椭圆及其标准方程(内有画椭圆动图)

1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程学习目标：学习目标：1 1掌握椭圆的定义；掌握椭圆的定义；2 2掌握椭圆的标准方程掌握椭圆的标准方程及其推导过程及其推导过程(1)取一条细绳，取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点把它的两端固定在板上的两点F1、F2，(3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动，）把细绳拉紧，在板上慢慢移动，看看画出的图形看看画出的图形.在画椭圆的过程中，在画椭圆的过程中，1细绳两端的位置是固定的还是运动的？细绳两端的位置是固定的还是运动的？2细绳的长度变了没有？说明了什么？细绳的长度变了没有？说明了什么？3当绳长当绳长等于等于或者或者小于小于两图钉之间距离时

2、会怎样？两图钉之间距离时会怎样？ 思考：思考：当当|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2| |时时,M,M点轨迹为点轨迹为椭圆椭圆. .当当若若|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |时时,M,M点轨迹为点轨迹为线段线段. .当若若|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1F2|;（2）定长）定长轨迹上任意点到两定点轨迹上任意点到两定点距离和确定距离和确定.MF2F11.利用坐标法求曲线方程的一般步骤：利用坐标法求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简建系、设点、列式、化简.MF1F2方案方案1Oxy方

3、案方案2F1F2M讨论方案：讨论方案：OxyxF1F2M0y以以过焦点过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOy. 设设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆是椭圆上任意一点，椭圆的焦距的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和的距离的和等于正常数等于正常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的坐的坐标分别标分别 是是( c,0)、(c,0) .由椭圆的定义得：由椭圆的定义得：aMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222思考：思考：如何化简

4、带有根号的表达式？如何化简带有根号的表达式？222222bayaxb则上式变为),0(222bbca设,0,2222cacaca即由椭圆定义可知由椭圆定义可知222)(ycxacxa即：2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca整理得：2222222)()(44)(ycxycxaaycx 移项，再平方移项，再平方aycxycx2)()(2222得：两边同除以22ba) 0(12222babyax它表示：它表示： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴； 焦点坐标为焦点坐标为F1（-C，0），），F2（C，0）；）； c

5、2= a2 - b2 .) 0(12222babyaxF1F2M0 xy思考：思考：在图形中，在图形中，a,b,c分别代表哪段的长度？分别代表哪段的长度？abcc思考：思考： OxyF1F2Maycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(2222对比：对比：椭圆的椭圆的标准方程标准方程)0(12222babxay它表示它表示: 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴； 焦点是焦点是F1（0，-c）、）、 F2（0，c）；）； c2= a2 - b2 .xMF1F2yabcc思考：思考：在图形中，在图形中，a,b,c分别代表哪段的长度？分别代表哪段的长度？2222+=1 0 xyabab222

6、2+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO椭圆椭圆标准方程的再认识：标准方程的再认识：（2）当a=4,b=1,焦点在x轴上时，求椭圆的方程.；位置，定写出焦点坐标的焦点11625椭圆

7、判) 1 (22yx例例1.1.1169144)1 (22yx在在 y 轴轴.（0，-5）和（）和（0，5）11)2(2222mymx在在y 轴轴.（0，-1）和（）和（0，1）2.当当a+b=10,c= 时，求椭圆的方程时，求椭圆的方程.52，或11636116362222xyyx222235352222 102222a 6222cab10a2c ，又，又 ， 所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：解：解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上，所以设它的标准方轴上，所以设它的标准方程为程为例例2.2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (-2 ,0(-2

8、 ,0），），（2 ,0)2 ,0)并且经过并且经过点点 ，求它的，求它的标准方程标准方程. .)23- ,25(161022yx由椭圆的定义知：由椭圆的定义知：).0(12222bayxba跟踪训练跟踪训练2 2 椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，4）,（0，4），），椭圆椭圆上一点上一点M到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求，求椭圆的标准方程椭圆的标准方程. .解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 )

9、 0( 12222babxay192522xy感悟：感悟：求椭圆标准方程的方法步骤：求椭圆标准方程的方法步骤： 定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定形：设出标准方程定形：设出标准方程.定量：求定量：求a, b的值的值.1.当当a=4,b= ,焦点在焦点在y轴上时，求椭圆的方程轴上时，求椭圆的方程.2.如果椭圆如果椭圆 上一点上一点P到焦点到焦点 的距离的距离等于等于6，那么点，那么点P到另一个焦点到另一个焦点 的距离等的距离等 于于 . 3.已知椭圆的两个焦点分别是（已知椭圆的两个焦点分别是（0，-4）（）（0,4），），a=5,求它的标准方程求它的标准方程.1513610022yxF1F211622yx14192522xy1、椭圆的定义（强调、椭圆的定义（强调2a|F1F2|=2c）和椭圆和椭圆的的两种标准两种标准方程方程 3、求椭圆标准方程的方法、求椭圆标准方程的方法 2、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法、根据椭圆