2023届河南省顶级名校高三上学期第一次月考试题数学（理）试题（解析版）

1、试卷第 =page 2 2页，共 =sectionpages 4 4页2023届河南省顶级名校高三上学期第一次月考试题数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】B【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由，得，所以.由，得，所以，所以，故选：B.2已知复数、，满足，则（）ABCD【答案】B【分析】先证明复数模的性质：已知、为复数，则，利用复数模的性质可求得结果.【详解】先证明复数模的性质：已知、为复数，则，设，所以，设，则，所以，因为，则，由，故.故选：B.3若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A30B60C120D1

2、50【答案】C【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得，故 ，故 ，由于 ，故，故选：C4执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是()ABCD【答案】B【分析】根据框图,进行循环计算,当时,即可退出,进而求得判断框内应填入的条件.【详解】当当当当当当故可知判断框内应填入的条件是:故选:B.【点睛】本题考查了根据输出结果求判断框应填入的条件,解题关键是掌握根据框图计算的方法和对数运算法则,考查了计算能力和分析能力,属于基础题.5生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数

3、之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（）参考数据：参考时间轴：A宋B唐C汉D战国【答案】D【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.【详解】依题意，当时，而与死亡年数之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，当时，于是得：，解得，由得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D6红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务

4、必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A240种B188种C156种D120种【答案】D【详解】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.7函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）AB1C1D【答案】A【分析】由图象得的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数的解析式，即可求.【详解】解：由图象可知，则由，得则点在函数图象上，.函数解析式为将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得故故选:A8已

5、知函数，则（）A在单调递增B有两个零点C曲线在点处切线的斜率为D是偶函数【答案】C【分析】根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B【详解】由知函数的定义域为，当时，当时，故在单调递增，在单调递减，A错误；当时，当时，当时，所以只有一个零点，B错误；令，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误故选：C9已知A，是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（）A直线过焦点时，最小值为4B直线过焦点且倾斜角为60时（点A在第一象限），C若中点的横坐标为3，则最大值为8

6、D点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：【答案】B【分析】对于A，易知当垂直于轴时，取最小值4，故A正确；对于B，联立方程求得与，从而得到，故B错误；对于C，由可推得当直线过焦点时，最大值为8，故C正确；对于D，利用条件分别求出的坐标，从而求得直线的方程，故D正确【详解】依题意得，抛物线的焦点为，准线为，对于A，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，此时，故A正确；对于B，由题可知，直线为，代入，整理得，解得或，所以，即，故B错误；对于C，由于A，为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故C正确；对于D，依题意，故，即，同理可得，故直线方程为，故D正确故选：B

7、.10在三棱锥中，平面ABC，与的外接圆圆心分别为，若三棱锥的外接球的表面积为，设，则的最大值是（）ABCD【答案】B【分析】由题可得，然后利用球的性质可得，进而可得，再利用基本不等式即求.【详解】平面ABC，则为直角三角形，其外心为PB的中点，的外心，又，设三棱锥的外接球的为，连接，则平面ABC，又三棱锥的外接球的表面积为，即，由可得，当且仅当时取等号.的最大值是.故选：B.11蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有

8、谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则（）ABCD【答案】C【分析】利用的面积与的面积比可求的值.【详解】解：先证明一个结论：如图，在平面内的射影为 ，的平面角为 , ，则. 证明：如图，在平面内作，垂足为，连接，因为在平面内的射影为，故，因为，故，因为，故平面.因为平面，故，所以为二面角的平面角，所以=.在直角三角形中，.由题设中的第二图可得：.设正六边形的边长为，则，如图，在中，取的中点为，连接，则，且，

9、故，故，故.故选：C.【点睛】12已知函数则下列说法正确的是（）当时，；若不等式至少有3个正整数解，则；过点作函数图象的切线有且只有一条；设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是ABCD【答案】A【分析】对于，根据题意求出函数在上解析式，即可判断，对于，利用参变量分离法可得，令，利用导数分析函数在上的单调性，结合已知条件可求出的取值范围，对于，切点，则切点，得，化简后构造函数可求出，从而可求出切线方程，对于，由题意可得，设，利用导数可得其在上是增函数，所以得对任意的恒成立，再由的单调性可得结果.【详解】对于，当，正确；对于，当时，由，得，令，则，所以在上单调递增，因为不等式至少有3个正整

10、数解，所以不等式的解集中至少含有元素1，2，3，所以，所以错误，对于，设切点，则，即，设，当时，是单调递增函数，最多只有一个根，又，由得切线方程是，故正确；对于，由题意设，则，于是在上是增函数，即对任意的恒成立，因此只需当时，由，在上为增函数，即的最大值是e，正确故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性分析判断，考查数学计算能力和分析问题的能力，属于难题.二、填空题13的展开式中的系数是_（用数字作答）【答案】-4480【分析】，把三项式转化成二项式，

11、利用二项式定理求解.【详解】解：，其展开式的通项为，令，则，的通项为，令的系数为.所以的展开式中的系数是.故答案为：-448014过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_【答案】【分析】由题知、，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：15已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】由可得，分析可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】

12、函数的定义域为，且，令可得，设，其中，则函数在上有两个不等的零点，所以，解得.故答案为：.16定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”若“黄金椭圆”：两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_【答案】【分析】可利用和的面积比先求出，进一步再求出.【详解】因为，三点共线，故可先求，再求出.如图，连接，设到轴距离为，到轴距离为，则设内切圆的半径为，则，不妨设，则，.故答案为：.三、解答题17已知数列满足(1)记，写出，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前2022项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论；（2）由得，然

13、后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算【详解】(1)，又(2)，则18如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.(1)证明：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】(1)为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，故又，又，平面平面(2)取的中点，连接，则，由(1)可知，平面，又 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得，平面，四边形为矩形，平面的一个法向量为.设平面的一条法向量为，由得令，则，平面的

14、一个法向量为则平面与平面的夹角的余弦值为平面和平面夹角的余弦值为19根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育医疗福利的增加等）.若希望增大，如何调控的值？是否存在的值使得，请说明理由.【答案】(1)，；(2)增加p的取值；不存在，理由见解析.【分析】(1)根据条件概率计算方法求出，再根据即可计算求值；(2)根据分布列

15、的概率和为1得到与p的关系，构造函数，利用导数判断其单调性，求出其f(p)单调性，从而可判断=的单调性，从而得到结果；根据分布列概率和为1及列出关于p的方程，判断方程是否有解即可【详解】(1)由题意得：，所以，由全概率公式，得，又，则；(2)由，得，记，则，记，则，故在单调递减，在单调递减因此增加p的取值，会减小，增大，即增大假设存在p使，又，将上述两式相乘，得，化简得，设，则，则在单调递减，在单调递增，的最小值为，不存在使得20设为双曲线的左右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.(1)求双曲线的离心率；(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾

16、斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)2(2)以为直径的圆过定点或【分析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足.【详解】(1)由已知得：，将代入中，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得：，因为，所以，方程两边同除以得：，解得：或（舍去），所以双曲线的离心率为2(2)因为，所以，解得：

17、，故，所以双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线联立得：，设，则，因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，所以，解得：，直线，则，同理可求得：，则，其中，所以则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以为直径的圆的方程为：，整理得：，所以以为直径的圆过定点，当直线的斜率不存在时，此时不妨设，此时直线，点P坐标为，同理可得：，.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，综上：以为直径的圆过定点，.【点睛】直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.21已知是自然对数的底数，

18、函数，直线为曲线的切线，.(1)求的值；(2)判断的零点个数；定义函数在上单调递增.求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)零点个数为1个； 【分析】（1）求出的导数，设出切点，可得斜率，由切线方程可得参数方程即可求得答案；（2）利用零点的性质判断出零点的范围，然后利用的导数判断出函数的单调性，即可判断出零点个数；先求出的交点设为，并求出的具体范围，然后利用新定义求最小值并求得的解析，然后利用恒成立的判断分离参数后利用函数的单调性即可求得答案.【详解】(1)解：由题意得：设切线的且点位，则可得：，又可得 ： 又因为直线为曲线的切线故可知 由解得：(2) 由小问（1）可知： ，故必然存在零点，且又因为，当时，当时，令 故故在上是减函数综上分析，只有一个零点，且 由的导数为当时，递增，当时，递减；对的导数在时，递增；设的交点为，由（2）中可知当时，由题意得：在时恒成立，即有；在上最值为故当时，由题意得：在时恒成立，即有令，则可得函数在递增，在上递减，即可知在处取得极小值，且为最小值；综上所述：，即.22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为(1)写出的直角坐标方程；(2)若与有两个公共点，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用进行代换即可得到直线的直角坐标方程；（2）先