6.2 线性子空间的和与直和[上课材料]

1、2 线性子空间的和与直和线性子空间的和与直和线性子空间的和线性子空间的和线性子空间的和的维数公式线性子空间的和的维数公式线性子空间的和的基的求法线性子空间的和的基的求法线性子空间的直和线性子空间的直和1公开课线性子空间的和线性子空间的和两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间的并集一般不是线性子空间。的并集一般不是线性子空间。则集合则集合也是一个线性子空间，也是一个线性子空间，proof2公开课线性子空间的和线性子空间的和(2)从线性子空间的和的定义很容易看出：从线性子空间的和的定义很容易看出：(3) 多个子空间的和：多个子空间的和：3公

2、开课线性子空间的和的维数线性子空间的和的维数以上以上 4 个线性子空间都是个线性子空间都是 2 维的维的4公开课线性子空间的和的维数线性子空间的和的维数(理论结果理论结果)引理引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。量组可以被扩充成该子空间的一组基。proofproofproof5公开课线性子空间的和的求法：例子线性子空间的和的求法：例子主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组6公开课线性子空间的和的求法：例子线性子空间的和的求法：例子基础解系基础解系:7公开课线性子空间的直和线性子

3、空间的直和: 定义定义下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形-直和直和.必要性是显然的必要性是显然的, 下证充分性下证充分性. 8公开课线性子空间的直和，补子空间线性子空间的直和，补子空间proofproof9公开课多个线性子空间的直和多个线性子空间的直和proof10公开课命题命题2.1的证明的证明所以所以 W 是线性子空间。是线性子空间。back证明：证明：11公开课命题命题 2.2 的证明的证明证明证明:由定义由定义, 有有back12公开课引理引理.的证明的证明如果这个向量组不是如果这个向量组不是W的基的基, 则用同样的方法扩充则用同样的方法扩充线

4、性无关的向量组线性无关的向量组, 直到不能扩充为止直到不能扩充为止 最后得到最后得到W的一组基的一组基.back引理引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。被扩充成该子空间的一组基。证明证明:13公开课定理定理2.4的证明的证明证明证明:注意到注意到只要证明只要证明线性无关线性无关14公开课定理定理 2.4 的证明的证明(2)设设有有所以所以即即有有back15公开课定理定理 2.6 的证明的证明证明：由维数公式可以得到证明：由维数公式可以得到(2)与与(3)的等价性。的等价性。下面证明下面证明(1)与与(2)的等价性。的等价性。back16公开课定理定理 2.7 的证明的证明由于基的扩充是不唯一的，所以当由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时，是不平凡子空间时，它的补子空间是不唯一的。它的补子空间是不唯一的。back17公开课命题命题 2.8 的证明的证明证明证明: 18公开课命题命题