《二次函数与一元二次方程》教学设计

1、PAGE15二次函数与一元二次方程（1）一、教学目标：知识与技能：轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根过程与方法：轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想；2bc=h的根就是二次函数y=a2bc与直线y=hh是实数图象交点的横坐标情感态度与价值观：1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；2通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性二、教学重难点教学重点：理解二次函数图象与轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系

2、，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根教学难点：理解一元二次方程a2bc=h的根就是二次函数y=a2bc与直线y=hh是实数图象交点的横坐标三、教学过程分析第一环节课前热身、耐心填一填活动内容：=a2bca,b,c是常数，a0，=_,顶点坐标是，2二次函数的解析式中的一般式是:y=a2bca0顶点式：y=a-h2交点式：y=a-1-2=22-4的对称轴是_,开口方向是_,顶点坐标是_=2-2-3与轴的交点为_,与y轴的交点为_-1,0和1,0，并经过点M0,1,则此抛物线的解析式为_活动目的：教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来问

3、题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，增强他们对后面学习新内容的信心第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线y=a2bc与轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程a2bc=0的根就是抛物线与轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究第5小题的解答虽然可以

4、有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备实际教学效果：课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本，精巧简练，所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了

5、铺垫第二环节用心想一想，马到功成活动内容：1我们已经知道,竖直上抛物体的高度hm与运动时间ts的关系可用公式h=-5t2v0th0表示,其中h0m是抛出时的高度,v0m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度hm与运动时间ts的关系如图所示,那么1图象上每个点的横、纵坐标含义是什么2h和t的关系式是什么3小球经过多少秒后落地你有几种求解方法与同伴进行交流=22,y=2-21,y=2-22的图象与轴的交点的坐标,并快速作出草图思路点拨:与轴交点就是求当y=0时这个方程的解,然后写成点的坐标1观察下列二次函数y=22,y=2-21,y=2-22的图象，每个图象与轴有几个交点2一元二次方程22=0,2-

6、21=0有几个根验证一下一元二次方程2-22=0有根吗3说说二次函数y=a2bc的图象和轴交点的坐标与一元二次方程a2bc=0的根有什么关系3归纳整理:=a2bc的图象和轴交点有三种情况:1、有两个交点；2、有一个交点；3、没有交点=a2bc的图象和轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量的值,即一元二次方程a2bc=0的根c完成下列表格，观察二次函数y=a2bc的图象和轴交点的坐标与一元二次方程a2bc=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系二次函数y=a2bc的图象和轴交点一元二次方程a2bc=0的根一元二次方程a2bc=0根的判别式=b2-4ac有两个相异的实数根b2-4ac0有

7、两个相等的实数根b2-4ac=0b2-4ac0活动目的：这一环节是本节课的重点内容，在教材提供的生活素材背景下，例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的，目的很明显：为学生直接铺设一个数形结合的情境，有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题，由于学生已经有了一次函数图象应用的学习经历，具备了一定的数形结合思想基础，为了求出v0和h0，只要教师引导学生分析清楚由于高度h与时间t成二次函数关系，故图象必然是呈现出抛物线的形式教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义”这一问题来启发学生，使他们认识到满足这个函数关系的点h,t一定在抛物线图象上，反之图象上的

8、每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度当学生理解了这个关系后，再引导学生观察图象上是否有已知的点，他们的注意力自然会去观察图象与轴的交点0，0和8，0，至此求h、t就转化为求解方程组的问题学生在此认识的基础上，教师再出示第3问，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间紧接着给出求出三个函数y=22,y=2-21,y=2-22与轴的交点，再画出它们的草图，教学中我组织开展了“比一比”这个活动，看谁解方程速度快看谁画图快在激发学生的学习积极性的同时，来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识，随

9、后的五个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系，随后教学中设计了一个表格，教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数图象与轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根

10、；同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力实际教学效果：由于教学设计体现出步步为营的战术特点，学生在小组成员的相互讨论中，在教师的引导启发下，不知不觉中完成了对新知识的学习理解第三环节教材题变形，拓展延伸活动内容：【例】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度hm可以用公式h=来表示其中ts表示足球被踢出后经过的时间1当t=1时，足球的高度是多少2t为何值时，h最大3经过多长时间球落地4方程=0的根的实际意义是什么你能在图上表示吗5方程=的根的实际意义是什么你能在图上表示吗解：1t=1时，h=2h=t-22当t=2时，h最大3对于h=球落地表示h=0即=0，解得t1=0舍去，t2=4即足

11、球被踢出后经过4s后球落地4方法一：解方程0=得t=0,t=4根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻方法二：直接观察抛物线与直线轴的交点0，0，4，0即可图形表示方程的根就是抛物线与轴的两个交点5方法一：解方程=得t=1,t=3方法二：图象法，过点0，作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是秒活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系前三问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出第四问引导学生观察到方程=0是函

12、数h=的函数值h取0的情况，其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系当然该方程的一个根就是足球落地的时间，而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻这是本节课的又一个难点，为了突破这个难点，教学中教师要耐心启发、引导，不断的设问、鼓励，力争由学生自己来揭示出来，体现出学生的主体性、主动性在认识了第三问基础上，第四问的给出，鼓励学生用类比的思想方法去考虑，问题就会迎刃而解了在肯定学生的思考同时，此时教师再提出一个问题：我们用求一元二次方程的根来解决的问题，你能再用图象法解决这个问题吗启发学生用形的一面去考虑问题目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索，同时再次强化学生认识到数学学习

13、要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法以上四个问题串的设计，由易到难，一环紧扣一环，从认识一元二次方程a2bc=0的根就是二次函数y=a2bc图象与轴交点的横坐标，到理解一元二次方程a2bc=h的根就是二次函数y=a2bc与直线y=hh是实数图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处实际教学效果：学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后，他们明白了一元二次方程a2bc=0的根就是二次

14、函数y=a2bc图象与轴交点的横坐标，本环节前4个问题，作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练，是一道很好的练习，课堂教学中学生踊跃回答，气氛热烈第4问虽然有些特别，但学生有了前面问题的理解认识，他们也可以说出方程的根就是抛物线与轴的交点但第5问给出后，学生静了下来我知道他们虽然明白一些，但却不知如何表达特别是用图形来表示一元二次方程=的根这个问题对于他们很陌生此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机，我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么学生回答h=的几何意义又是什么呢他们恍然大悟，明白了方程=的根的实际意义是抛物线与直线h=的交点5个问题一步步逐渐

15、揭示出方程=的根的实际意义，教师在这时再顺势提出更一般的问题：一元二次方程a2bc=h的根的几何意义又是什么呢学生就不难理解一元二次方程a2bc=h的根就是二次函数y=a2bc与直线y=hh是实数图象交点的横坐标了学生在课堂上有时热烈，有时安静，有时欲说还羞，有时又很满足，他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了第四环节开拓创新，试一试活动内容：在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m你是如何知道的活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学生自己独立思考，教师要作出及

16、时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出实际教学效果：教学中老师让学习小组先互相讲解，然后再由小组成员推荐上讲台面向全班同学讲解，一个同学发言指出他们的做法，把h=60带入函数式中，转化为求方程的根全班同学用赞许的眼光肯定了他的解法看到他只是从“数”的角度解决的，我知道学生要形成数形结合的思想意识是需要过程的我向全班同学启发问到：其他小组还有没有另外的解法另一位同学说：前面同学是从代数的角度解决的问题，=60，找到它与抛物线的交点，两个交点的横坐标就是问题的结论他的讲解赢得了同学热烈的掌声我没有让他坐下，在肯定了他能够用数形结合的思想考虑问题的同

17、时，又追问了他一个问题：如果你的抛物线图形没有画准，那么图象法得到的结论准确吗你能比较一下两种解法的优劣吗此刻所有同学都深刻体会到代数解法精确，而图象法快捷第五环节放开手脚，做一做活动内容：【例】已知二次函数y=277的图象与轴有两个交点，则的取值范围为什么错解：由=7247=49280，得正确解法：此函数为二次函数，0，又与轴有交点，=7247=49280，得，故且0点拨：因为是二次函数，因而0；有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为0活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢学生自然会想到应转化为代“数

18、”的一面来考虑使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及的取值范围了没有实际教学效果：学生基本都能把问题转化为根的判别式的值大于零，受到了较好的教学效果但很多学生没有条件虽然说有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为0；另外二次函数的存在条件是二次项的系数不为零只有个别同学注意到教学中先让有问题的学生板演出他的解法0，我故意打一个大大的半对号，请同学们说说原因，当有同学提出应为0，我仍然说道还不完整，再请同学们思考，直到给出完整的解法同学们在问题的思考探索中培养了他们分析题目要全面、仔细的好习惯第六环节归纳小节、说一说活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过