线性代数行列式基本概念

1、.目录一、行列式 二、矩阵特征值 1三、正定矩阵 四、幺模矩阵 五、顺序主子阵 4六、正定二次型 6七、矩阵的秩 八、初等变换elementary transformation一、列式见 ppt 。二、阵特征设 是 n 阶方阵，果存在数 和非零 n 维列向量 x 得 成立，那么称 是 的一个特征值 characteristic 或本征值eigenvalue) 。非零 n 维列向量 x 称 矩阵 A 的属于对应于特征值 m 的特征向量或本征向量，简称 的特征向量或 的本征向量。求矩阵特征值的方法. . 等价于求 ，使得 (mE-A)x=0 ，其中 是单位矩阵， 0 为零矩 阵。|mE-A|=0

2、求得的 m 值即为 的特征值。 是一个 次多项式，它的全部根就是 阶方阵 的全部特征值， 些根有可能相重复， 也有可能 是复数。如果 阶矩阵 的全部特征值为 m1 m2 mn ，么 |A|=m1*m2*.*mn如果 阶矩阵 满足矩阵多项式方程 g(A)=0, 那么矩阵 的特征值 一定满足条件 特征值 可以从解方程 g(m)=0 求得。三、定矩阵设 M n 实系数 称矩阵 ， 如果对任何非零向量 ，都有 0(X 的转置矩阵 ) 就称 正定 Definite) 。正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 单位矩阵 。所有特征值大于零的对称 矩 或厄米矩阵也是正定矩阵。另一种定义：一种实对称矩阵 . 正定

3、二次型 f(x1,x2, ,xn)=X 的矩阵 ) 称为正定矩阵 .判定定 ：对称阵 为正定的充分必要条件是： A 的特征值全为正。判定定 ：对称阵 为正定的充分必要条件是： A 的各阶顺序主子式都为 正。判定定 ：任意阵 为正定的充分必要条件是： A 合同于单位阵。 正定矩阵的性质：. . 正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：假设 n 阶矩阵 的行 列式不为零，即 那么称 A 非奇异矩 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。 假设 为 n 阶对称正定矩阵， 么存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵 A=L*L 式称为正定矩阵的乔列斯基 Cholesky 分解。四、模矩阵英文称Unimo

4、dular Matrix定义数学上，幺模矩阵是所有项都是数而且 行列式 - 幺模矩阵的逆还是幺模矩阵，所以所有的幺矩阵构成一个乘法 特殊幺模阵 单位矩阵是一个特殊的幺模矩阵矩阵的行初等变换对应于一个方，而其中交换两行的初等变换对于于左乘一个 行列式为 -1 的幺模矩阵一行的 k k 为整数 另外一行对于与一个行列式为 -1 的幺模矩阵。不定程中作用对 二次型 我们可以将它写成矩阵形式 f(x)=xAx A 一个整系数对称方 阵。如果 T 一个幺模矩阵，那么二次型 和上面的二型有一样的值域，也就 是 程 xAx=c 有解的充分必要条件是对某个幺模矩阵，不定方程 xTATx=c 解。特别的，如果

5、A 是二阶或三阶的整系数正定称矩阵，如果其行列式为 么 存在幺模矩阵 T 得 A 关于 T 合同与单位阵 I, 比方，利用这个结论，我们可以明，任意一个正整数不能够表示成三个整数平 方和的充分必要条件是它形如 4a(8k+7). 此，对于不是上面形式的整数 我只需 要构造一个行列式为 的三阶整系数对称正定阵，其值域能够取到 n . .计算科学的用在编译器优化中，幺模矩阵在对循环语句的优化有着非常重要的作用。其中， 关于循环语句的最常用的优化变比方循环交换，循环倒置和循环扭曲都可以统一通 过幺模矩阵来表示，以至于编译中将这一类变换称为幺模变换。五、序主子 概念n 阶行列式的 i 顺序主子式是 i

6、 主顺序主子式一般形式子式的 特情 n 阶行列式的 i 顺序主子式是在 i 阶主子式的定义中， 由 1 i 行和 i 所 确定的子式。例如：1 阶：取第 1 ，第 1 列。2 阶：取第 1 、2 行，第 、2 。3 阶：取第 1 行，第 、3 4 阶：取第 1 、4 第 、4 . .以此类推。举例对一个三阶 阵顺序主子式对于矩阵： a c e i一阶顺序子阵a二阶顺序子阵a b e三阶顺序子阵a b c e . . in 矩阵 ，顺序取 A 的前 k k 列构成的矩阵称 A k 顺序主子阵，其 行列式称为 A k 顺序主子式 。比 么此排列的顺序子式 按从大到小或从到大 为 或 应用判二型定n

7、 二次型是 正定次 充分必要条是二次型矩阵的顺序主子式全大于零。 矩的角解 A 可以唯一分解为 的充分必要条件是 A 的前 n-1 主子式 皆不为零，其中 L 单位下三角矩阵， U 位上三角矩阵， diagd1，d2,.,dn), 而 d1= ，dk= k/ k-1 ，2 ，n A k 序主式。六、定二次见 ppt 。七、阵的秩概述矩 秩是反映矩阵固有特性的一个重要概。设 A 一组向量，定义 A 的极大无关组中向量的个数为 A 的秩。定义 1. 在 A 任意决定 k k 点上的元素构成 A 的一个 k 阶子矩阵，此子矩阵的 式 称为 A 个 k 式。例如，在 梯形矩 中，选定 1 ，3 3 ，

8、它们穿插点上的元素所组成的 阶矩阵的行列式就是矩阵 A 的一个 2 子式。定义 2. n 不为零的子式的最大阶数称为矩阵 A 秩，记 特别规定零矩阵的秩为零。显然 min(m,n) 易得：假设 A 中至少有一个 式不等于零，且在 A 有的 r+1 子式全为零，那么 A 秩为 r 得 为 det(A) 0 ；不满秩矩阵就是奇异矩阵， . .由行列式的性质 知，矩阵 A 的转置 AT 的秩与 A 的秩是一样的。 例 1. 计算下面矩阵的秩，而 A 所有的三阶子式，或有一行为零；或两行成比例，因而所有的三阶子式 全为零，所以 矩阵的秩引 设矩阵 列秩等于 A n 么 A 的列秩，秩都等于 。 定 矩

9、阵的行秩，列秩，秩都相。定 初等变换不改变矩阵的秩。定 矩阵的乘积的秩 Rab=minRa,Rb;当 最高阶非零子式的阶数 =n-2 ，何 子式均为零，而伴 随阵中的各元素就是 n-1 阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为 阵。当 阶非零子式的阶数 =n-1 n-1 阶子式有可能不为零， 所以伴随阵有可能非零等号成时伴随阵必为非零 。变化律(1) 秩不变 不等于 0 (5)r(A+B)=r(A)+r(B)(6)r(AB) r(A)+r(B)=n 阵 么 八、等变换 线性程组初等换我们称对方程组的换法变换、倍变换、消法变换为线性方程组的初等变换。 换法变换：交换两个方程的位置即 变换 倍法变换：用一个非零数乘某一方程。即 k(k 或 k(k 消法变换：把一个方程的倍数加另一个方程上。即 ri+rj k ri+rj k用消元法解线性方程组实际上是方程组反复施行了这三中变换。行列的初变换我们称对行列式的换法变换、倍变换、消法变换为行列式的初等变换。换法变. .换：交换两行列 倍法变换：将行列式的某一行的所有元素同乘以数 k消法变换：把行列式的某一行的所有元素乘以一个数 k 并加到另一行列 的对应元素上。换法变换的行列式要变号； 倍法变换的行列式要变 k 倍消法变换的行列式不变。 矩阵初等换矩阵的初等行变换和