随机信号分析课件

1、随机信号分析概率论信号与系统电路课程检测与估计声呐技术通信原理随机信号概率论信号与系统电路课程检测与估计声呐技术通信原理随机信号分析1概率论2随机过程3平稳随机过程的谱分析4随机信号通过线性系统的分析5窄带随机过程随1概率论2随机过程3平稳随机过程的谱分析4随机信号通过线性第一章 概率论基础1.1概率空间的概念样本点（s）5随机事件（A）6样本空间（S）4随机试验（E）3随机现象2确定性事件1第一章 概率论基础1.1概率空间的概念样本点（s）5随机1.1.1古典概率（等可能概率） 事件A的概率表示为 古典概率性质：1231.1.1古典概率（等可能概率） 事件A的概率表示为1.1.2 几何概率

2、几何概率的基本性质： 1231.1.2 几何概率 几何概率的基1.1.3 统计概率 123 事件频率的性质：1.1.3 统计概率 123 事件频率的性质： 几种概率共有的基本性质：123 定义：规定一个实验，所有样本点之集合构成样本空间S，在样本空间中一个样本点或若干个样本点之适当集合F 称为事件域，F 中的每一集合称为事件。若AF ，则PA就是事件A的概率，并称这三个实体的结合(S，F ，P)为一个概率空间。 几种概率共有的基本性质：123 定义：规定一个1.2 条件概率空间1.2.1 条件概率的定义 定义：设(S，F ，P)是一个已知的概率空间，有事件A，BF ，PB0，令 则P|B是定义

3、在F 上的条件概率。计PBA=PA|B，称(S，F ，PB)为给定事件B的条件概率空间，简称为条件概率空间。1.2 条件概率空间 则P|B是定义在F 上的1.2.2 全概率公式 1.2.2 全概率公式证明： 由于AS=A证明：贝叶斯(Bayes)公式1.2.3 贝叶斯公式贝叶斯(Bayes)公式1.2.3 贝叶斯公式1.2.4 独立事件、统计独立定义：设(S，F ，P)为一概率空间，事件AF 、BF且PA0，若PB|A=PB，则称事件B随机独立于事件A（或简称B独立于A）。 PB|A=PB PAB=PAPB PA|B=PA 在概率独立性的定义中，一般是使用乘积公式，即 PAB=PAPB 注意：

4、互斥事件与统计独立的区别。 统计独立- PAB=PAPB 互斥-AB=，PAB=P两个事件的独立性具有相互对称性质概率范畴的概念集合范畴的概念1.2.4 独立事件、统计独立两个事件的独立性具有相互对称性1.3 随机变量及其概率分布函数1.3.1 随机变量的概念 随机变量定义：设已知一个概率空间(S，F ，P)，对于sS，X(s)是一个取实值的单值函数，若对任意实数x1 ，s：X(s)x1是一随机事件，也就是s：X(s)x1F ，则称X(s)为随机变量。 定义在S上的任意单值函数都能使式 X(s)x1F 成立，因而定义在S上的任意单值函数都是一随机变量。即在同一概率空间上，可以定义许多随机变量，

5、只要满足定义中单值函数的条件。 随机变量可简写为X。映射原样本空间新样本空间1.3 随机变量及其概率分布函数 随机变量定义：设已知一1.3.2 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量X只可能取有限个值或一串值，亦即X的一切可能值为x1，x2，xn记为 Pn=PX=xn n=1，2， 称p1，p2，pn，为X的分布列，亦称为X的概率函数，我们可将X的可能值及其相应的概率列成下表： Xx1 x2 . xn . Pp1 p2 . pn . pn满足下列两个条件： 1 2 1.3.2 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量X只1.3.3 连续型随机变量及其密度函数 连续型随机变量定义：在某一区间内

6、任意取值的随机变量X，取值不是集中在有限个或可列无穷个点上，只有确知取值于任意区间上的概率PaXb(其中ab为任意实数)，才能掌握它取值的概率分布情况，这就是连续型随机变量。 随机变量X 2 称X为具有连续型分布或X为连续型随机变量。fX(x)称为X的分布密度函数，简称为分布密度或密度函数。 由于 密度函数的性质： 11.3.3 连续型随机变量及其密度函数 连续型随机变量定1.3.4 分布函数及其基本性质分布列 分布函数定义：设(S，F ，P)是一概率空间，X(s)是定义在其上的随机变量，R1=x:-x ，对于任意xR1，令 FX(x)=PXx 称FX(x)为随机变量X的分布函数。密度函数 离

7、散型随机变量连续型随机变量 连续取值而非连续型或混合型随机变量 ？ 按分布函数的定义，当a0且满足 称（X，Y）为连续型的二维随机变量，称其联合分布函数FXY(x,y)为连续型的联合分布函数，称fXY(x,y)为（X，Y）的联合密度函数。 fXY(x,y)在（x，y）点连续三、连续型分布函数 其中fXY(x,y)0且满足 称（X例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0Y3例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1.4.2 边沿分布 任意两个随机变量X，Y，其联合分布函数为FXY(x,y)，则 分别称F1(x) 和 F2(y) 为FXY(x,y)

8、关于 X，Y的边沿分布函数，或简称为X和Y的边沿分布函数。1.4.2 边沿分布 分别称F1(x) 和 F2(y) 为 对于连续型随机变量（X，Y），则有称为（X，Y）的边沿概率密度【例题】设（X，Y）是一个二维随机变量，其联合概率密度函数为 对于连续型随机变量（X，Y），则有称为（X，Y解：解： 一般二维正态概率密度函数 一般二维正态概率密度函数 二维离散型随机变量（X，Y）有为X的边沿概率密度函数，也可表示为p（i，），有在有限多维随机变量（X1，X2，Xn）条件下 二维离散型随机变量（X，Y）有为X的边沿概率密例2.已知(X,Y)的分布律为xy10 11/103/100 3/10 3/10

9、求X、Y的边缘分布律。解：xy10pi.11/103/1003/103/10 p.j 2/53/52/53/5例2.已知(X,Y)的分布律为解：2/53/5故关于X和Y的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/5故关于X和Y的分布律分别为：1.4.3 相互独立随机变量与条件分布一、相互独立的随机变量 相互独立定义：设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有 则称X，Y为相互独立的随机变量。 离散型随机变量X，Y相互独立 连续型随机变量X，Y相互独立1.4.3 相互独立随机变量与条件分布 则称X，Y为相互独 定义：设X1，X2，Xn是n个随机变量，FX1X2Xn（x1，x2，

10、xn）及FXi（xi）分别为（X1，X2，Xn）及（Xi：i=1，2，n）的分布函数，若对任意实数x1，x2，xn有 则称X1，X2，Xn是相互独立的随机变量。二、条件分布和条件概率密度函数 条件概率 随机变量X，A等效于事件Xx，在给定事件B条件下，PXx|B称为随机变量X的条件分布函数，表示为 定义：设X1，X2，Xn是n个随机变量，F随机信号分析课件 离散型随机变量 连续型随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 如果两个随机变量X，Y是相互独立的 【例题】设随机变量（X，Y）服从二维正态分布N（0，1；0，1；rXY），求条件概率密度fX|Y（x|y）和fY|X（y|x）。 解： 如果

11、两个随机变量X，Y是相互独立的 条件概率密度仍服从正态分布 条件概率密度仍服从正态分布 当随机变量X，Y之间的相关系数 rXY = 0 时 当随机变量X，Y之间的相关系数 rXY = 01.5 随机变量函数的分布1.5.1 一维随机变量函数的分布 设随机变量X和Y存在单调函数关系，并存在反函数X=h（Y），则有1.5 随机变量函数的分布 假定X= h（Y）是一个非单调的反函数，即 假定X= h（Y）是一个非单调的反函数，即 当Y对应多个X值时 当Y对应多个X值时【例题】设随机变量服从均匀分布 求Y=sinX的概率密度函数。 解：【例题】设随机变量服从均匀分布 求Y=sinX的随机信号分析课件1

12、.5.2 二维随机变量函数的分布1.5.2 二维随机变量函数的分布 Z=X+Y的概率密度 Z=X+Y的概率密度 两个随机变量差、积、商的概率密度公式 两个随机变量差、积、商的概率密度公式 一些常用结果： 1 两个独立的正态随机变量 和变量Z=X+Y也是正态随机变量 2 两个独立的随机变量X，Y具有相同的柯西分布，其和Z=X+Y也是柯西分布的随机变量。 3 两个独立的均匀分布随机变量X，Y，且均取值与0，1，则其和Z=X+Y是一个三角形密度函数的随机变量。 一些常用结果： 和变量Z= 4 两个独立的随机变量X，Y的概率密度分别为 其乘积Z=XY为一维正态随机变量 5 两个独立同分布的正态随机变量

13、X，YN（0，1）其商Z=Y/X的概率密度为柯西分布 4 两个独立的随机变量X，Y的概率密度分别为随机变量的数学期望1.6 随机变量的数字特征1.6.1 统计平均值与随机变量的数学期望值1.6 随机变量的数字特征1.6.2 随机变量函数的期望值XY=G（X）=X200244161.6.2 随机变量函数的期望值XY=G（X）=X2002 二维、多维情况 二维、多维情况【例题】 因为 1 求数学期望是线性运算； 2 加权和的期望等于期望的加权和；【例题】 因为 1 求数学期望是线性【例题】【例题】1.6.3 条件数学期望条件数学期望1.6.3 条件数学期望随机信号分析课件 条件期望的性质： 设X、

14、Y、Z均为随机变量，g（X）在样本空间的域上连续，且EX,EY,EZ及Eg（Y）X均存在，则有 条件期望的性质：1.6.4 随机变量的各阶矩一、k阶原点矩、k阶中心矩 随机变量X，若随机变量X的k阶原点矩随机变量X的k阶原点绝对矩对于离散和连续随机变量其k阶原点矩分别为若EX存在，且随机变量X的k阶中心矩1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量X的k阶原点矩随机变量X随机信号分析课件随机信号分析课件随机信号分析课件随机信号分析课件 几种常用随机变量的矩 1 贝努里分布 几种常用随机变量的矩 2 均匀分布 2 均匀分布 3 正态分布 k为奇数时，备积函数为奇函数，中心矩为零。k为偶数时 3 正态分布

15、 k为奇数时，备积函数为奇函数 4 二项式分布bin（t，p） 4 二项式分布bin（t，p） 5指数分布expO（） 5指数分布expO（）二、联合矩 离散连续随机变量的联合矩为互相关矩协方差相关系数几个概念： 统计独立； 不相关； 正交随机变量；二、联合矩互相关矩协方差相关系数几个概念： 随机变量X，Y统计独立，则也是不相关的。 随机变量X，Y不相关并不一定统计独立 随机变量X，Y统计独立，则也是不相关的。 【例题】设Z是一个随机变量，具有均匀概率密度 所以X，Y是不相关的随机变量。 所以X，Y是不独立的随机变量。【例题】设Z是一个随机变量，具有均匀概率密度 所 正态随机变量 正态随机变量

16、随机信号分析课件1.7 随机变量的特征函数1.7.2 特征函数的定义 定义：设X是定义在概率空间（S，F，P）上的随机变量，它的分布函数为FX（x），称ejuX的数学期望EejuX为X的特征函数。 当X为离散型随机变量时，其特征函数为1.7 随机变量的特征函数1.7.3 随机变量函数概率密度的确定1.7.3 随机变量函数概率密度的确定1.7.4 特征函数与矩的关系1.7.4 特征函数与矩的关系1.8 极限定理1.8.1 切比雪夫不等式 随机变量X， 切比雪夫不等式为 证明：按照方差的定义1.8 极限定理 切比雪夫不等式为 随机信号分析课件1.8.2 样本均值与弱大数定律 1.8.2 样本均值与弱大数定律 随机信号分析课件1.8.3 相对频率与贝努里定理 样本空间映射示意图1.8.3 相对频率与贝努里定理 样本空间映射示意图概率取值范围示意图 概率取值范围示意图 几乎是一个必然事件 定义：设Xn（n=1，2，）为一随机序列，并且存在有限的数学期望令 如果 则称Xn（n=1，2，）服从强大数定律。 几乎是一个必然事件 定义：设Xn（n=1，2，）为一1.8.4 各种收敛关系的比较 1.8.4 各种收敛关系的比较 1.8