沪教版九年级同步讲义第18讲：二次函数的解析式的确定-教师版

1、沪教版九年级同步讲义第 18 讲： 二次函数的解析式的确定- 教师版-CAL-FENGHAI.Network Information Technology Company.2020YEAR PAGE PAGE 40二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定内容分析二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际应用中的必不可少的一环本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及经过二次函数的平移和关于称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式知识结构知识结构模块一：一般

2、式y=ax2+bx+c( a 0 )知识精讲1、y （a ）一般式y（a）的形式；例题解析解析式例题解析】 已知二次函数的图像经过点（1，5，4和求这个二次函数的解析式【难度】【答案】 y 2x2 3x 4 【解析】设二次函数为 y ax2 bx c ，把 A、B、C 代入二次函数解析式，可得：a 2c，解得b所以这个二次函数的解析式：ay 2x2 3x 4 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组y 图像经过点、（）求这个二次函数的解析式；求这个二次函数的最值【难度】【答案】（1）y ；（2）y 【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（）代入二次函数解析式，可得：c

3、，解得 ，所以这个二次函数的解析式：cy x2 2x 3 ；（2）y ，则当x 时，函数有最大值，最大值为y 4 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组【例3】 已知抛物线 y ax2 bx c 经过点 A（2，3）、B（0，3）、C（4， 5 ）求该抛物线的解析式；xy【难度】【答案】（1）y ；（2）0【解析】（1）把 A（2，3）、B（0，3）、C（4， 5 ）代入二次函数解析式， 可得：c，解得 y；c方法二：也可以利用 AB 关于直线x 1关于称，设二次函数解析式为y a(x 1)2 k 求解y3交于点0)2)，故0 x3时， y 3【总结】考查学生利用一般式

4、求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围【】已知二次函数的图像经过点、（、），且与x交于、B两点试确定该二次函数的解析式；是否在这个图像上，并且说明理由；求的面积【难度】【答案】（1）y ；（2）在；（3）6【解析】（1）y ，把（0，3）、（、（2，）代入二次函数解析式，可得：c，解得c所以二次函数的解析式为： y x2 2x 3 ；把x2y222233（2数图像上（3），可得12ABP 43 62【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组和简单数形接合三角形面积求解模块二：顶点式模块二：顶点式=a(x+m)2+k(0)知识精讲、顶点式：yaxm2 k

5、（a0）yaxm2 k（a0 ，k）为抛物线的顶点坐标；来求解二次函数的解析式；y，都可以配方为：b 2cb2y的形式2a例题解析例题解析【】抛物y的顶点坐标是（ 1，），则 b =，c = 【难度】【答案】-4；0y ，因为顶点坐标为（1），所以m 1，k 2，所以 y 2(x 1)2 2 2x2 4x 0 故 b= -4 ，c= 0 【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程【】已知抛物线的顶点坐标为与y 轴交于点（0，3），求这条物线的解析式【难度】【答案】y142x 3 【解析】设抛物线解析式为 y a(x m)2 k ，因为顶点坐标为（4， 1），所以m4k，a所以y再

6、把（0，3）代入，即得1a4所以抛物线的解析式为：12y 4x22x 3 【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程【】如果a，b，c，那么抛物线y经过第 象限【难度】【答案】一二四【解析】根据a，可得开口向上；根据by轴左侧，根据cy轴交于正半轴，由b2x轴有两个交点，所以大致图像如下：yyOx【总结】考查学生根据顶点式以及系数与 0 大小关系判断图像【】已知二次函数的图像过点且当x =2时，函数有最小值求二次函数的解析式【难度】【答案】 y 2x2 8x 11x2 3，设二次函数解析式为y a(x 2)2 3 ，把（1，5）代入函数解析式可得a 2 二次函数的解析式为： y

7、2x2 8x 11【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程x 轴的两个交点为、点 B C 的左侧），若式【难度】【答案】 y x2 4x 3 【解析】过点 A 作 AHBC 于点 H，可得 AH=1， ABC 是等腰直角三角形，BH=AH=CH=1，即得 B（1，0），C（3，0）；二次函数的图像的顶点坐标为 A（2，1），设 y a(x 2)2 1，把 B 或 C 代入可得a 1所以二次函数的解析式为： y x2 4x 3 yyAxOB HC【总结】考查学生利用几何知识求解顶点坐标，再根据顶点式求解二次函数解析式，以及解方程【】已知抛物线过点、两点，且以直线2 为关于称轴，求

8、抛物线的解析式【难度】【答案】 y x2 4x 5 【解析】函数以直线 x= 2 为关于称轴，y，把点（3，2）、（0，5）代入， 可得ay 【总结】考查学生利用关于称轴，设立顶点式求解二次函数解析式，以及解方程模块三：交点式模块三：交点式y= axx知识精讲、交点式yax1x2（a0）yax1x2（a012x轴的两个交点的横坐标；x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；x轴的交点坐标、x x1 x2 ；2根据二次函数的关于称性可知，关于于函数图像上的两点、a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的关于称轴为x x1 x2 ；2y，当x时，即，根据一元b22ax2

9、 b2 4ac ；2ay（a），当抛物线经过点、（x2，k）时，可以用关于称式来求解二次函数的解析式例题解析例题解析【】已知二次函数的图像经过点（，0）、且与y 轴的交点的坐标为求这个二次函数的解析式【难度】3【答案】yx23x322【解析】二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），a 设二次函数解析式为y，把（0，3）代入，可得3a 22这个二次函数的解析式为：y3x3x222【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程【】已知二次函数y的图像经过点 、P三点，求这个二次函数的解析式【难度】【答案】 y 2x2 6x 8 M（、N（4，0），设二次函数解析式为 y a(x 1)(

10、x 4) ，把 P（1， 12 ）代入，可得a 2这个二次函数的解析式为： y 2x2 6x 8 【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程【】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是且函数最小值，求二次函数的解析式【难度】【答案】 y 5x2 20 x 15 【解析】二次函数的图形与 x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0），设二次函数解析式为 y a(x 1)(x 3)，（1，0），（3，0）关于直线 x 2 关于称，函数顶点为(2,5) ，把(2,5) 代入，可得a 5 方法二：也可以使用顶点公式 y a(x 2)2 5 ，把（1，0），（3，0）代入【总结】考查学生利用交点式

11、求解二次函数解析式，以及解方程【】已知抛物线，当x= 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为且图与x轴的两个交点之间的距离为求这个抛物线的解析式【难度】【答案】 y x2 6x 8 【解析】当 x= 3 时，抛物线最高点的纵坐标为 1，顶点坐标为(3,1)，又图像与 x 轴的两个交点之间的距离为 2，与 x 轴的交点为(2,0) (4,0) ，设二次函数解析式为 y a(x 2)(x 4) ，把(3,1)代入，可得a 1方法二：也可设顶点式x 轴交点坐标，然后利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程【】抛物线y经过（0，3）、其顶点的纵坐标为6，求这个 抛物线的解析式【难度】【答案】y 1 1

12、2x 3 【解析】抛物线 y ax2 bx c 经过（0，3）、（12，3），关于称轴为直线x，顶点的纵坐标为 6，顶点坐标为(6,6) ，设二次函数解析式为y a(x 6)2 6 ，把（0，3）代入，可得a 1 所以抛物线的解析式为：12y 1 x2 x 3 12方法二：也可把解析式设成 y a(x 0)(x 12)3 的形式再求解【总结】考查学生根据交点式的特点，利用平移的特点设交点式求解二次函数解析式，以及解方程【】已知二次函数的图像与x轴交于点与y轴交点，且SABC 0【难度】【答案】 y x2 3x 4 ； y x2 3x 4【解析】A（、B（4，0），S1；2ABC 2BC0 x

13、轴的交点为、y a(x 1)(x 4) ，诀别把C0)代入可得a1，把0)代入可得a1二次函数的解析式为 y x2 3x 4 ； y x2 3x 4 【总结】考查学生根据几何知识求交点坐标，然后设交点式求解二次函数解析式，以及解方程模块四：二次函数的平移模块四：二次函数的平移知识精讲向上（k 向上（k ）或向下（k ）k 个单位yy 向向y axm2向上（k ）或向下（k ）k 个单位yaxm2 k平移左平移左m 个单位（m 0）或向左（m0）或向右（m）平移m 个单位向并且向上（k ）或向下（k）平移k 个单位m 个单位（m） 或向右（m 0）右（m）2、 二次函数y ax2 bx c 的平

14、移（1）将二次函数y ax2 bx c 左右平移：m个单位，函数解析式变为yaxm2 bxmcm个单位，函数解析式变为yaxm2 bxmc（2）将二次函数 y ax2 bx c 上下平移：n 个单位，函数解析式变为y n 个单位，函数解析式变为y （3）y2xcyaxm2 k 根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式例题解析例题解析【】把抛物线y向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式【难度】1y 2x2 ，求原来抛物线的解析式【答案】12y x224x 2 【解析】根据平移法则即可，注意题目求的是原函数解析式，1y 2(x 6【总结】主要考查二次函数的平移

15、，注意看清楚谁是由谁平移的【】怎样平移抛物两点？【例19】【难度】3y4x2 【答案】先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位【解析】设抛物线向左平移 m 个单位，向上 k 个单位，可得解析式为3y 4(x 322 (1m) k把点M（和N（1，代入可得：43，解得：21(1m) k4【总结】主要考查二次函数的平移，综合性较强，注意审题【】已知二次函数的图象的顶点坐标为），且经过点求该二次函数解析式；移后图象关于应的二次函数的解析式【难度】【答案】（1）y 3 y x2【解析】（1）设抛物线解析式为 y a(x m)2 k ，因为顶点坐标为（1，4 ），所以m y ，把（2代入，可得a

16、y （2）图像经过坐标原点，设向左平移距离为 （ 0）， y (x 1)2 4经过0，所以把原点代入可得3或【总结】主要考查顶点式求解析式，利用平移关系，待定系数法的应用【】如图，已知经过原点的抛物线y与x轴的另一交点为现将它向右平移m）个单位，所得抛物线与x 轴交于、两点，与原抛物线交点A的坐标，并且判断的形状（不要求说明理由）；x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并且求出它们的长度（m的式子表示）；若不存在，请说明理由；设Sm的关系式yPyPPOCAx【答案】（1）等腰三角形；（2）存在，OC=A=m，AO=C=2；（3）S 4 4mm2 2【解析】（1）设平移前P点的关于应

17、点为P，则PP=OC=m，联接和PC， 可得PPOC为平行四边形，PO=PCPPOAx关于称，PO=PA 为等腰三角形OC=A=m，平移距离相等；AO=C=2，平移属于全等变化过点P做PH垂直于x轴，2，CH AH 2H(2，2P在抛物线上，可得P(2 4 4m m2 ，2，2)214 S2H2【总结】数形接合，利用平移关系，待定系数法求解析式【】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为直线x与x相交于点连结抛物线yx2从点O沿方向平移，与直线x交于点当顶点当顶点M运动到点A时停滞移动所在直线的函数解析式；设抛物线顶点M的横坐标为m的代数式表示点P的坐标；当 m 为何值时，线段PB最短【难度】

18、yAPMOBx【答案】（1）y ；（2）m 【解析】（1）OA 为正比例函数，设 OA 的解析式为 y kx，把点 A 代入可得y（2）M 在射线 OA 上，M（m，2m），M y 把x 2mm2) PB 4 2mm2 2(1m)2 ，当m 1时， PB3为最小值【总结】数形接合，利用平移关系，待定系数法求解析式，根据解析式求最值模块五：二次函数的轴关于称模块五：二次函数的轴关于称知识精讲、关于x轴关于称：y ax2 bx c 关于 x 轴关于称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；yaxm2 kx轴关于称后，得到的解析式是y axm2 k、 关于y 轴关于称：y ax2 bx c 关于

19、y 轴关于称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；yaxm2 ky轴关于称后，得到的解析式是yaxm2 k例题解析例题解析【】如果二次函数的图象与已知二次函数yx2的图象关于y 轴关于称，那么这个二次函数的解析式是（ y y x2y y【难度】【答案】B1x2 y 轴关于称后为直线x y 轴交点为原点【总结】考查图像的关于称变幻【】二次函y mx2 m2 3mx 1m 的图象关于 y 轴关于称，则 m 的值为（ ）A0B3C10 3【难度】【答案】B【解析】y m （舍去），m 3 【总结】考查图像的关于称变幻【】已知一个二次函数y的图象经过点b的值；求抛物线关于x轴关于称的抛物线的解析式

20、【难度】【答案】（1）b ；（2）y 【解析】（1）二次函数的图象经过点 A（1，4），把点 A 代入可得b 2 （2）y的顶点为点A（1，4），关于x轴关于称可得（1，- 4），开口方向向上大小不变，y【总结】代入求解解析式以及图像的关于称变幻】数yxx与yxaxb于y，求a 2 b220yxx与x，y轴关于称点为（-1，0）（-3，0），关于称后的二次函数解析式为 y (x 1)(x 3) ，ab3a 2 b2 0【总结】利用关于称的特性求解点坐标，交点式的应用模块六：二次函数的中心关于称模块六：二次函数的中心关于称知识精讲1、 关于原点关于称：y ax2 bx c 关于原点关于称后，得到

21、的解析式是y ax2 bx c ；yaxm2 kyaxm2 k2、 关于顶点关于称：y y b2；2ayaxm2ky轴关于称后，得到的解析式是y axm2k 、 关于点关于称：yaxm2 k关于称后，得到的解析式是y axm2p2 2qk 例题解析例题解析【】函数y x2与y的图象关于轴关于称，也可以认为yx2是函数yxOy的图象旋转yxO【难度】【答案】x 轴；原点；180【解析】如右图所示【总结】利用图像关于称的特征【】二次函数y的图象关于原点 O 关于称的图象的解析式是 【难度】【答案】 y x2 2x 3 y(x2 4可得顶点为)(1)，所以开口相反，大小不变可得 y x2 2x 3

22、【总结】利用点关于称的特征，再根据顶点情况求解析式【】抛物线y 的图象关于其顶点关于称的抛物线的解析式是 【难度】【答案】25y x3x 2【解析】先配方成顶点式3 21可得顶点为 3，其关于顶点仍然为y ) , )242431 ，3 21( , )y )2424【总结】利用点关于称的特征，再根据顶点情况求解析式【】二次函数y的图象关于点 A（2，0）关于称的图象的解析式是 【难度】y y y 1 23 13)A)2242 )2（2，0）关于称为(9，所以开口相反，大小不变可得9 234 )42y (x ) 【总结】利用点关于称的特征，再根据顶点情况求解析式【】如图，已知抛物线：y5，抛物线与

23、关于点中心关于称，与相交于两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且MNx轴yF2AMOyF2AMOxBF1N长度的最大值【难度】【答案】（1）y 【解析】（1）已知抛物线y 的顶点（0，5）（1，0）关于称后的点坐标为 （2，-5），方向相反可求得y （2）抛物线y 与y AB，AB 两点横坐标诀别为2 2 ；设，其中22 10 则当a 1时，MN 最大为 8【总结】数形接合，利用关于称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值随堂检测随堂检测【习】二次函数的图像经过（）、（、（，5），求二次函的解析式【难度】【答案】 y x2 2

24、x 3y ，把（1）、（、（，5）代入二次函数解析式，可得：aa 1，解得c 3数的解析式为： y x2 2x 3【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组【习】已知抛物线的顶点为式【难度】【答案】 y 2x2 8x 11，3），且过点1 ，5），求抛物线的解析y ，因为顶点坐标为（，3），所以m 2,k 3，y ，再把（代入，即得a 【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式【习】已知二次函数的图像与 x 轴交于点（，0）和（4，0），且过点（1，9），求二次函数的解析式2【难度】【答案】y12x 4 x 轴的交点坐标是（，0）和（4，0），设二次函数解析式为 y a(

25、x 2)(x 4)，把点（1， 9 ）代入解析式，可得21a 2二次函数的解析式为：1 2y 2 x x 4【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式【习】把二次函1x2的图象经过翻折、平移得到二次函数y y y1x 2的图象，下列关于此进程描述正确的是（ ）y轴翻折，再向下平移6个单位y轴翻折，再向左平移6个单位x轴翻折，再向左平移6个单位x轴翻折，再向右平移6个单位【难度】【答案】【解析】 a 为相反数，沿 x 轴翻折；又顶点坐标（-3，0）变化为（3，0），向右平移 6 个单位（也可以利用函数平移法则）【总结】利用关于称和平移法则求解解析式】线yx2沿y点 （， 求平移后的抛物线的解析

26、式【难度】yx2 4x2 2x3yx12沿y轴向上或向下平移距离为kyx2 k，k4【总结】利用平移法则求解解析式【习】已知二次函数y 与二次函3y4x2 形状相同，开口方向相反，且其图像的关于称轴为直线1，且经过点 9），求此二次函数的解析式4【难度】【答案】3 239y x x424y与二次函数3y4x2 形状相同， a 3 ，4a 3 x1 ，4b y b 可得3，再把点（2， 9b y 3 23，得2a2xxxx442c 4【总结】根据图像的性质求解解析式【习】二次函数图像的关于称轴为直线1 ，函数的最小值为，抛物线与x轴个交点之间的距离为求函数的解析式（用三种不同的方法）【难度】【答

27、案】 y x2 2x 3x1 x 轴两个交点之间的距离4，x轴交于(1)和3)，且顶点坐标为)y2xc，把(1)、3)、)次函数解析 式，可得： a b c 0a 1，解得b 2 所以函数的解析式为：c 3y x2 2x 3ya(x)2k，因为顶点坐标为)，所以mk4ya(x24，再把(1)或3)a 1yxx)，把点)a 1综上，所求的抛物线的解析式为： y x2 2x 3【总结】利用交点的情况诀别设不同解析式求解【习】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知A的坐标为（ 3求：B的坐标；B三点的二次函数的解析式和这个函数图像的顶点坐标yyBAOx【难度】）3）y2 3x，顶点坐标为( 31，

28、)3348，)【解析】（1）如图诀别过点 A，点 B 作 x 轴垂线交于点 M 和点 N，可得AOM，AM3 ，点 B 坐标为3（2）设二次函数为y，yB把3、3)、0)3a2A3x33可得： 解得MO33cc 0y x ，)所以二次函数的解析式为：2 23x，顶点坐标为 y x ，)3348【总结】数形接合，利用几何性质求解点坐标，以及点坐标求解析式】 如图，把抛物线y虚线部分）11 个 单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线y、B抛 物线、xC诀别是抛物线、yE诀别写出抛物线与的解析式；P是抛物线、OPy轴的关于称点，试判断以 、 为顶点的四边形是什么特殊的四边形说明你的理由线1点得ABM

29、AOE出M 点的坐标；如果不存在，请说明理由yCEBOAxl2l1【难度】【答案】（1）y 和y 等腰梯形；()M点坐标为(13)， 33)(7，3(7 1，3()2 42 42424【解析】（1）把抛物线y（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位，:y又抛物线与抛物线关于y轴关于称，: y C为诀别是抛物线1、2 )，CE=E=1C y轴关于称，y 轴垂直平C，QPy轴的关于称点，yPQ，CPQ CPQHG，CPQ，CH=GCPQ，CPQ，四边形 CPQ 为等腰梯形CCyEHQPOGx（3）存在，经过抛物线l1 、l2 与 x 轴的交点可求得 A(2,0)B(2,0) ，EOA

30、，S13MEOA 22线，M AB 12x B 2x222x ，23，去绝关于值号可得方程： 23和 23 2得1，3，7 x7 12x 4x 2x 4x 2 222系数法的思想，解题时要注意分析【习】如图，平行四边形中=点的坐标是以点C为顶点的抛物线y经过x轴上的点、C的坐标；若抛物线向上平移后恰好经过点yyCOABx【难度】）2)6)4)）y2x2x8【解析】（1）过 C 作 AB 的垂线 CH，CH 在抛物线关于称轴上，点 A 和点 B 关于 CH 关于称，AH=BH，ABC 为平行四边形，C=AB=4 CAB， 可得4)x 4 ，B2)6)（2）求经过 A、B、C 三点的抛物线可得：

31、y 2x2 16x 24 ，m y ， 把（0，8）m （也可以经过与 y 轴的交点的平移得到 m 的值）【总结】数形接合，等腰梯形，关于称性以及待定系数法课后作业课后作业【作】已知二次函数的图像经过点、）、 3），2求二次函数的解析式【难度】【答案】12y 2x232y A（3，6）、B（）、C（0，19a 3b c 63）代入二次函数解析式，可得：a 2，解得： b 1 233c22【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解多元一次方程组【作】已知抛物线的顶点为且与y轴交于点），求抛物线解析式【难度】【答案】 y x2 2x 2 【解析】设抛物线解析式为 y a(x m)2 k ，因

32、为顶点坐标为（1， 3），所以m,k3，ya(x23，2代入，即得a【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式【作】已知抛物线与x轴交于点和且与y轴交点的纵坐标为3， 求抛物线的解析式【难度】【答案】y12x55x 轴的交点坐标是（和（5，0），设二次函数解析 式为 y ，把点（0代入解析式可得a 1 5【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式【作】一抛物线向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后得到抛物线y ，则平移前抛物线的解析式【难度】【答案】 y 2x2 8x 4 yy2个单位，向左3 y 【总结】平移法则的应用【作】在平面直角坐标系中，先将抛物线y关于 x 轴作轴关于称变

33、幻，再将所得的抛物线关于y轴作轴关于称变幻，那么经两次变幻后所得的新抛物线的解析为（ ）y yy y【难度】【答案】By配成顶点式：1 29x轴作轴关于称y (x ) 变幻可得：241 29y轴作轴关于称变幻可得：1 29，y ) y )2424展开即得 y x2 x 2故选 B【总结】利用关于称性求解解析式【作】二次函数图像的顶点为（1，2），且与直线 y = + k 相交于点（1）求：二次函数的解析式；该二次函数的图像与直线2+ k的另一交点的坐标【难度】【答案】（1）y 2， 33 【解析】（1）y，因为顶点坐标为（1，2）， 所以m ， 所以 y，再把（2代入，即得a（2）把（2y可得k ，两解析式函数值相等可得方程：2x22（重合，舍去）， 2 23 33【总结】利用交点以及点坐标求解析