概率论与数理统计几种重要的分布

1、第四章 几种重要的分布4.1 二项分布4.2 超几何分布4.3 泊松分布4.4 指数分布4.6 正态分布一、两点分布 2、数字特征1、定义4.1 二项分布二、二项分布1、定义2、数字特征例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天内用水量正常的天数的分布。解：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二项分布，n=6, p=0.75。利用二项分布公式计算X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780解：X服从二项分布，n=10, p=0.2。利用二项分布公式计算例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概

2、率为0.2。求同时停车数目X的分布。X012345678910P0.110.270.300.200.090.030.010.000.000.000.00例4、 一批产品的废品率为0.03，进行20次重复抽样（有放回）。求出现废品的频率为0.1的概率。解：X表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20, p=0.03。利用二项分布公式计算3、二项分布的最可能值例5、某批产品有80的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值k，并用贝努利公式验证。解：一等品数X服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4，所以k=3,4时PX=k最大。X01234P0.0016

3、0.02560.15360.40960.4096n很大时，频率为概率的可能最大证明：例6、某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为 60的概率。例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数的取整误差服从-0.5,0.5上的均匀分布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。例1：某班有学生20名，其中5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。例2：某班有学生20名，其中3名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。4.2 超

4、几何分布1、定义2、数字特征3、超几何分布与二项分布的关系证明：例3、一大批种子的发芽率为90，从中任取10粒，求(1)播种后恰好有8粒发芽的概率。(2)播种后不少于8粒发芽的概率。解 设X为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。但是N很大，n=10项对于N很小，可以认为X近似服从二项分布B（10，0.9）。 几何分布1、定义 在无穷次贝努利试验中，事件 A 首次发生时所需要的试验次数X的分布。2、数字特征3、无记忆性证明：例1、 ( 离散随机等待时间) 每张彩票中奖概率 0.01，某人每次只买一张。(1) 他买到第 k张才中奖的概率，(2) 买了 8 张都没有中奖的概率。解. 买到第一

5、张中奖彩票需要的次数 X G (0.01 ) 1、定义2、数字特征4.3 Poisson (泊松) 分布3、泊松分布与二项分布的关系定理说明，对于成功率为p的n重贝努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功的次数X近似服从参数 的泊松分布。 例1、X服从poisson分布，EX=5，查表求P(X=2)，P(X=5)， P(X=20)。一般当 n 20 ，p 0.05 时可以近似计算例2、检查了100个零件上的疵点数，结果如表。用poisson分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。疵点数0123456频:=140+271+262+203+74+35+36)/

6、100=2疵点数0123456频率0.140.270.260.20.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0361例3、一袋重量为500克的种子约10000粒，假设该袋种子的发芽率为98.5%，从中任取100粒进行试验，计算恰好有1粒没有发芽的概率。解1：设100粒中未发芽的种子有X粒，服从超几何分布。N10000，N19850，n100，由于N很大，n100相对于N很小，X可用二项分布近似计算解2：n100，p=0.015很小，X可用poisson分布近似计算例4、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分

7、布。据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1/2。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解:设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数。要求泊松分布的参数。由题意，4、Poisson分布的最可能值超几何分布二项分布泊松分布超几何分布、二项分布、泊松分布的关系X 0 1pk1- p p只有两个互逆结果的 n 次独立重复试验 (n+1)p 二项分布的逼近式无穷次伯努利试验中A首次发生的试验次数对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布在一定时间内出现在给定区域的随机质点的个数一、均匀分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 1、定义可描述在某区间上具有等

8、可能结果的随机试验 4.4 指数分布2、分布函数3、数字特征二、指数分布 1、定义定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为其中 0为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布， 记为 Xe( ). 可描述两次事件发生的时间间隔2、分布函数3、数字特征例1、某元件寿命X服从参数为1/1000的指数分布。三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率。各元件寿命相互独立。因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为 。4、无记忆性若 X e(),则证明：命题故又把指数分布称为“永远年轻”的分布解 X e(0. 05), (1) P(10 X 20) 例2、 从某项寿命试验的数据中知，寿命 X

9、 服从参数为0.05 的指数分布，(1) 求 P(10 80|X 50); 事件 X 80X 50， P(X 80|X 50) 即有 - 0.05 x x ) x ) 0.1 , 则 x 取值应在什么范围内？1、定义定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 则称 X 服从参数为 和 的正态分布，其中 - 0 为常数， 记为 XN( , 2 ). 4.6 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布。自然界大量的随机现象近似服从正态，如： 测量误差，生物特征数据，农作物的产量，工业产品的质量指标，气象数据等等； 一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素的影响，每一个因素所起的作用又很小，则这个数量指

10、标就近似服从正态分布。 概率论中的很多重要分布都与正态分布有关。(1) 密度函数关于 x = 对称；(2) 图形在x轴上方且密度函数在 x = 处达到最大值； 两头小，中间大大多数现象的正常状态，即极端的总是少数。正态分布密度函数的重要性质(3) 密度函数在 x = 处有拐点；(4) x轴是密度函数的水平渐近线；(5) 是位置参数， 是形状参数 如果固定 而改变 ，密度函数位置改变，沿 ox 轴平移，但是形状不变； 反之，如果固定 而改变 ，密度函数的位置不改变，但形状将随 的增加而变平坦，随 的减小而变陡峭 。 说明固定 时，对于同样长度的区间，当参数 越大时，X 落在这个区间里的概率将越小

11、，而当参数 越小时，X 落在这个区间里的概率将越大。2、数字特征= 2. 3、分布函数4、标准正态分布5、一般正态分布与标准正态分布的关系证明：定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 只需查标准正态分布的分布表，就可以解决正态分布的概率计算问题.例4、设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6).解解一：解二 图解法0.2由图知0.3例6 (3 原理)解一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小由3 原理知，例7、 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米)，问要进行

12、多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9 ?解：设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米。n 3故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.1、定义2、数字特征3、特殊情形证明：二元正态分布两个重要的连续型随机变量的分布描述在某区间上具有等可能结果的随机试验 描述影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素独立，但每个因素所起作用不大的随机试验描述电子产品或动物寿命的分布, 各种随机服务系统的服务时间、等待时间等 X 在区间(a, b)上取值, 且取值在(a, b)中任意小区间内的概率仅与小区间的长度成正比随机变量 X分布函数离散型连续型 分布列 密度函数 复习其图形是右连续的阶梯曲线 其图形是连续曲线 f (x) 常见的分布离散型连续型两点分布、二项分布、泊松分布超几何分布、几何分布x p(x)0 f (x)x0 特征非负 规范 至此，