 0 ，故结论成立【解答】（1）解： SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 令 SKIPIF

42、1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 综上，对任意 SKIPIF 1 0 ，存在 SKIPIF 1 0 ，满足 SKIPIF 1 0 另一方面，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 因此，函数 SKIPIF 1 0 有两个零点的充要条件为 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，化简得： SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 的范围为 SKIPIF 1 0 ；（2）证明： SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 有两个零点 SKIPIF 1 0 ，

43、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 要证 SKIPIF 1 0 ，即证 SKIPIF 1 0 不妨设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，即证 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 B组强基必备1（全国三模

44、）已知函数 SKIPIF 1 0 有两个零点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 则下列结论中不正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】求出原函数的导函数，可知当 SKIPIF 1 0 时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于0求解 SKIPIF 1 0 的范围判断 SKIPIF 1 0 ；分析函数两零点大于0，代入原函数，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 判断 SKIPIF 1

45、 0 ；由 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的两个零点，利用导数求解 SKIPIF 1 0 的范围与 SKIPIF 1 0 的范围判断 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 【解答】解： SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，此时 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，不合题意；当 SKIPIF 1 0 时，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0

46、时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调减区间为 SKIPIF 1 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 0 ，可知当 SKIPIF 1 0 时，函数取得极小值为 SKIPIF 1 0 ，又当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 要使函数 SKIPIF 1 0 有两个零点，则 SKIPIF 1 0 ，得 SK

47、IPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正确；由 SKIPIF 1 0 ，极小值点 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的两个零点， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 错误；由 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的两个零点， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPI

48、F 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调增，在 SKIPIF 1 0 上单调减， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正确；设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调增， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调减， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 S

49、KIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正确综上，错误的结论是 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 2（绵阳模拟）若函数 SKIPIF 1 0 有且仅有一个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围 【分析】分离参数 SKIPIF 1 0 ，先证明 SKIPIF 1 0 ；解得： SKIPIF 1 0 ；由于函数 SKIPIF 1 0 有且仅有一个零点；设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；所以直线 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 有且只有一个交点；研究函数 SKIPIF 1 0 的图象特点及单调性，画出大致图象，即可得出结果【解

50、答】解：令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；于是 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递减，在 SKIPIF 1 0 上递增；最小值为 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；由 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ；设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；由于函数 SKIPIF 1 0 有且仅有一个零点

51、；所以直线 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 有且只有一个交点；由 SKIPIF 1 0 ，此时不能完全判断导函数值的正负；再令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；于是， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递减， SKIPIF 1 0 上递增那么 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 由此， SKIPIF 1 0 的正负只同 SKIPIF 1 0 有关，由此得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递减，在 SKIPIF 1 0 上递增