弹性力学的变分解法

1、关于弹性力学的变分解法第1页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三泛函的定义及举例函数：对于变量x的某一变域中的每一个值，y都有唯一一个值与之相对应，那么变量y称作变量x的函数。记为： y=f (x)x称为函数的自变量。泛函：对于某一类函数y()中的每一个函数y(x)，变量J都有一个值与之相对应，那么变量J称作依赖于函数y(x)的泛函。记为： J=J y(x)y(x)称为泛函的宗量。第2页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三例子 第3页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第4页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第5

2、页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第6页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第7页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第8页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三泛函的极值泛函极值定理： 若可微泛函Jy(x)在y0(x)上达到极值，则在y= y0(x)上的变分为零。即第9页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三14.1 弹性体的虚功原理第10页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第11页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第12页，共76页，2022年，5

3、月20日，18点10分，星期三静力可能的应力与几何可能的位移第13页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第14页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三高斯公式第15页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第16页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三14.2 贝蒂互换定理第17页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第18页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第19页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第20页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期

4、三14.3 位移变分方程 最小势能原理第21页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第22页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第23页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第24页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第25页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第26页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第27页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第28页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第29页，共76页，2022年，5月20日，18点

5、10分，星期三14.4 最小势能原理推导以位移表示的平衡微分方程及边界条件第30页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第31页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第32页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第33页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第34页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第35页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第36页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三 一、里兹（Ritz）法基本思想：设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件

6、，其中含有若干待定常数，然后利用最小势能原理(位移变分方程)确定这些常数，即得位移解。设选取的位移表达式如下：（a）其中：为互不相关的 3m 个系数；为设定的函数，且在边界上有：为边界上取零值的设定函数 显然，上述函数满足位移边界条件。此时，位移的变分由系数 Am、Bm、 Cm的变分来实现。与变分无关。14.5 基于最小势能原理的近似计算方法第37页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三（b）位移的变分：形变势能的变分：由应变能计算式可知：（c）根据最小原理，有：第38页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三将上式整理、移项、合并，可得：完全任意，且互相独立

7、，要使上式成立，则须有：第39页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三 Ritz 法方程或称 Rayleigh- Ritz 法方程说明：（1）由 U 的表达式（4-20）可知，U 是系数的二次函数，因而，上式为各系数的线性方程 组。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等（3）在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。第40页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第41页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第42页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第43页，共76页，

8、2022年，5月20日，18点10分，星期三第44页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第45页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第46页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三基本思想构造位移试函数满足位移(面力)边界条件RayleighRitz(瑞利里兹)法(伽辽金)法 通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。位移边界条件位移与面力边界条件第47页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三解：用瑞利里兹法位移试函数 例1： 两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示,不计体力。试求解梁的挠度w(x)

9、 满足梁的位移边界条件：在x=0，l处，w=0 简支梁的形变势能为： 第48页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三积分后可得:外力势能为:当m为奇数时。第49页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三有：所以回代 第50页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三挠曲线表达式是无穷级数精确解这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。如果取一项 这一结果与精确值十分接近 。第51页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三例2:如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 PABlxy解:（1）假设位移试探

10、函数（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为（取一项）：式中：a 为待定常数。（2）计算形变势能 U：（ a）（ b）显然，式（a）满足端点的位移边界条件:（3）代入Ritz 法方程，求解（ c）（ d）第52页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三PABlxy讨论：（1）中点的挠度：（ e）而材料力学的结果：两者比较：式（a）的结果偏小1.46%。如果取如下位移函数：式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的位移函数必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：第53页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三PABlxy例3:如图所示简

11、支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 解:（1）假设位移试探函数式中：A1、A2 为待定常数。显然，式（a）满足端点的位移边界条件:（2）计算：梁的形变势能:（3）代入 Ritz 法方程:第54页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三PABlxy例3:如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 解:位移函数（a）（3）代入 Ritz 法方程:所求挠曲线方程 :第55页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三PABlxy所求挠曲线方程:中点挠度:而材料力学的结果：第56页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三解：位移

12、试函数 例4：矩形薄板，四边固定，受平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用RayleighRitz法求解。 m和n为正整数在边界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边界条件。 第57页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三平面应力问题 因此 第58页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三将位移试函数代入求导数后再积分 因此 如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn第59页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三例5：图示薄板，宽为 a，高度为 b，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和 q2

13、作用，不计体力。试求薄板的位移。解：（1）假设位移函数（a）满足边界条件：在式（a）中u,v 各取一项 ，即（b）（2）计算形变势能 U将式（b）代入平面应力情形下形变势能公式，有积分得：（c）第60页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三（c）（3）代入Ritz 法方程求解体力有在右边界：在上边界：于是有：将式（c）代入，得（11-15）第61页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三联立求解，得：（f）代入位移表达式（b），得：（g）讨论：（1）如果在位移式（a）中再多取一些系数如：A2、B2等，但是经计算，这些系数全为零。（2）位移解（g）满足几何方程、

14、平衡方程和边界条件。表明：位移解（g）为问题的精确解。第62页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三Ritz 法解题步骤：（1）假设位移函数，使其满足边界条件；（2） 计算形变势能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；（4）回代求解位移、应力等。第63页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三例6:图示矩形薄板，宽为2 a，高度为2 b，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：（a）不计体力。试求薄板的位移和应力。解:（1）假设位移函数只取一项，即 m =1, 将位移分量设为：（b）显然，可满足位移边界条件：第64页，共76页，2022年，5月2

15、0日，18点10分，星期三（2）代入Galerkin 法方程求解该问题中无应力边界条件，式（b）满足全部条件。可用伽辽金（Galerkin）法求解。X = Y = 0，m = 1，伽辽金法方程变为：（c）第65页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三 将其代入伽辽金方程（c）, 可求得：第66页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三代回位移表达式（b）, 得位移解答：当 b = a，取 = 0.2时，上述解答成为：第67页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三（3）求应力分量应用几何方程及物理方程，可求得应力为：第68页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三第69页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三由虚功原理：应力变分方程（虚应力方程）第70页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三由广义虚功原理：第71页，共76页，2022年，5月20日，18点10分，星期三表明在已知位移的边