自动控制理论第二章分解课件

1、2022/10/151第二章控制系统的数学模型 2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 2.2 控制系统的运动方程式 2.2 传递函数 2.3 控制系统的方框图及其简化 2.4 信号流图2.5 脉冲响应 王承国2022/10/111第二章控制系统的数学模型 2.1 2022/10/152本章主要内容本章重点 本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅森公式的应用等。 通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图

2、的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅森公式的应用。2022/10/112本章主要内容本章重点 2022/10/153控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。静态数学模型：静态条件（即变量各阶导数为零）动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。建立控制系统数学模型的方法： 分析法、实验法建立控制系统数学模型 2022/10/113控制系统的数学模型是描述系统内部物理量2022/10/154分析法 分析法是对组成系统各环节的运动

3、机理进行分析，根据各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分方程。例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律和热力学系统中的热力学定律等。 实验法 实验法是根据实际系统的输入输出数据，用适当的数学模型去拟合逼近这些数据，这种方法称为系统辨识。 2022/10/114分析法 分析法是对组成系2022/10/155傅里叶变换与拉普拉斯变换傅氏变换和拉氏变换有其内在联系。傅氏变换要求条件较高，拉氏变换易于实现。 傅里叶级数（Fourier）周期函数的傅氏级数是由正弦和余弦项组成的三角级数。周期为T的任一周期函数 ,若满足狄里赫莱条件：1）在一个周期内只有有限个不连续点；2）在一个周期内

4、只有有限个极大和极小值；3）积分 存在，则 可展开傅氏级数。 2022/10/115傅里叶变换与拉普拉斯变换傅氏变换和拉氏2022/10/156傅里叶级数式中系数an和bn由下式给出式中2022/10/116傅里叶级数式中系数an和bn由下式给出2022/10/157工程上常用傅里叶方法分析线性系统周期函数：傅氏级数非周期函数：傅氏积分变换 （时域到频域）2022/10/117工程上常用傅里叶方法分析线性系统2022/10/158复数及其代数运算两个复数相等，必须且只须它们的实部和虚部同时相等。一个复数s=0，必须且只须它的实部和虚部同时等于0.任意两个复数不能比较大小。共轭复数欧拉公式202

5、2/10/118复数及其代数运算两个复数相等，必须且只2022/10/159拉普拉斯变换（Laplace Transform）1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数复函数 例1 （2）模、相角 （3）复数的共轭 （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。 模相角 2022/10/119拉普拉斯变换（Laplace Tran2022/10/1510拉普拉斯变换2 拉氏变换的定义 （1）阶跃函数像原像3 常见函数的拉氏变换（2）指数函数2022/10/1110拉普拉斯变换2 拉氏变换的定义 （12022/10/1511拉普拉斯变换（3）正弦函数2022/10/

6、1111拉普拉斯变换（3）正弦函数2022/10/1512拉氏变换中积分下限为0，但有0的右极限0+和0的左极限0-之分。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数，0+型和0-型的拉氏变换是相同的，对于t=0处有无穷跳跃的函数，两种变换的结果并不一致。在拉氏变换过程中，若不特别指出是0+型或0-型，均认为是0-型变换。拉普拉斯变换的积分下限2022/10/1112拉氏变换中积分下限为0，但有0的右极2022/10/1513拉普拉斯变换（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理证明：0初条件下有： 2022/10/1113拉普拉斯变换（1）线性性质4 拉氏变2022/10/1514

7、拉普拉斯变换例2 求解. 例3 求解. 2022/10/1114拉普拉斯变换例2 求解. 例3 求解2022/10/1515拉普拉斯变换（3）积分定理零初始条件下有：进一步有： 例4 求 Lt=? 解. 例5 求解. 2022/10/1115拉普拉斯变换（3）积分定理零初始条件2022/10/1516拉普拉斯变换（4）实位移定理证明：例6解. 令2022/10/1116拉普拉斯变换（4）实位移定理证明：例2022/10/1517拉普拉斯变换（5）复位移定理证明：令例7例8例92022/10/1117拉普拉斯变换（5）复位移定理证明：令2022/10/1518拉普拉斯变换（6）初值定理证明：由微

8、分定理例102022/10/1118拉普拉斯变换（6）初值定理证明：由微2022/10/1519拉普拉斯变换（7）终值定理证明：由微分定理例11（终值确实存在时）例122022/10/1119拉普拉斯变换（7）终值定理证明：由微2022/10/1520拉普拉斯变换用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换2022/10/1120拉普拉斯变换用拉氏变换方法解微分方程2022/10/1521拉普拉斯变换5 拉氏反变换（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法例1 已知，求解.Heaviside展开定理2022/10/1121拉普拉斯变换5 拉氏反变换（1）反演20

9、22/10/1522拉普拉斯变换用L变换方法解线性常微分方程0 初条件nm: 特征根（极点）: 相对于 的模态2022/10/1122拉普拉斯变换用L变换方法解线性常微分2022/10/1523拉普拉斯变换用留数法分解部分分式一般有其中：设I. 当 无重根时2022/10/1123拉普拉斯变换用留数法分解部分分式一般2022/10/1524拉普拉斯变换例2 已知，求解.例3 已知，求解.2022/10/1124拉普拉斯变换例2 已知，求解.例3 2022/10/1525拉普拉斯变换例4 已知，求解一.解二：2022/10/1125拉普拉斯变换例4 已知，求解一.解二2022/10/1526拉普

10、拉斯变换II. 当 有重根时(设 为m重根，其余为单根)2022/10/1126拉普拉斯变换II. 当 2022/10/1527拉普拉斯变换2022/10/1127拉普拉斯变换2022/10/1528拉普拉斯变换例5 已知，求解.2022/10/1128拉普拉斯变换例5 已知，求解.2022/10/1529拉氏变换小结1 拉氏变换的定义 （2）单位阶跃2 常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数2022/10/1129拉氏变换小结1 拉氏变换的定义 （22022/10/1530拉氏变换小结（2）微分定理3 L变换重要定理（5）复位移定

11、理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理2022/10/1130拉氏变换小结（2）微分定理3 L变换2022/10/1531作业:1. 已知f(t)，求F(s),求f(0),f()。2022/10/1131作业:,求f(0),f()。2022/10/1532 3.已知 F(s) ，求 f(t) 4.求解微分方程，求y(t)2022/10/1132 3.已知 F(s) ，求 f(t)2022/10/1533 是用微分方程的形式描述系统运动过程中各变量之间的相互关系，它既定性又定量地描述整个系统的运动过程。2.2控制系统的运动方程式 控制系统的运动方程式 列写控制

12、系统运动方程式的步骤 1.分析系统的工作原理及各变量之间的关系，找出系统的输入量和输出量； 2.根据描述系统运动特性的基本定律，从系统的输入端开始依次写出各元件的运动方程，并要考虑各相联元件之间的负载效应； 3.最后在上述方程中消去中间变量，求取只含有系统输入、输出变量及其各阶导数的方程式，并将其化为标准形式。2022/10/1133 是用微分方程的2022/10/1534举 例 例2-1 设有由弹簧-质量-阻尼器构成的机械系统如图所示，试列写以力为输入变量、以位移为输出变量的系统运动方程式。机械平移系统解：根据牛顿第二定律有物体运动的加速度；阻尼器的粘性摩擦阻力，与物体运动的速度成正比；弹簧

13、的弹性阻力，与物体运动的位移y成正比。2022/10/1134举 例 例2-2022/10/1535将上式写成标准形式，得系统运动方程式为若记算子则上式可改写为2022/10/1135将上式写成标准形式，得系统运动方程式2022/10/1536线性系统的基本特性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理：可叠加性和均匀性（或齐次性）。线性定常微分方程的求解方法： 经典法、拉氏变换法、电子计算机拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程：1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；2）由代数方程求

14、出输出拉氏变换函数的表达式；3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。2022/10/1136线性系统的基本特性用线性微分方程描述2022/10/15372.3 传递函数2.3.1传递函数的定义传递函数是基于拉氏变换引入的描述线性定常系统输入输出关系的一种常用数学模型，为系统的外部描述。传递函数只适用于线性定常系统或元件。设线性定常系统的运动方程可由线性常系数n阶微分方程来描述，式中x2(t) 为系统输出变量，x1(t) 为系统输入变量a1，a2，a3，an, 及b1，b2，b3 ， bm，是由系统结构参数决定的常系数。假设系统的初始条件为零，即 x2 (

15、i)(t) （i=0，1,，n-1） x1 (i)(t) （i=0，1,，m-1）2022/10/11372.3 传递函数2.3.1传递函数2022/10/1538传递函数是系统的固有特性，它取决于系统的结构和参数，而与输入信号的形式和大小无关。 对上式两端取拉氏变换，得式中将上式改写成 传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统输出变量的拉氏变换 与输入变量的拉氏变换 之比，称为该系统的传递函数。传递函数通常记为2022/10/1138传递函数是系统的固有特性，它取决于2022/10/1539（1）传递函数是在复数域中描述系统运动特性的数学模型，与系统的微分方程相对应，只适用于线性定常系统。

16、（2）传递函数是系统的固有特性，它取决于系统的结构和参数，而与输入信号的形式和大小无关；但与输入信号的作用位置和输出信号取出位置有关。（3）传递函数不能反映实际系统的物理结构。只要系统具有相同的运动特性就可以具有相同的传递函数。（4）传递函数是复变量s的有理分式，其分子多项式与分母多项式的各项系数均为实数。它们与系统参数有关。传递函数分子多项式的阶次不大于分母多项式的阶次，即。这是因为实际系统能源有限的缘故。（5）若将传递函数表示为 传递函数的零点与极点的形式，而实际的物理系统的参数只能为实数，若传递函数具有复数的零、极点，则它们必互为共轭。传递函数的性质2022/10/1139（1）传递函数

17、是在复数域中描述系统运2022/10/1540（6）传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，即一个输入与一个输出之间的传递关系，称为单变量系统描述。对系统内部变量的特性不能反映，因而又称为外部描述。（7）传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（8）传递函数与脉冲响应函数一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。所谓脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。2022/10/1140（6）传递函数描述的是一对确定的变量2022/10/15411串联环节等效传递函数的求取设有三个环节，其传递函数分别为 、 、 串联环节的方框图2.3.2系统典型联接时等

18、效传递函数的求取由传递函数定义，得 2022/10/11411串联环节等效传递函数的求取串联环2022/10/1542则串联后等效环节的传函数为同理，当有n个环节串联时，其传递函数分别为 ，则串联后等效环节的传函数为 结论：串联环节的等效传递函数等于每个串联环节传递函数的乘积。2022/10/1142则串联后等效环节的传函数为同理，当有2022/10/1543并联环节的方框图2同向并联环节等效传递函数的求取设有三个环节，其传递函数分别为由传递函数定义，得2022/10/1143并联环节的方框图2同向并联环节等效2022/10/1544同理，当有n个环节同向并联时，其传递函数分别 ，则并联后等效

19、环节的传函数为则同向并联后等效传递函数为结论：同向并联环节的等效传递函数等于每个并联环节传递函数的代数和。2022/10/1144同理，当有n个环节同向并联时，其传2022/10/15453反馈回路等效传递函数的求取反馈回路的方框图 称为前向通道传递函数； 为由输出信号至反馈信号的传递函数，称为反馈通道传递函数。根据传递函数定义2022/10/11453反馈回路等效传递函数的求取反馈回2022/10/1546负反馈回路的传递函数为对于正反馈回路结论：负（正）反馈回路的等效传递函数为一分式，其分子为前向通道的传递函数，其分母为1加上（减去）前向通道和反馈通道传递函数的乘积。2022/10/114

20、6负反馈回路的传递函数为对于正反馈回路2022/10/1547在反馈控制系统中，定义前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积为系统的开环传递函数，通常记为 。系统的开环传递函数为 2.3.3控制系统的传递函数控制系统方框图2022/10/1147在反馈控制系统中，定义前向通道传递函2022/10/1548令 f(t)=0，定义系统输出信号的拉氏变换式C(s)与输入信号的拉氏变换式R(s)之比为输出信号对输入信号的闭环传递函数，记为 ，即 对于单位反馈系统，由于H(s)=1，所以系统的开环传递函数为 , 则 1输出信号c(t)对于输入信号r(t)的闭环传递函数2022/10/1148令 f(t)

21、=0，定义系统输出信号的2022/10/1549令r(t)=0，定义系统输出信号的拉氏变换式C(s)与干扰信号的拉氏变换式F(s)之比为输出信号c(t)对干扰信号f(t)的闭环传递函数,记为 ，即 闭环系统方框图2输出信号c(t)对于干扰信号f(t)的闭环传递函数在这种情况下，方框图可变形为2022/10/1149令r(t)=0，定义系统输出信号的拉2022/10/1550上式表明线性系统满足叠加原理。其等效系统方框图若 、 时，即输入信号和干扰信号同时作用于系统时，可以求得此时系统输出为2022/10/1150上式表明线性系统满足叠加原理。其等效2022/10/1551令f(t)=0，定义偏

22、差信号的拉氏变换式 与输入信号的拉氏变换式 之比为偏差信号 对于输入信号 的闭环传递函数，记为 ，即 3偏差信号(t)对于输入信号 r(t) 的闭环传递函数对于单位反馈系统，有2022/10/1151令f(t)=0，定义偏差信号的拉氏变2022/10/1552令 ，定义偏差信号的拉氏变换式 与干扰信号的拉氏变换式 之比为偏差信号 对于干扰信号f(t)的闭环传递函数，记为 4偏差信号 (t) 对干扰信号f(t)的闭环传递函数同理，当 时，则有2022/10/1152令 ，定2022/10/1553其等效系统方框图负（正）反馈系统的闭环传递函数为一分式，分子为前向通道的传递函数的乘积；分母为1加上

23、（减去）开环传递函数。2022/10/1153其等效系统方框图负（正）反馈系统的闭2022/10/1554 控制系统的方框图又称方块图或结构图，是将系统中的所有环节用函数方框来表示，方框内标明环节的传递函数，方框的一端为环节的输入信号，另一端为环节的输出信号。按照各个环节在系统中的相互关系，用信号线将其连接起来则构成控制系统的方框图。环节方框图 控制系统方框图2.4控制系统的方框图及其简化2.4.1方框图的构成2022/10/1154 控制系统的方框图又称方块图2022/10/1555分支点：在方框图中，由函数方框引出信号同时进入两个以上方框、相加点或直接输出时的分离点，称为分支点，用符号“

24、”表示。 (引出点)控制系统的方框图一般由四种基本单元组成。函数方框：表示元件或环节的输入信号与输出信号的函数关系，对信号起运算、变换的作用。函数方框的输出信号是输入信号与方框内传递函数相乘的结果，即 信号线：信号线用有向线段来表示，箭头方向代表信号的传递方向，在信号线上标明信号或变量。 是输入信号， 是输出信号，输入信号的箭头指向方框，输出信号的箭头背向方框。相加点：在方框图中，对信号求代数和的点，称为相加点，用符号“ ”表示。(比较点)2022/10/1155分支点：在方框图中，由函数方框引出信2022/10/1556控制系统方框图的特点：方框图是从实际系统抽象出来的数学模型，不代表实际系

25、统的物理结构。能更直观更形象地表示系统中各环节的功能和相互关系，以及信号的流向和每个环节对系统性能的影响。方框图的信号流向是单向不可逆的。方框图不唯一。由于研究问题的角度不一样，传递函数列写出来就不一样，方框图也就不一样。研究方便。对于一个复杂的系统可以画出它的方框图，通过方框图简化，不难求得系统的输入、输出关系，在此基础上，无论是研究整个系统的性能，还是评价每一个环节的作用都是很方便的。2022/10/1156控制系统方框图的特点：2022/10/15571分支点的移动规则根据分支点移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则，可将分支点顺着信号流向或逆着信号流向移动。（1）前移分支点前移 （2

26、）后移2.4.3方框图的简化分支点后移结论：分支点前移时，必须在分支支路串入具有相同传递函数的函数方框；分支点后移时，必须在分支支路串入具有相同传递函数倒数的函数方框。2022/10/11571分支点的移动规则分支点前移 （2022/10/1558相加点前移（2）后移相加点后移结论：相加点前移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数倒数的函数方框；相加点后移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数的函数方框。根据保持相加点移动前后总的输出保持不变的等效原则，可以将相加点前后移动。（1）前移2相加点移动规则2022/10/1158相加点前移（2）后移相加点后移结论：2022/10

27、/1559等效单位反馈变化原则4交换或合并比较点原则交换或合并比较原则 3等效单位反馈变换规则2022/10/1159等效单位反馈变化原则4交换或合并比2022/10/1560例2-10 试简化图（a）所示系统方框图，并求系统的闭环传递函数 。 图（a） 方框图简化解：将相加点前移，分支点后移，如图（b）所示；然后进一步简化，如图（c）所示；最后求得系统的闭环传递函数为2022/10/1160例2-10 试简化图（a）所示系统2022/10/1561图（b） 方框图简化 图（c）方框图简化2022/10/1161图（b） 方框图简化 图（c）2022/10/1562例2-11 RC两级滤波网络

28、的方框图如图所示。试将其加以简化，并求 , 。RC两级滤波网络的方框图 解：先将点移到点，得图。 2022/10/1162例2-11 RC两级滤波网络的方框2022/10/1563回路的等效传递函数为进一步简化为将点移到点，得图2022/10/1163回路的等效传递函数为进一步简化为将2022/10/1564回路的等效传递函数为进一步简化为2022/10/1164回路的等效传递函数为进一步简化为2022/10/1565控制系统方框图对于图解表示控制系统是很有用的，但当系统较复杂时，方框图的简化很繁琐。信号流图是一种表示代数方程的方法，是表示控制系统的另一种图示方法，是一种数学模型。 信号流图属

29、于网络拓扑结构，可以根据统一的公式直接求出系统的 传递函数，特别适合对结构复杂的控制系统进行分析。 2.5 信号流图2022/10/1165控制系统方框图对于图解表示控制系统是2022/10/15662.5.1信号流图中的术语 信号流图是由节点、支路和传输三种基本要素组成的信号场网络。下面介绍信号流图中所使用的术语 节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用符号“。”表示。传输：两个节点之间的增益或传递函数称为传输。支路：联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路。源点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，称为输入节点。阱点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱

30、点，它对应于系统的输出信号，称为输出节点。混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点称为混合节点。2022/10/11662.5.1信号流图中的术语 信号流图2022/10/1567 通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，称为通路。如果通路与任一节点相交不多于一次，称为开通路；如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交的次数不多于一次，称为闭通路或回路；如果通路通过某一节点多于一次，那么这个通路既不是开通路，也不是闭通路。回路增益：回路中各支路传输的乘积，称为回路增益。 前向通路：如果在从源点到阱点通路上通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积称

31、为前向通路增益。 不接触回路：各回路间没有任何公共节点，称为不接触回路 。自回路：只与一个节点相交的回路称为自回路。 上述术语在信号流图中的表示如图2-33所示。 2022/10/1167 通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支2022/10/15682.5.2信号流图的性质 1信号流图只能表示代数方程。2.支路表示一个信号对另一个信号的函数关系。信号只能沿着支路 上由箭头规定的方向流通，如图2-34（a）所示。 3节点是信号或变量求代数和的点，它表示所有流向该节点信号的 代数和。如图2-34（b）、（c）所示。在图2-34（c）中，有 4具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的

32、支路，可以把它变成输出节点来处理，使它相当于阱点，但用这种 方法不能将混合节点变成源点，见图2-34（c）。5对于给定的系统，信号流图不唯一。因为系统方程可以写成多种 形式，因而可以得到多个信号流图。 2022/10/11682.5.2信号流图的性质 1信号流2022/10/15692.5.3信号流图的运算法则1.加法法则：并联支路可以通过传输相加的方法，合并为单一支路。见图2-35，这时不变 。图2-35 加法规则图2-36 乘法规则 2. 乘法法则：串联支路的总传输，等于所有支路传输的总乘积，见图2-36所示。2022/10/11692.5.3信号流图的运算法则1.加法2022/10/1570 3分配规则利用分配规则，可以将混合节点消除掉，见图2-37所示。 4自回路简化规则自回路简化规则，如图2-38所示。从图中可得 5.反馈回路简化规则反馈回路简化规则如图2-39所示。从图中可得： 2022/10/1170 3分配规则 4自回路简化规则 2022/10/1571 2022/10/1171 2022/10/1572方框图与相应的信号流图2022/10/1172方框图与相应的信号流图20