二三重积分习题课课件

1、习题课重积分(二重)-习题课重积分(二重)-习题二重积分计算一 的解题程序（1）画出积分域D的草图。（2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被积函数的形式，见表11-1。表11-1-习题二重积分计算一 （3）选择积分次序选序的原则： 先积分的容易，并能为后积分创造条件； 对积分域D的划分，块数越少越好。（4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。定限口诀：后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数)限内划条线，(该直线/坐标轴且同向.)先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数)后交上限见。直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).-（3）选择积分次序选序

2、的原则： 先积分的容易，并能为后积直线l/y轴它先与D的边界曲线y = 1(x)相交, 1(x)取做下限,后成D的边界曲线y = 2(x)相交, 2(x)取作上限,故 与以上作类似分析，可得注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。 图11-2(b)图11-2(a)直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b).-直线l/y轴它先与D的边界曲线y = 1(x)相交, 解 （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改变积

3、分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。【例1】 设 ，则改变其 积分次序后为 。- 解 （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不二 极坐标系中积分限的确定 一般而言，极坐标系中二重积分的积分次序是“先后 ”。即积分限随极点0与积分域D的边界曲线的相对位置而定。当极点0在域D的边界曲线之外时图11-3(a)-二 极坐标系中积分限的确定 一般而言，极坐标系2. 当极点0在域D的边界线上时图11-3(b)-2. 当极点0在域D的边界线上时图11-3(b)-3. 当极点0在积分域D的边界线之内时图11-3(c)-3. 当极点0在积分域D的边界线之内时图11-3(c)-3. 当极点0在积分域D

4、的边界线之内时图11-3(c)三 典型例题分析-3. 当极点0在积分域D的边界线之内时图11-3(c)三 （ 1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组；（2）依据不等式组画出积分域D的草图；（3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。三 典型例题分析1. 更换积分次序解题程序-（ 1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组；（【例2】更换下列积分次序：解 （1）由积分的上下限知-【例2】更换下列积分次序：解 （1）由积分的上下限知-由D1, D2作出D的图形，见图11-4。于是故图11-4-由D1, D2作出D的图形，见图11-4。于是故图11-4-分别写出右边

5、两个积分所确定的不等式组由D1, D2作出D的图形见图11-5，于是图11-5-分别写出右边两个积分所确定的不等式组由D1, D2作出D的图解 极坐标系中的二重积分，若先对后对进行积分，则应注 意如下两点：（1）积分域D的边界曲线均用极坐标表示；（2）若以原点0为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的 不同曲线相交，则应在交点处把的区间分开处理。【例11.6】更换下列积分次序：作图,见图11-8。图11-8-解 极坐标系中的二重积分，若先对后对进行积分，则应图11-9-图11-9-等等，一定要将其放在后面积分。凡遇如下形式积分：2. 选择积分次序-等等，一定要将其放在后面积分。凡遇如下形式积分

6、：2. 选择积解 （1） 不能用有限形式表示出其结果，它不能 先积分，故图11-10X=0X=yD是以(0,0),(1,1),(0,1)为【例3】计算下列二重积分：顶点的三角形。-解 （1） 不能用有限形式表D是由直线y = x及抛物线y = x2所围成的区域。（2）因为 不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故图11-11-D是由直线y = x及抛物线y = x2所围成的区域。（2）【例4】计算解 不能用有限形式表示出其结果 先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组图11-12X=yX= 不能先计算,为了改变积分次序-【例4】计算解 3. 坐标系的选择【例6】设有一曲顶柱体，以双曲

7、抛物面z = xy为顶，以xoy坐标面为底，柱面x2 + y2 = 1外、柱面x2 + y2 = 2x内为侧，试求这个柱体的体积。解 由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影，即积分域D如 图11-14所示，图11-14由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱 体的 体积更简单。-3. 坐标系的选择【例6】设有一曲顶柱体，以解 由题设可曲线L1：=2cos， L2： =1，联立解得，图11-14-曲线L1：=2cos， L2： =1，联立解得，图11【例7】求由下列曲面所围成的体积: z = x+y, z = xy, x+y = 1, x = 0, y = 0.解 显然，由以上曲面所围的空间形体在x0y

8、坐标上的投影是由x+y = 1及x, y轴所围成的三角形，如图11-16。因而图11-16 所求体积-【例7】求由下列曲面所围成的体积: z = x+y, z 5. 杂例【例9】计算下列积分：解-5. 杂例【例9】计算下列积分：解-三、对称性算法利用对称性计算二重积分：同理可得：-三、对称性算法利用对称性计算二重积分：同理可得：-对称性算法举例例10-112D1D1D2D3D4-对称性算法举例例10-112D1D1D2D3D4-对称性算法举例例11DD1思考：-1-111-对称性算法举例例11DD1思考：-1-111-11.3 二重积分的证题技巧一 有关等式的证明1. 概念型命题的证明凡欲证结

9、论：f (x, y) = 0的命题，多数用反证法。【例13】设f(x, y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域上，恒有 ，则在D内证 用反证法 设有一点不妨设-11.3 二重积分的证题技巧一 有关等式的证明1. 概由f(x, y)的连续性，可知一个 的领域 使得在其中f (x, y) 0，于是，由积分中值定理，必积，又因与假设矛盾，即知在D内有f(x,y)2. 累次积分型的命题的证明证题思路：证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的无关性。-由f(x, y)的连续性，可知一个 【例14】设f(x)在0,a(a 0)上连续，试证：证图11-22-【例14】设f(x)在0,

10、a(a 0)上连续，试证：-4. 二重积分的变量替换设被积函数f(x, y)在区域D上连续，若变换x = x(u,v), y = y (u,v)满足如下条件：（1）将uov平面上的区域D*上的点一对一地变为D上的点；（2）x(u,v), y(u,v)在D*上有连续的一偏导数，且雅可比行列式-4. 二重积分的变量替换设被积函数f(x, y)在区域D上连 注：(1) 作什么变换主要取决于积分域D的形状，有时也兼顾被积函数f (x, y)的形式，基本想法是定限简便，求积容易。(2) J的性质- 注：(1) 作什么变换主要取决于积分域D的形状，有【例15】计算 ，其中D是由曲线 在第1象限中所围成的区

11、域。解 是一个四次方程，要解出x(或y)相当难，因此不宜在直角坐标系中计算，为此，令 则曲线方程变为：-【例15】计算 又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是因而则有-又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是因而则有-【例16】计算所围区域。图11-18图11-19解 令，则域D变为D*其中-【例16】计算所围区域。图11-18图11-19解 令-习题课重积分(三重)-习题课重积分(三重)-本习题课重点 复习并掌握在不同坐标系下化三重积分为三次积分的定限方法。-本习题课重点 复习并掌握在不同坐标系下化三重积分问题11. 直角坐标先z次y后x先y次x后z先x次y后z先x次z后y2.

12、 柱面坐标先z次r后3. 球面坐标先次后请自作草图！-问题11. 直角坐标先z次y后x先y次x后z先x次y后z先x问题21. 直角坐标先z次y后x先y次x后z先x次y后z先x次z后y2. 柱面坐标先z次r后3. 球面坐标先次后-问题21. 直角坐标先z次y后x先y次x后z先x次y后z先x问题31. 用柱面坐标时，f 与应满足：2. 用球面坐标时，f 与应满足：-问题31. 用柱面坐标时，f 与应满足：2. 用球面坐标时zyaxaa/2ho练习题1Dxyxzyaxaa/2hoDxzxzyaxaa/2hoDyzDyz(1)Dyz(2)y2y1a/2-zyaxaa/2ho练习题1Dxyxzyaxaa

13、/2hoDxzyoxx=1y=xz=xy1练习题2问题1问题3问题2问题4问题5问题6双曲抛物面(鞍面)Dxy见右图先z次y后x略！-zyoxx=1y=xz=xy1练习题2问题1问题3问题2问题练习题3问题1问题3问题2问题4(1)柱坐标； (2)直角坐标的先二后一(1)柱坐标：(2)直角坐标的先二后一：略！1ozyxDxy-111r入出z1ozyxz2z1z1z2-练习题3问题1问题3问题2问题4(1)柱坐标； (略！2ozyx练习题4问题1问题3问题2问题4用柱坐标和先2后1问：I=？ozr22ozyxzDz显然，先2后1较难-略！2ozyx练习题4问题1问题3问题2问题4用柱坐标和先2练习题5问题1问题3问题2问题4球坐标略！-练习题5问题1问题3问题2问题4球坐标略！-zyxao练习题6问题1问题4问题3问题5问题2略！球坐标aDxy-aaa入点出点此题还可以用先2后1法来做。-zyxao练习题6问题1问题4问题3问题5问题2略！球坐zyxo1/2练习题7问题1问题3问题2问题4球坐标(草图如下)略！1/2Dxy-1/21/21/2入点出点-z