考研微分方程知识归纳

1、文档编码 : CC5S4S8O4Z9 HC6C1K4W8Q6 ZJ8W9W3A7W2微分方程部分 重点内容 1,变量可分别的微分方程 （ 1）形式 dy f xg y 或 M 1 xM 2 ydx N1 x N ydy 0dx （ 2）通解 dy f xdx C或 M x dx N1 x N y dy M 2 y Cg y 2,齐次方程 （ 1）形式 dy y 或 dx x dy x y y u ,就 y dy xu , dx udu x ）或 dx dx （ 2）通解 du dx C （令 u ux x du dx C （令 x u ,就 x yu , dx dy udu y dy ） y

2、u ux 3,一阶线性微分方程 （ 1）形式 y ep x y q x p xdx dx C （ 2）通解 y p x dx q x e 4,可降阶的高阶微分方程 n （ 1） y f x ,其中 f x 为已知函数 积分 n 次可得其通解 （ 2） y f x, y （不显含 y ） 令 y p ,就 y p；于是,原方程可化为 p f x, p （一阶） 设的通解为 p x,C1 ,即 y x, C1 （一阶） 由可得通解 （ 3） y y x,C1 dx C2 f y, y （不显含 x ） 第 1 页,共 11 页令 y p ,就 y pdp dp dy pdp ；于是,原方程可化为

3、dx dy dx dy pdp f y, p （一阶） dy 设的通解为 p y,C1 ,即 y y, C1 （一阶） 由可得通解 dy y, C1 x C2 5,二阶线性微分方程 （ 1）形式 非齐次 y p x y q x y f x （ 1） 齐次 y p x y q x y 0（ 2） （ 2）解的结构 定理 1 如 y1 x,y2 x 为（ 2）的两个解,就 C1 y1 x C 2 y2 x 为（ 2）的解； 定理 2 如 y1 x,y2 x 为（ 2）的两个线性无关的解,就 C1 y1 x C 2 y2 x 为（ 2）的 通解； y1 x,y2 x 线性无关 y1 x 常数； y2

4、 x 定理 3 如 y1 x,y2 x 为（ 1）的两个解,就 y1 x y2 x 为（ 2）的解； 定理 4 如 y0 x 为（ 2）的解, yx 为（ 1）的解,就 y0 x y x 为（ 1）的解； 定理 5 如 C1 y1 x C 2 y2 x 为（ 2）的通解, y x 为（ 1）的一个特解解,就（ 1）通 解为 y C1 y1 x C 2 y2 x y x 6,二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 y py q y 0 （ p, q 为常数） 1, 2） 的通解：特点方程 2pq 0 的判别式 p 2 4q y C e 1x C e 2 x （0 ,有两相异实根 第

5、2 页,共 11 页y C1 C2 xe 0 x （ 0 ,有两相等实根 120 ） 1, 2 i） y C1 cos x C2 sin x e x （ 0 ,有一对共轭复根 二阶常系数非齐次线性微分方程 y py q y f x （ p, q 为常数, f x 为已知函数,称为自由项） 特解的表示： x （ 1）如 f x Pn xe （其中 Pn x 为 n 次多项式） ,就可设特解 k x y x Qn xe 0, 不是特点根 其中 Qn x 为（系数待定的） n 次多项式, k 1, 是单特点根 2, 是重特点根 留意 当 f x Pn x 即 0 时,也要考虑其是否为特点根！ x x

6、 （ 2）如 f x ae cos x 或 f x be sin x ,就可设特解 y x ke x Acos x B sin x 0, i 不是特点其中 A, B 为（待定）常数, k 1, 根 i 是特点根 （ 3）如 f x f1 x f2 x ,且 y1 为 y py q y f1 x 的特解, y2 为 y py q y f 2 x f2 x 的特解,就 y y1 y2 为 f1 x y py q y 的特解（特解的可叠加性） ； 7,高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 （ 1）三阶 y py qy ry 0特点方程 3p2qr0三个相异实根 1 , 2 , 3 时的通解 第 3

7、页,共 11 页y C e 1x C e 2 x C e 3 x 两个为二重实根 1 2 0 ,另一个为单实根 3 时通解 y C1 C2 xe 0 x C3e 3 x 三个为三重实根 1 2 3 0 时的通解 y C1 C 2x C3x e 2 0 x 一个为单实根 1,另两个为共轭复根 2, 3 i 时的通解 y C1e 1x C2 cos x C3 sin x e x （ 2）四阶 y 4 py qy ry sy 04 3 2特点方程 p q r s 0四个相异实根 1 , 2 , 3 , 4 时的通解 y C e 1x Ce 2 x C e 3 x Ce 4 x 两个为二重实根 1 2

8、 01 ,另两个也为二重实根 1 2 02 时的通解 01x 02 xy C1 C2 xe C3 C4 xe 三个为三重实根 1 2 3 0 ,另一个为单实根 4 时通解 y C1 C 2 x C3 x e 2 0 x C4e 4x 四个为四重实根 1 2 3 4 0 时通解 y C1 C2 x C3 x 2C4 x e 3 0 x 两个为二重实根 1 2 0,另两个为相异实根 3 , 4 时的通解 y C1 C2 xe 01xC3e 3 x C4 xe 4 x 两个为二重实根 1 2 0,另两个为共轭复根 3, 4 i 时的通解 y C1 C2 xe 0 x C3 cos x C4 sin

9、x e x 两个为相异实根 1 , 2,另两个为共轭复根 3, 4 i 时的通解 第 4 页,共 11 页y C 1e 1 x C e 2x C cos x C sin x e x 例题选讲 例 1 二阶常系数非齐次线性微分方程 y 4 y 3 y 2e2x 的通解为 ； （2022 数学二） 解 特点方程 2430y 1 1 的特解；（ 2022 数学二） 特点根 11, 23余函数 y C 1e x 3x C e 设特解 * y 2 x Ae ,代入非齐次方程可得 A 2得通解 y x C1e 3x C2e 2 x 2e 例 2 求微分方程 y x y 2 y 中意初始条件 y1 解 （可

10、降阶,不显含 y ） 令 y p ,就 y p；于是,原方程可化为 p x p 2 p变形为 dx 1x p（将 x 作为 p 的函数,这点很关键！ ！） dp p就 x d p d p dp C1 ln p e pe ln p dp C1 ep pe pp p C1 即 x y y C1 x ,又由 y 1 1 知,应取 由 y 1 1 ,得 C1 2 0 ,就有 y y x 解得 y 23C2 x 23第 5 页,共 11 页由 y1 1 ,得 C2 1 3y 1 1 的特解为 C2 cos2 x C3 sin 2 x 为通解的微分方程是 （ ） 故方程 y x y 2 y 中意初始条件

11、y1 y 2313x2 3例 3在以下微分方程中, 以 y x C1e A , y y 4 y 4 y 0B , y y 4 y 4 y 0C, y y 4 y 4 y 0D , y y 4 y 4 y 0（ 2022 数学二） 解 特点根为 1 1, 2,3 2i 2 3 2特点方程为 1 2i 2i 1 4 4 4 0 ,故应选 D； 例 4 设 f x 是区间 0, 上具有连续导数的单调增加函数,且 f 0 1 ；对任意 t 0, ,直线 x 0, x t ,曲线 y f x 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周 生成一旋转体, 如该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 （20

12、22 数学二） 解 由题设,有 2 倍,求函数 f x 的表达式； 2t 2 f x 1 f x dx 2 t f 2 x dx（旋转体侧面面积公式,要记住！ ） 00即 t 2 f x 1 f xdx t 2 f x dx 00方程两边对 t 求导,得 2 f t 2 f t 1 f t 解得 2 2 t ln y y 1 t C1 , y y 1 Ce 由 y0 1 ,得 C 1； 所以 y y 2 1 e t ,或 y f x 1 e2 x e x ； 例 5 设非负函数 y y x x 0 中意微分方程 xy y 2 0 ,当曲线 y y x 过 原点时,其与直线 x 1 及 y 0

13、所围成平面区 D 的面积为 2,求 D 绕 y 轴旋转所得旋转 域 第 6 页,共 11 页体体积；（ 2022 数学二） 解 将微分方程 xy y 2 0 变形为 y 1 y 2 x 0 （不显含 y ）（1） x x 留意到方程（ 1）为关于 y 及 x 的一阶线性微分方程,就 1 1y e x dx 2 e x dx dx 2C1 x ln x 2 ln x e e dx 2C1 x 2x x 2 dx 2C1 x 2 C 2 2C x x 于是,有 y 2 C1 x 2 x C 2 y 2 C1 x 2 x ； 由 y y x 过原点,得 C2 0 ,就 1 ,得 C1 3 ,从而所求

14、函数为 又由 212 C1x 2 xdx C1 03y 2 3x 2 x 于是 留意 1Vy 212 x3x 2x dx 213 3x 2 2x dx 17 ； y ） 006用公式 Vy 2bxf x dx要简便得多！ （ y f x, x a, b ） a留意 2可降阶的高阶微分方程 07 年也考到, 07,09 都为 y f x, y （不显含 型； 例 6 三阶常系数齐次线性微分方程 y 2 y y 2 y 0 的通解为 ；（ 2022数学二） 解 特点方程为 32220因式分解得 特点根为 12 21 02, 2,3 i第 7 页,共 11 页通解为 y 2 x C1e C2 cos

15、 x C3 sin x 留意 与 08 年类似； 例 7 设函数 y f x 由参数方程 x 2t t 2 , t 1所确定,其中 t 具有二阶导 y t 数,且 1 5 , 1 6 ；已知 d y 2 3,求函数 t ；（ 2022 数学二） 22 dx 41 t 解 dy t dx 2 2t d y 22 d dy d t d t dt dx dx dx dx 21 t dt 21 t dx t1 t t 1 t1 t t 2 321 t 21 t 41 t 2又 d y 3,就 2dx 41 t 2t 1 t t 31 t 变形为 t 1t 31 t （这是关于 及 t 的一阶线性微分方

16、程） 1 t 就 由 t e1 dt 1 t 31 t e 1dt dt C1 C1 1 t ln1 t e 31 te ln1 t dt C1 1 t 3t C1 2 3t C1 3t 1 6 ,得 63 C1 3 C1 , C1 0就 t 2 3t 3t 于是 由 1 5t t 3 3 t 22C20,得 5 21C , C 2322所以有 第 8 页,共 11 页3 3 2t t t 2留意 1 一阶线性微分方程是考试重点 x t 留意 2 由参数方程 所确定的函数的导数也是考试的重点 y t 2dy t d y t t t t , 2 3dx t dx t 其中公式 d 2 y t t

17、 t t dx2 3 t 可与曲率公式 | t t t t | 3/2 t 联系起来记； 例 8 微分方程 y x 2y ex ex 0 的特解的形式为（ ） A, ae x ex B , axe x ex C, xae x be D, x2 ae x be x （2022 数学二） 解 特点方程为 r 2 20 x , y 2 y ex 的特解可设为 xbe x 特点为 r1 , r2 （单根） y 2 y e x 的特解可设为 xae 于是,应选 C； 留意 特解的可叠加性 例 9 微分方程 y y x e cos x 中意条件 y0 0 的解 y ；（ 2022数 学二） 解 y e d

18、x x e cos x e dx dx C x x x e e cosx e dx C x e sin x C 由 y0 0 ,得 C0 ,就中意条件 y0 0 的解 y ex sin x 第 9 页,共 11 页留意 1 应检验是否为 y y ex cos x 的解 留意 2 进一步说明：一阶线性微分方程是考试重点 例 10 设函数 y y x 具有二阶导数, 且曲线 l : y y x 与直线 y x 相切于原点, 记 d dy 为曲线 l 在点 x, y 外切线的倾角,如 ,求 y y x 的表达式；（ 2022 数学二） dx dx 解 由 tan y ,有 arctan y ,从而 d y 2dx 1 y 又由 d dy ,得 dx dx y 2 y 1 y 即 令 y y 2 y 1 y （不显含 x ） p ,就 y pdp ,从而有 dy pdp p1 p 2 dy 即