广东省惠州市田美中学高三数学文期末试题含解析

1、广东省惠州市田美中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1 ； .ABCD参考答案：B略2. 过球面上一点作球的互相垂直的三条弦，已知，则球的半径为( )A.1B.C.D.参考答案：D7.设S。是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A.若d0，则列数Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则d0C.若数列SnD.是递增数列，则对任意nNn，均有Sn0参考答案：D4. 已知函数的图像向右平移个单位，得

2、到的图像恰好关于直线对称，则的最小值为 （ ）A. B. C. D. 以上都不对参考答案：A5. 的外接圆的圆心为,，则等于（ ） A. B. C. D.参考答案：C由AB，AC及BC的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，即A为直角，可得BC为圆的直径，O为BC中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据BC的长求出AO及CO的长都是，再由AC的长，在三角形AOC中设出AOC=，利用余弦定理求出cos的值，然后利用平面向量的数量积运算法则表示出所求的式子，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值为，选C6. 如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形每个正方形的

3、四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个参考答案：B【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则.令，解得，故可制作完整的正方形的个数最多为个. 应选B.【点睛】本题考查等比数列求和公式以及解指数不等式，考查基本分析化简求解能力，属中档题.7. （本小题满分13分）已知椭圆，直线恒过的定点为椭圆的一个

4、焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3. （1）求椭圆的方程； （2）若直线为垂直于轴的动弦，且均在椭圆上，定点，直线 与直线交于点 求证：点恒在椭圆上； 求面积的最大值参考答案：（1）;（2）见解析,（1）直线可化为 ， 由得， ， ， 又， ， 椭圆的方程为 5分 （2）设直线的方程为，则可设，且 直线的方程为，直线的方程为 联立求得交点，代入椭圆方程得， ，化简得： 点恒在椭圆上. 9分 直线过点，设其方程为， 联立得， ， 令，则 在上是增函数， 的最小值为10. 13分8. 设函数，的零点分别为，则( )A. B. 01 C.12 D. 参考答案：B由题意知，且，即，又，所以，因为，

5、所以，即，选B.9. 某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节?下午4节），分别安排语文数学?英语?物理?化学?生物?政治?历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有（ ）A. 4800种B. 2400种C. 1200种D. 240种参考答案：B【分析】先安排生物有，接着安排相邻的数学和英语有5种相邻形式，故有，最后安排其它5节课有，根据分步乘法原理，即可求解结论【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物

6、安排，有种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列有种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有种编排方法根据分步计数原理知共有种编排方法故选：B【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题.10. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，则的值（ ）.恒为正数 恒为负数 .恒为0 .可正可负 参考答案：二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论： .参考答案：正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距

7、离之和是一个定值；略12. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 参考答案：13. 设函数，则_。参考答案：14. 定义函数，若存在实数b使得方程无实数根，则实数a的取值范围是 参考答案：（，5）（4，）15. 函数的反函数是_参考答案：.【分析】由解出，可得出所求函数的反函数.【详解】由，得，则有，因此，函数的反函数为，故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.16. 已知实数x，y满足，若z=x+

8、y的最小值是3，则z的最大值为 参考答案：6【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（k，k），联立，解得B（2k，k），由z=x+y，得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过B（2k，k）时，直线在y轴上的截距最小为k=3，则k=3当直线y=x+z过A（k，k）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2k=6故答案为：617. 以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

9、则曲线（为参数，）上的点到曲线的最短距离是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本题满分12分)已知函数（1）求的单调区间；（2）如果当且时，恒成立，求实数的范围.参考答案：（1）定义域为 设 当时，对称轴，所以在上是增函数 当时，所以在上是增函数 当时，令得令解得；令解得所以的单调递增区间和；的单调递减区间（2）可化为设，由（1）知： 当时，在上是增函数若时，；所以 若时，。所以 所以，当时，式成立 当时，在是减函数，所以式不成立综上，实数的取值范围是19. （本题满分12分）已知ABC中，满足，a,b,c分别是ABC的三边。（1

10、）试判定ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围。（2）若不等式对任意的a,b,c都成立，求实数k的取值范围。参考答案：20. （本小题12分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点。（）求证：；（II）若，求二面角的大小；（）在（II）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，试说明理由。参考答案：法一：（1）连，设交于，由题意知。以为坐标原点， 分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系，设底面边长为2，则高，所以 故 ，即 4分（2）由题意知，平面的一个法向量， 平面的一个法向量为设所求的二面角为则，所求二面角的大小为.8分（3）在棱上存

11、在一点使由（2）知是平面的一个法向量，且，设则而从而时，又不在平面内，故 .12分方法二、几何法，略21. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y表示第x天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：x12345y50607080100经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系.（1）若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？参考公式及数据：.参

12、考答案：（1）；（2），588名【分析】（1）列出5天中随机抽取2天的所有情况，共10种结果，选出满足条件的情况，代入公式，即可求解。（2）求出，的值，结合题中条件，求出，代入即可求出回归直线方程，并预测第6,7天参与抽奖的人数，即可求出总人数。【详解】（1）设第天的人数为，从这5天中随机抽取2天的情况为：，共10种结果；这5天中只有第4，5天的人数超70人，至少有1天参加抽奖人数超过70人的情况为：，共7种结果；则所求事件的概率为.（2）依题意， ，时，时，则此次活动参加抽奖的人数约为.线性回归方程，若该活动持续7天，共有588名顾客参加抽奖.【点睛】本题考查古典概型，回归直线的求解与应用，仔细审题是解题的关键，属基础题22. (本题满分12分）已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD平面ABCD，PD=8(1)连接PB、AC，证明：PB AC(2)连接PA，求PA与平面PBD所成的角的大小(3)求点D到平面PAC的距离。参考答案：(1)证明：连接BD，在正方形ABCD中，AC BD，又PD平面ABCD，所以，PDAC，所以AC 平面PBD，故PB AC。(2) 解：因为AC