自动控制原理课程教案附录1拉普拉斯变换

1、文档编码 : CF10I1O3A4W3 HK10A5D8M4U2 ZO7U1D8G10T10附录 1.拉普拉斯变换附录 1.1拉氏变换的定义f t ,它的定义域是t0,那么拉氏变换就是如下运算式A-1 假如有一个以时间为变量的函数F s tst f t e dt式中 s 为复数；一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是（1）在 t 0 时,f t 0；（2）在 t 0 时的任一有限区域内,f t 是分段连续的；st（3）0 f t e dt在实际工程中,上述条件通常是中意的；式 A-1 中,F s 成为像函数,f t 成为原函数；为了表述便利,通常把式 A-1 记作F s L f t 假如已知象函

2、数 F s ,可用下式求出原函数1 c j stf t 2 j c j F s e ds（A-2 ）式中 c 为实数,并且大于 F s 任意奇点的实数部分,此式称为拉氏变换的反变换；同样,为了表述方便,可以记作为了工程应用便利,常把F s 和f t L1F s A-1 列f t 的对应关系编成表格,就是一般所说的拉氏变换表；表出了最常用的几种拉氏变换关系；一些常用函数的拉氏变换附录 1.1.1 单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为u t 00,t03-1 所示；单位阶跃函数的拉氏变换0,t0它表示t时,突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量,如图为F s 0estdt1est01Re 0,

3、因此ss在进行这个积分时,假设s的实部比零大,即lim test0附录 1.1.2单位脉冲函数的拉氏变换0期间内作用的矩形波,单位脉冲函数也是作为自动把握系统常用的标准输入量；它是在连续时间其幅值与作用时间的乘积等于1,如图 3-3 所示；其数学表达式为 0, 0t和tlim 01 0t其拉氏变换为L lim 00 t estdt1eslim 01est 0lim 01sslim 011s2s2L1s1.2.附录 1.1.3单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换单位斜坡时间函数为f t 0,t0t t0如图 3-2 所示,斜坡时间函数的拉氏变换为F s 0testdttest1est01；

4、 Re 0s2 s2 s同理单位抛物线函数为其拉氏变换为F s 1, Re 0；f t 1t22s3附录 1.1.4正弦和余弦时间函数的拉氏变换正弦函数的拉氏变换为L sintF s 0sinttestdt010ejtej testdt2j1esjdt1e sj tdt2j02j1s11j2jjss22同理求得余弦函数的拉氏变换为LcostF s 2 s2常用的拉氏变换法就（不作证明）1. 线性性质拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性；拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常数时,其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数,即 L af t aF s 拉氏变换的叠加性是：如 f t 和 f 2

5、t 的拉氏变换分别是 F s 和 F s ,就有L f t f 2 F s F 2 2微分定理 原函数的导数的拉氏变换为df t L sF s f 0dt式中 f 0f t 在 t 0 时的值；同样,可得 f t 各阶导数的拉氏变换是2d f t 2L 2 s F s sf 0 f 0dt3d f t 3 2L 3 s F s s f s sf 0 f 0dtL L L L L L L LLn d f t n s F s sn1f s sn2f0L Lfn10dtn假如上列各式中全部的初始值都为零,就各阶导数的拉氏变换为L f sF s 2s F s 3s F s L f L f L L L

6、L L L L LL fn n s F s 图 1 平移函数3积分定理原函数f t 积分的拉氏变换为f t dt t0F s Lf t dtss起初始值为零时4时滞定理Lf t dtF s sT ,平移后的函数为f tT ；该函数满如图 A-1 所示,原函数f t 沿时间轴平移足下述条件0t0时,f t 00tT 时,f tT就平移函数的拉氏变换为L f tTf tT estdtesTF s 0这就是时滞定理；5初值定理假如原函数f t 的拉氏变换为F s ,并且 lim ssF s存在,就时间函数f t 的初值为lim t 0f t lim ssF s 表 A-1 拉普拉斯变换对比表11原函

7、数1,2,3t2t拉普拉斯函数2f t F s t1 1 t1seat1sateat1sa2tr1eatr1r1.sarsin taeat2 s2costs2 s2ntn.sn1b1abebtssa sb eatsinn tnsa22neatcosn tsasa22n2entsinn1n2n2 s2nsn12entsinn121s2tan11202 s2nsn6终值定理假如原函数f t 的拉氏变换为F s ,并且sF s 在 s平面得右半平面和虚轴上是解析的,就时间函数f t 的稳态值可如下求得lim s 0sF s lim tf t 这确定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的；但是,当sF s

8、 的极点的实部为正或等于零时,不能应用终值定理；这一点必需留意；在下面的例题中,仍要说明；例1应用初值定理求F s fs122的原函数f t 的初始值f0和f0；1 求f0；依据初值定理0lim ssF s 得2 求f0；由于Lf0lim sss2lim ss140024sfff0ss2tsF s2将已求得的f00带入上式得Lftss22依据初值定理得f0lim ssss22lim s11414s2 s可以校核这一结果的正确性,由LF sft得因例 2 应用终值定理求f t5fft2te2t2 t0f0lim t 0te0lim t 0et2 te2 t15 et的终值；Fs51s s所以得也

9、可以按下式求f t 的终值lim tf tlim s 0sF slim s 0s515lim tf tlim5 t5et5没有终值；例 3 应用终值定理Fs2 s2原函数的终值,并用ftsint 的终值进行校核；由于sF ss2s2有两个极点在虚轴上,所以不能应用终值定理；如用终值定理,就得lim tftlim s 0sF slim s 02 ss20这个结论是错误的,由于表A1得知原函数为ftsint ,该函数为周期性的简谐振荡函数,7. 卷积和定理假如时间函数1ft 和2ft 都中意条件：当t0时,f1tf2t0就1ft和2ft 的卷积为f1tf2ttf 1f2td0由于卷积符合交换律,卷

10、积也可写成假如1ft 和2ff2tf 1t2tt 0f22tf 1ttdF2sLf2t；那么f 1tf2t 的f 1tfsff 1f 1,t 是可以进行拉氏变换的,F 1Lt拉氏变换可求得如下Ltf 1f2tdF 1s F 2s0这称为卷积定理；依据卷积符合交换律得Ltf2f 1tdF2s F 1s0因此Lf 1tf2tLf2tf 1tF 1s F2saF2s F 1s8. 位移性质假如 LftFs ,就有F sa ,Res0L eatf t附录 1.2拉普拉斯反变换求反变换的运算公式是f t21jcjst F s e dsc用上式求反变换明显是很复杂的,但是对与绝大多数把握系统,并不需要利用

11、这一公式求解反变换,而是 依据下面的方法求反变换；在把握系统中,拉氏变换可以写成以下一般形式一般 nsm ；式AF sb smb sm1z 2, b m1sb mz 称为复变函数A3a sna sn1san1b n3可以分解为诸因式之积：K sz 1ssz mA4F ssp 1sp2sp n式中当z 1 ,sz 2, ,sz 时,F s0；因此,z 1z 2, , F s的零点；当sp 1, sp 2, , sp 时,F s,因此,p 1,p 2, ,p 称为复变函数F s的极点；对于 A 4 式所示的拉氏变换,可以用部分分式开放,然后查拉氏变换表来求原函数；1. 只包含不相同极点时的反变换

12、f t 由于各极点均不相同,因此 F s 可以分解为诸分式之和A 1 A 2 A nF ss p 1 s p 2 s p n式中的 A 1 , A 2 , , A 为常数,iA 称为 s p 的留数,该值可以按下式求出；A i s lim p i s p F s 即当各项系数求出后,可按下式求原函数F s A1 F s sLp ispiLL1 sA nnf t f t L1LsA 1p 11 sA 2p2p因L1sAp i iAeipt故得f t Aep t 1A ep t 2L LA ep t n,t0例4求以下拉氏变换得反变换2,求f t L1 F s ；（1）已知F s ss31s将F

13、s 分解为部分分式F s A 1A 2s1s2式中于是f t 2A 1ss32s1ss122,1sA 2ss32s211 sete2 t,t0（2）已知F s 3 ss4s26s5,求f t L1 F s ；1 s2因上式中得分子得幂次大于分母s 得幂次,在求其反变换前,先将分子除以分母,得F s s1ss321s对上式中得三项分别求拉氏反变换式中f t L1F s L1 L1 1L1 ss321 sL1 d ；te2tdt t ；L11L1ss322e1s因此得到原函数为2包含共轭复极点得反变换f t d 2ete2 t,t0p ,dt假如F s 有一对共轭极点,就可利用下面得开放式简化运算

14、；设p 为共轭极点,就F s A s A 2 A 3L L A n s p 1 s p 2 s p 3 s p n式中的 A 及 A 可按下式求解 F s s p 1 s p 2 s p 1 A s A 2 s p 1由于 1p是一个复数值,故等号两边都是复数值；使等号两边的实数部分和虚数部分分别相等,得两个方程式；联立求解,即得到 A 及 A 两个常数值；例5 已知 F s 2 s 1 A 0 A s2 A 2,求 f t ；s s s 1 s s s 1三个极点分别为s0,s 1,21j30.5j0.86622确定各部分分式得待定系数因 s12 sss1sA 0s 2 s s1s s01A

15、 2s10.50.866A 1 0.5j0.8662 s s1可得0.5j0.866A 1 0.5j0.866A 20.5j0.866即0.5j0.866A 1 0.5j0.8662A 2 0.5j0.866A 1 0.5j0.866A 2 0.5j0.866使等号两端得实部和虚部分别相等,得0.5A 10.5A 20.50.866A 10.866A 20.866解之得A 11,A 20所以F s 1s2s11ss20.52s0.50.50.8662sss0.50.8662就f t L1 1ts0.50.52ss0.520.8662s0.520.8661e0.5cos0.866t0.57e0.

16、5 tsin0.866t ,t03包含有 r 个重极点时的反变换假如有 r 个重极点,就F s 可写为F s sK sz 1sz 2 L Lsz mp0r spr1spr2L Lspn将上式开放成部分分式在上式中,A r1,A r2F s sA 010rsA 02r1L LsA 0 r0sA r11L LsA nL LA 0 r的求法如下：pp 0pprpnL L 的运算与在单极点情形下求待定系数的方法相同,而A 01,A 02A 01 sp 0rF s sp 0A 02dsp 0r F s sp 0dsL L L L L L L LA 0 i i i11.di1sp 0rF s sp 0i

17、ds1L L L L L L L LA 0rr11.drr1sp0rF s sp 0ds1就具有 r 个重极点的拉氏反变换为f t rA 01tr1rA 02tr2LsA 0 r2ep t 0A r1 ep r1 tLA ep t n,t01.2.例6求F s ss31的拉氏反变换A 01A 02A 032 2 s将F s 分解为部分分式F s 2s2s1上式中各项系数为A 01ss31s22ss221222 2 sA 02d ss31s22sds2 2 sA 03s1 ss3112 2 s于是得F s s12s22s212所以原函数为附录 1.3f t t2e2 t2 et,t0用拉氏变换求

18、解系统得暂态过程上面介绍了用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法,今举例说明用这种方法求解系统的暂态过程；例设一线性系统的微分方程为5dxc6xc6 2 d x cdt2dt并设初始条件是求输出量xc t ；x & c02,x c02系统微分方程的拉氏变换为2 s Xc sx c0 x &05sXc 5xc06Xc 6/s代入初始条件的值并整理得Xc s 如下方程2 s212s622 s12s6Xc 2 s s5s6s s3s2将上式开放为部分分式Xc A 0sA 13sA 22s式中A 0Xc s ss0134A 1Xc s s3sA 2Xc s2s25因此利用表A1就可求出上式的拉氏反变换为Xc 1s43s5t2scx t 14 e3 t5 e2上述解由两部分组成,稳态解为,暂态解为 4 e3t5 e2t；系统的稳态解也可以用终值定理求得lim tx t lim s 0sXc lim s 02 s212