复合函数极限运算法则

1、复合函数的极限运算法则第1页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四则定理 2.5 若(1)(2)若 B0 , 则有(3)一、 极限的四则运算法则第2页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证时,有取则当时,有当(1)由可知使得当时,有因此第3页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四(2)使得 由 及 定理2.2 知， 及 及第4页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四有 又由 知,使得当取则对于上述 0,有/ 2C因此时, 有当 其中第5页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四(3) 由 及 定理2.2 知， 及使

2、得当时, 有由于 及所以由(2), 需证当B0时因此从而(3)式成立.第6页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四若则有注运算法则 , 有相应的结论 .及 x时函数极限的四则例如, 对于数列极限,对于数列极限有以下结论: 数列是一种 特殊的函数, 故此结论可 由定理2.5直 接得出 .第7页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四(极限运算的线性性质) 若 以上运算法则对有限个函数成立.推论 和是常数， 则 于是有 幂的极限等于极限的幂第8页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四求 解例1极限运算的线性性质 结论： 幂的极限等于极限的幂第9页，共3

3、7页，2022年，5月20日，6点21分，星期四解例2商的极限等于极限的商第10页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四一般地， 设有分式函数其中都是多项式 ,注 若不能直接用商的运算法则 .请看下例: 结论： 第11页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四解商的极限法则不能直接用例3由极限定义x1，x1, 约去无穷小因子法第12页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四“ 抓大头”分析可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限.例4解第13页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四结论：为非负常数 )消去无穷大因子法: 以分

4、母中自变量的最高次幂 除分子, 分母, 以消去无穷大 因子, 然后再求极限.第14页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例5解分析型，先通分，再用极限法则.第15页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例6解无穷多项和的极限公式求和变为有限项第16页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四定理证(有界函数与无穷小的乘积是无穷小)则第17页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例如，=0第18页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四二、 复合函数的极限运算法则定理2.6 设 当时,又则有注1 定理2.6中的条件：不可

5、少. 否则，定理2.6 的结论不一定成立.原因：第19页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四反例虽然所以第20页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四则2 定理2.6的其他形式(1)(2)则有第21页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四由定理2.6，知在求复合函数极限时,可以作变量代换，得到且代换是双向的，即第22页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例7 求解 令于是从而 原式 =从左向右用式第23页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四内容小结1. 极限运算法则(1) 极限四则运算法则(2) 复合函数极限

6、运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去零因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法：设中间变量，变量代换.或先有理化后约分第24页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四 1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么 (1)是否一定不存在？为什么?(2)是否一定不存在？(3) 又加条件：是否一定不存在？思考题2.第25页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四答： 一定不存在由极限运算法则可知：必存在，这与已知矛盾，故假设错误思考题解答(1)是否一

7、定不存在？为什么? 1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么 第26页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四答：不一定.反例：(2)是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么 第27页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四答：一定不存在.（可用反证法证明）(3) 又加条件：是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么 2.解原式第28页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四备用题例3-1解先有理化 再约去无穷小 第29页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例3-2解因为上式极限存在第30页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四第31页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四解可以先用同时去除分子和分母,然后再取极限.例4-1第32页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例4-2解根据前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故第33页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例5-1已知试确定常数解 分子的次数必比分母的次数低故即第34页，共37页，2022年，5月20日，6点21分，星期四例6-1解无穷多个因子的积的极限变为有限项再求极限