金陵中学2023学年高三第三次测评数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数的虚部为（）A1B3C1D22如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标

2、原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）A等于4B大于4C小于4D不确定3如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）ABCD4已知函数f(x),若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A B C D 5双曲线的渐近线方程为( )ABCD6记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）A2阶区间B3阶区间C4阶区间D5阶区间7函数f(x)=lnABCD8为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）ABCD9己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离

3、为，若平面平面，则的最大值为（ ）ABCD10已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）ABCD11在中，若，则实数( )ABCD12已知函数在区间有三个零点，且，若，则的最小正周期为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则=_， = _.14函数的值域为_.15已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是_.16设为正实数，若则的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在四棱锥的底面是菱形， 底面， 分别是的中点， .（）求证： ；（）求直线与平面所成角的正弦

4、值；（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.18（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由19（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值20（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度现从该社区群中随机抽取18名,用

5、“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”()求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；()以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及21（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.22（10分）在

6、四边形中，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：（1）平面平面；（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】对复数进行化简计算，得到答案.【题目详解】所以的虚部为故选B项.【答案点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.2、A【答案解析】利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可【题目详解】据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，

7、所以.【答案点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题3、A【答案解析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案【题目详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，输出计算结果，故选A【答案点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题4、D【答案解析】由已知可将问题转化为：yf(x)的图象和直线ykx有4个交点，作出图象，由图

8、可得：点(1,0)必须在直线ykx的下方，即可求得：k；再求得直线ykx和yln x相切时，k；结合图象即可得解.【题目详解】若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则yf(x)的图象和直线ykx有4个交点作出函数yf(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线ykx的下方k10，解得k.当直线ykx和yln x相切时，设切点横坐标为m，则k，m.此时，k，f(x)的图象和直线ykx有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D.【答案点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题5、A【答案解析】将双曲线方程化为标准方程为，其渐

9、近线方程为，化简整理即得渐近线方程.【题目详解】双曲线得，则其渐近线方程为，整理得.故选：A【答案点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.6、D【答案解析】可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解【题目详解】当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间. 故选：D【答案点睛】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题7、

10、C【答案解析】因为fx=lnx2-4x+4x-23=8、A【答案解析】根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容【题目详解】由程序框图的运行，可得：S0，i0满足判断框内的条件，执行循环体，a1，S1，i1满足判断框内的条件，执行循环体，a2（2），S1+2（2），i2满足判断框内的条件，执行循环体，a3（2）2，S1+2（2）+3（2）2，i3观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a99（2）99，S1+2（2）+3（2）2+1（2）99，i1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i1故选：A【答案点睛】本题考查了当型循环结构，当型循

11、环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题9、A【答案解析】根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.【题目详解】依题意如图所示：取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，取是的外心，作平面平面，则是四棱锥的外接球球心，且，设四棱锥的外接球半径为，则，而，所以，故选：A.【答案点睛】本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.10、A【答案解析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可【题目详解】结合题意

12、，绘制图像要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A【答案点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等11、D【答案解析】将、用、表示，再代入中计算即可.【题目详解】由，知为的重心，所以，又，所以，所以，.故选：D【答案点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12、C【答案解析】根据题意，知当时，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【题目详解】解：由于在区间有三个零点，当时，由对称轴可知，满足，即.同理，满足，即，所以最

13、小正周期为：.故选：C.【答案点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、128 21 【答案解析】令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.【题目详解】令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.【答案点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.14、【答案解析】利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.【题目详解】函数的定义域为所以函数的值域为 故答案为：【答案点睛】本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。15、【答案解析】求出抛物线的焦点

14、坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长【题目详解】抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，所以弦长【答案点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式16、【答案解析】根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，【题目详解】因为，所以，所以，所以，所以，令，所以，当时，当时，所以当时，取得最大值，又，所以取值范围是，故答案为：【答案点睛】本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题，三、解

15、答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）见解析； （）； （）见解析.【答案解析】()由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；()建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；()假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.【题目详解】()由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，()由题意结合菱形的性质易知，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，设平面的一个法向量为,则：，据此可得平面的一个法向量为，而，设直线

16、与平面所成角为，则.()由题意可得：，假设满足题意的点存在，设，据此可得：，即：,从而点F的坐标为，据此可得：,，结合题意有：，解得：.故点F为中点时满足题意.【答案点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、（1）；（2）见解析【答案解析】（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，即可求出的值，可得点的坐标.【题目详解】（1）面积的最大值为，则：又，解得：，椭圆的方程为：（2

17、）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形设，线段的中点为由，消去可得：，解得：， 依题意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化简可得：则：，解得：当时，点满足题意；当时，点满足题意故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【答案点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.19、（I）；（II）最大值为，最小值为.【答案解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的

18、最大值与最小值问题处理试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）直线的普通方程为（II）曲线C上任意一点到的距离为则其中为锐角，且当时，取到最大值，最大值为当时，取到最小值，最小值为【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形20、 (). ()见解析.【答案解析】()人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；()根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可【题目详解】()设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福()根据题意，随机变量，的可能的取值为；所以随机变量的分布列为：所以的期望【答案点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型21、（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）【答案解析】（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，