复变函数论课件：第七章 保形变换

1、第七章 保形变换前几章 分析的方法， 微分、积分和级数 讨论解析函数的性质和应用。 主要涉及 柯西理论；这一章 几何方法 揭示解析函数的特征和应用。保形变换现 名为“共形映射”或“共性映照”。 在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法。共形映射分式线性映射一一对应性保角性保圆性几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性 幂函数指数函数1 解析变换的特性 一.解析变换的保域性 1 定理7.1(保域性定理) 设函数=f (z)在区域D内解析，且不恒为常数，则象集合G=f (D)也是一个区域。P26 光滑曲线的定义二、解析

2、函数导数的几何意义yxC.两曲线的夹角正向: t 增大时, 点 z 移动的方向.如果规定: 平面内的有向连续曲线C可表示为:yxC.两曲线的夹角当 p方向与 C 一致.C.yx两曲线的夹角处切线的正向, 则有x 轴正向之间的夹角.C.yx两曲线的夹角之间的夹角.两曲线的夹角正向: t 增大的方向;C.yx解析函数导数的几何意义其参数方程为正向: t 增大的方向.C.yxyx.解析函数导数的几何意义或解析函数导数的几何意义说明: 转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关.映射 w=f(z) 具有转动角的不变性.解析函数导数的几何意义则有结论:的夹角在其大小和方向上都等同于经过方向不变的性质, 此性质

3、称为保角性. 解析函数导数的几何意义Cyxyx.结论: 方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.综上所述, 有质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.定理 解反之放大.共形映射分式线性映射一一对应性保角性保圆性几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性 幂函数指数函数称为分式线性映射.说明: 否则, 由于那末整个z平面映射成 w平面上的一点.2分式线性映射一 分式线性映射分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.2) 由3) 两分式线性映射仍复合为分式线性映4) 分式线性映射一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而成:分式线性映射首先由德国数

4、学家默比乌斯(17901868)研究, 所以也称为默比乌斯映射.对每一个固定的w, 此式关于z是线性的;对每一个固定的z, 此式关于w也是线性的, 因此称上式是双线性的. 分式线性映射也称双线性映射.小知识August MbiusBorn: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany)Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany默比乌斯平移映射(为方便起见, 令w平面与z平面重合)几种简单的分式线性映射旋转与伸长(或缩短)变换事实上, 设那末因此, 把z先转一个角度几种简单的分式线性映射关于横轴对称反演变换此映

5、射可进一步分解为欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:关键: 几种简单的分式线性映射对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的对称点.规定: 无穷远点的对称点是圆心O.几种简单的分式线性映射.设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂作图:.几种简单的分式线性映射故可知:.关于单位圆对称关于实轴对称几种简单的分式线性映射一般分式线性函数是由下列 四种简单函数叠合而得的 平移 旋转 以原点为相似中心的相似映射 对称P288例7.4 2个不动点7.4P288例7.4 2个不动点P288例7.4 2个不动点1.共形性例如:结论:分式线

6、性映射在扩充复平面上一一对应.二、分式线性映射的性质P292例 7.5 3点定变换2,i,-2 - -1,i,17.53. 保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.1) 映射特点: 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.2) 映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.3) 分式线性映射定理7.10 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点, 那

7、末它就映射成直线.如果4. 保对称性对称点的特性.定理7.11充要条件是:即分式线性映射具有保对称性.定理7.12 证分式线性映射证毕P299 3 几个初等函数构成的共形映射1.幂函数则: 1)(特殊地: 单位圆周映射为单位圆周)2)特殊地:)上岸0沿正实轴剪开的w平面下岸映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍. )?如果要把角形域映射成角形域，常利用幂级数.例 解)因此所求映射为:0个映射.0?例 0解0实现此步的映射是分式线性函数:00.000000.0因此所求映射为:.分析: 关键点是将垂直于x轴的割痕的两侧跟x轴之间的夹角展平. 00?

8、例7.11解 如图所示:0.0.0.0.0.0.0.0.解 如图所示:P303 例7.122.指数函数001)002)0000特殊地:?映射特点:如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.解例7.13圆弧之角域的共形映射 例7.14 P306例7.15 P307例7.16 P3071.定义4.儒可夫斯基函数 变换映射为什么区域?2. 问题: 儒可夫斯基函数分解为.2)具有保角性.沿射线arg t = 2a剪开的半平面沿连接点a与-a的圆弧割开的w平面结论:说明:共焦点的椭圆族方程椭圆渐扁.上半圆周割痕下岸下半圆周割痕上岸(机翼截线).3.儒可夫斯基截线.且因儒可夫斯基采用它作为机翼的型线. 假设机翼型线为此曲线而进行一些流体力学上的理论计算，使对机翼绕流的研究化为对圆柱绕流的研究.机翼截线名称的由来: 5. 儒可夫斯基函数-定理 一 单值解析函数共形性逆定理4 关于保形变换的Riemann存在定理和边界对应原理由多于一个点所构成的)是怎样的, 并且这样的共形映射是唯一的.定理7.13也不论这两域二、黎曼定理说明该条件的几何解析：三、边界对应原理 定理7.14(边界对应原