数字信号处理(方勇)第三章习题答案

1、数字信号处理学习拓展3 3 31画出H(z)=(2-.379L1)(4-1.24L1+5.264L2)级联型网络结构。(1-0.25z-1)(1-z-1+0.5z-2)解：y(n)x(n)2FFfz-1-1.24-0.5r?-1人5.264kk432画出H(z)=(2-3乙-1)(4-6乙-1+5乙-2)级联型网络结构。(1-7z-1)(1-z-1+8z-2)解：33(1z-1)(1+z-1+z-2)322并联型网络结构。解：将系统函数H(z)表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即:21+z-1+111-z-11+z-132由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：3-4已知一FIR滤波器的系统

2、函数为H(z)=(1-0.7z-1+0.5z-2)(1+2z-】)，画出该FIR滤波器的线性相位结构。解：因为H(z)=(1-0.7z-1+0.5z-2)(1+2z-1)=1+1.3z-1-0.9z-2+z-3，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：3-5已知一个FIR系统的转移函数为：H(z)=1+1.25z-1一2.75z-2一2.75z-3+1.23z-4+z-5求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB画出其零点分布及其频率响应曲线。解：由转移函数可知，N=6，且h(n)偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即z=1

3、为系统的零点。而最高阶z-5的系数为+1,所以z=-1为其零点。H(z)中包含1+z-1项。所以：H(z)=H(z)(1+z-1)。1H(z)为一四阶子系统，设H(z)=1+bz-1+cz-2+bz-3+z-4，代入等式，两边相11等求得H(z)=1+0.25z-1-3z-2+0.25z-3+z-4，得出系统全部零点，如图3-5(b)1所示。系统流图如题3-5(a)图所示。z-1MATLAB程序如下，结果如题3-5(b)图所示:b=11.25-2.75-2.751.251;a=1;figure(1)zplane(b,a);figure(2);OMEGA=-pi:pi/100:pi;H=freq

4、z(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OMEGA,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEGA,180/pi*unwrap(angle(H);S-O-七Aeu-6elu-题3-5(b)图3-6给定|h(j0)|2=1/(1+6406),确定模拟滤波器的系统函数h(s)。解:根据给定的平方幅度响应，得|h(j0)|2=11+640601+()2x30.5与H2(j0)=01+()2N0比较，得到N=3,0=0.5。取左半平面的三个极点，得c0=兀J2+兀；6=2兀3，极点s=0(cos0+jsin0)；1极点s=20(cos0+jsin0)=0因此

5、由H(s)=，得n(ss)kCH(s)03(ss)(ss)(ss)123对共轭极点s，1代入上式，得(ss1)(ss)=(ss)(ss*)=s220cos3020.125(s+0.5)(s2+0.5s+0.25)37模拟低通滤波器的参数如下：=3dB,a=25dB，=25Hz，pf=50Hz，用巴特沃斯近似求H(s)。解：已知a=3dB,a=25dB，25Hz，f=50Hz，确定巴特沃斯滤波器的阶数如下：)=Ig50)=4.1525100.1X251100.1X312冗x50)2冗x252取N=5。本题由于a正好是3dB，故低通滤波器的3dB截止频率为：p0=0=2兀f=2兀x25=50兀=1

6、57(rad/s)TOC o 1-5 h zcpp或者，由下式来求取0。c02兀x25丿0=p=157(rad/s)C11(100.1ap1)2N(100.1x31)10将0代入五阶巴特沃斯模拟低通传递函数数字信号处理学习拓展数字信号处理学习拓展数字信号处理学习拓展113 3 3 H(s)=-sssss()5+3.236x()4+4.236x()3+4.236x()2+3.236x()+1QQQQQccccc1.048x10-iis5+5.326x10-9s4+5.326x10-9s4+1.095x10-6s3+1.719x10-4s2+0.021s+13-8已知H(s)=，使用脉冲响应不变法

7、和双线性方法分别设计数字低通滤波器，使得3dB截止频率为=0.25兀。解：(1)双线性变换法：3dB截止频率为=0.25兀，Q2=tan(T0.25兀)20.828于是H(s)=1+sT/0.828H(z)=H(s)a(2)脉冲响应不变法：3dB截止频率为=0.25兀，Q2tan(T0.25兀)20.828于是H(s)=0.828/T1+sT/0.828s+0.828/T因为脉冲响应不变法是由下面的映射完成的：1-e-plTz-11+(2/0.828)(1-z-1)(1+z-1)=0.2920匕M1-0.4159z-1参数T不参与设计0.828/T所以H(z)=0.828/T1e-T-0.82

8、8/Tz-11e-0.828z-13-9用脉冲响应不变法将H(s)转换为H(z)，采样周期为TH(s)=，其中m为任意整数(s-s)m0解：h(t)=L-1h(s)=es(nTtm-1u(t)(m-1)!ATmh(n)=Th(nT)=nm-1es(nTu(n)(m-1)!h(n)=fn-0ATm(m一1)!nm-1es()nTz一nATm(m一1)!m一1zm一1dm-1(1dzm-1(1-esoTz-1丿上式递推可得：AT1一esoTz-1H(z)=ATmes0Tz一1(1一esoTz-1)mm-1m-2,3,3-10要求设计一个数字低通滤波器，在频率低于-0.2613兀的范围内，低通幅度特

9、性为常数，并且不低于0.75dB，在频率-0.4018兀和兀之间，阻带衰减至少为20dB。试求出满足这些指标的最低阶巴特沃斯滤波器的传递函数H(z)，采用双线性变换。解：令|H(jQ)|2为模拟滤波器的平方幅度函数，且由于采用双线性变换，Q-tan(w/2)aT20lgH(j2tan(a0.2613兀2)0.7520lgHa(j2tan(0.4018兀2)=dN1一/e21求得理想冲激响应为J”一冗(ej)ejndJ0.5“ej(n一二；d一0.5”siYN1)iln丄2丿x0”5(N1nI2”/1N0.5兀一jJe2ejnd=2”一0.5”sii(n-1)Q(n一10)”计算得,0,0,9”

10、一11,0,0,7”5”一1,0,3”11,0.5,0,”一11一11,o,o,o,o,3”5”7”9”加矩形窗：h(n)=h(n)-R(n)dN所以1111111111h(n)=0,0,0,0,0,0.5,0,0,0,0,0d9”7”5”3”3”5”7”9”即h(n)=0,0.0354,0,0.0455,0,0.0637,0,0.1061,0,0.3183,0.5,0.3183,0,0.1061,0,0.0637,0,0.0455,0,0.0354,0正、负肩峰值的位置如题3-16表所示题3-16表&轴上的位置20lgH(ro)/H(0)值正肩峰（A点）2兀2兀一=0.5ncN2120lg(

11、1.0895)=0.74dB临界频率（B点）ro=0.5nc20lg(0.5)=6dB负肩峰（C点）2n2nro+=0.5n+cN2120lg(0.0895)=21dB过渡带宽度为2兀2兀4兀4兀(+)()=0.19兀cNcNN21利用MATLAB演示其结果如题3-16图所示：N=21;a=(N-1)/2;Wc=0.5*pi;n=0:1:(N-1);m=n-a+eps;避免被零除hd=sin(Wc*m)./(pi*m);H1,W=freqz(hd,1);figure(1);subplot(211);stem(n,hd);xlabel(n);ylabel(h(n);subplot(212);pl

12、ot(W/pi,20*log10(abs(H1)/max(H1);xlabel(频率);ylabel(幅频响应);-100)确定h(n)的长度；(2)111111111题(3-16图加矩形窗时的脉冲响应及其频谱图月0.93-17频奉试用窗函数法设计一个第一类线性相位FIR数字高通滤波器，已知H(ejw)d3兀，Iwlt,H(ejw)=0，4d3TT0Iw1-，对于矩形窗，过渡带宽度为。4求h(n)的表达式；(3)a=？解：(1)Aw=(2)h(n)dT4T=,N=64,16N1T=JH(ejw)ejwndwd偶数，取N=65(3)a2TT3-18J_叭ejwaejw”dw+J”ejwaejw”

13、dw2TT13Tsin(冗(na)sin(na)T(na)4h(n)=h(n)R(n)d65N1651=322用矩形窗设计线性相位数字低通滤波器，理想滤波器传输函数H(ejw)为:de-jwa,0Iw|wH(ejw)=d0,wIw|Tc(1)求出相应的理想低通滤波器的单位脉冲响应h(n)。d数字信号处理学习拓展数字信号处理学习拓展163 3 cn(n-a)0,1)求出相应于理想低通的单位脉冲响应h2)(n)；d求出矩形窗设计法的h(n)表达式，确定a与N之间的关系;3)N的取值有什么限制？为什么？(2)求出用矩形窗函数法设计的FIR滤波器的h(n)表达式。1n1wcsinw(n-a)解：(1)

14、h(n)=JH(e-jw)ejwndw=Je-jwaejwndw=d2nd2n-n-wcN-1(2)为满足线性相位条件，要求a=N-1,N为矩形窗函数的长度。加矩形窗函数2得h(n)。sinw(n-a)h(n)=h(n)R(n)=cR(n)。dNn(n-a)N3-19用矩形窗设计线性相位高通滤波器，逼近滤波器传输函数h(ejw)为dwwIc其他解:(1)直接IDTFTh(ejw)计算:dnH(ejw)ejwndw-ndTOC o 1-5 h zwnJce-jwaejwne-jwaejwndwnwcwncejw(n-a)dw+Jejw(n-a)dwnwcjw(n-a)e-jn(n-a)+ejn(

15、n-a)ejw(n-a)2j冗(n-a)IsinIn(n-a)一sinLo(n-a)n(n-a)csinw(n-a)=5(n-a)-c冗(n-a)h(n)表达式中第2项d正好是截止频率为w的理想低通滤波器c的单位脉冲相应。而5(n-a)对应于一个线性相位全通滤波器:H(ejw)=e-jwadap即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现2)用N表示sino(na)Ih(n)=h(n)xR(n)=6(na)crR(n)兀(na)IN为了满足线性相位条件：h(n)=h(N1n)要求a满足a=-2(3)N必须取奇数。因为N为偶数时(情况2),H(ej巧=0,不能实现高通。3-20使用频率取样设计法

16、(第一种形式取样)设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已次口o=0.5兀,N=51oc2兀解：理想低通0到0.5兀和1.5兀到2兀处幅度函数为1,其余为0。采样频率间隔为N込，o的位置在0.5冗“2冗51)=12.7，即k=12和k=13之间，其对称点位置是51c(Nk)，即k=(5113)=38和k=(51-=39之间。对理想低通采样，可得1,0k12,39k500,13k38第一类FIRDF的相位特性为兀k(N1)50=兀kN51综合幅度和相位，FIRDF的离散频域抽样值为H(k)=I0,50-ej51k,0k12,39k5013k381ejoNN1H(k)H(ejo)=为-N1Wkej

17、ok=0Ne-j25o51(m+1)2冗/Aro=643-22利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，设N=16,给定希望逼近滤波器的幅度采样为1，k=0,1,2,3H(k)=0.389,dg0，k=5,6,715-/冗k-/冗ken=e16k=0,1,2,3,13,14,15H(k)=0.389,adk=4,120,k=5,6,7,8,9,10,11h(n)=IDFTH(k)=d16k二0H(k)W-knRd1616(n)=11+e16-j16兀15兀ej8+e-j162兀ej8215兀15兀+e-j163兀ej83n+e-j164兀ej8415兀-j15兀j15n+e16e8dg解：有

18、希望逼近的滤波器幅度采样H(k)可构造出H(ejw)的H(k):兀15)兀15)13兀151+2cosn+2cosn+2cosn_82丿42丿_82丿116n=15耳15耳j13兀j13nj12兀j12e16e8+e16e815工j14兀j14n+e16e8+0.778cos阻带最小衰减接近-40dB。3-23一个IIR网络的差分方程为y(n)=y(n一1)+x(n)，当输入序列x(n)4时。(1)试求在无限精度运算下网络输出y(n),以及nTs时的输出稳态值。(2)当网络采用b=4位字长的定点运算时，尾数采取截尾处理，试计算0n20以内21点输出值y(n)。并求其稳态响应y(s)。解：(1)

19、由题中已知条件，可以得到该系统的系统函数数字信号处理学习拓展数字信号处理学习拓展3 3 因此y(n)=Y(z)=1X(zJz-141h(n)=(_)nu(n)41n1k乙(一)24k=011一(_)n+1421=1一(_)n+1342limy(n)=3nts(2)为了求y(n),n=1,2,20，我们首先求出y(n)，可以用下式进行迭代1y(n)=y(n一1)+x(n)4未量化则有：34151213652048TOC o 1-5 h z152185y(0)=,y(1)=,y(2)=,y(3)=,y2832128量化后，有y(0)=0.1000y=0.1010y(2)=y(3)=y=y(5)=y

20、(20)=0.1010可见其稳态响应值为y(s)=0.1010，所以实际实现时稳态值为0.625。3-24在用模型表示数字滤波器中舍入和截尾效应时，把量化变量表示y(n)=Qx(n)=x(n)+e(n)，式中Q表示舍入或截尾操作，e(n)表示量化误差。在适当的假定条件下，可以假设e(n)是白噪声序列，即Ee(n)e(n+m)=o25(m)。舍入x误差的一阶概率分别是如题3-24(a)图所示的均匀分布，截尾误差是如题3-24(b)图所示的均匀分布。题3-24图（1）求输入噪声的均值和方差。（2）求截尾噪声的均值和方差。解：（1）舍入噪声的均值m和方差o2分别为：eeAm=Ee(n)=J2e-p(

21、e,n)dee七en21=J2eA七21e2de=A2A2A2A1Ao2=E(e(n)一m)2=J2e2(n)-p(e,n)de=J2e2deeeAenAA22A212（2）用相似的方法可以求得，截尾噪声的均值m和方差o2分别为eem=Ee(n)=Je-p(e,n)de=J0ede=eAenAAo2eE(e(n)-m)2=E(e2(n)-2me(n)+m2eee=E(e2(n)-m2e=J0e2(n)-penAA(e,n)de-(-)220e2deAAA2123-25因果LTI系统有系统函数为1H（z）=-1一0.08z-1+0.96z-2该系统稳定吗？若对系统系数小数点后第二位按“四舍五入”

22、舍入，所得系统是稳定的吗？解：matlab演示程序如下：%系统稳定性演示程序%设a,b分别是系统的零点极点系数%设z,p,k为系统的零点，极点和增益系数a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%求系统的零点极点z,p,k=tf2zp(a,b)；%画出系统的零点极点图figure(1)zplane(a,b);%系统系数经过四舍五入a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%对小数后第二位四舍五入后零点极点系数a1,b1temp_a=a*10;temp_b=b*10;a1=round(temp_a)/10;b1=round(temp_b)/10;%求系统的零点极点z,p,k=tf2zp(

23、a1,b1)；%画出系统的零点极点图figure(2)zplane(a1,b1);程序结果显示：原系统极点为：z=0.0400+0.9790i,z=0.0400-0.9790i12经过四舍五入之后：z=0.0500+0.9987i,z=0.0500-0.9987i12极点零点如题3-25图所示，原系统两极点在单位圆内，系统稳定。当系统经过四舍五入，系统极点位于单位圆上，系统处于非稳定的临界状态。ryaam10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-11111、/121111-1-0.50RealPart0.51题3-25(a)图RealPart题3-25(b)图3-26理想离

24、散时间Hilbert变换器是一个对0兀引入-90。相移，而对-兀0引入+90相移的系统，其频响幅度为常量(单位1)，这类系统也称为90移相器(1)试举出一个理想离散时间Hilbert变换器的理想频率响应H(e冋，并画出该系统d在兀K的相位响应曲线。可用哪类FIR线性相位系统来逼近(1)中的理想Hilbert变换器？假设用窗函数法设计一个逼近理想Hilbert变换器的线性相位系统，若FIR是当nM时，h(n)=0，试利用中给出的H(ed)求理想脉冲响应ddh(n)。d当M=21时该系统的延迟是多少？若采用矩形窗，试画出在这种情况下的FIR逼近的频率响应之幅度曲线。解：,、一j,0nH(eT)=j

25、,一兀0只能用IUW型FIR去进行逼近，因为h(n)必然是奇对称的。(H(e/)是虚奇对称的)h(n)一jejrondn一jejrondn2兀-k2兀02sin2(兀n/2)0-,n丰0一kn0,n一0(4)当M-21时，系统的延迟为M一10.5个样本，采用矩形窗的FIR逼近频响幅度,2相位曲线如题3-26图所示。补充一个采用21点(M-20)，B-2.63的Kaiser窗设计结果，以便与(3)中所得结果进行比较。c12sin2k(n一n)/2Ip(1(nn)/n2)2-2丄,0nMh(n)一彳0ddkn一nd0,其它M一20，p一2.63%320clearall;closeall;M=21;n1=0:M;hl=(nl-(M/2)*pi