“用高中数学BASIC编程,解力学疑难问题”-“旋转球在空气中做斜抛运动的精确偏离轨道”

1、“用高中数学BASIC编程，解力学疑难问题旋转球在空气中做斜抛运动的精确偏离轨道”(5)(5)(6)(7)【摘要】旋转球在空气中做斜抛运动“一直没有得到 很好的解决.虽求得过若干近似轨道方程，但所做的近似假 设是否合理，精确度又如何，不得而知.本文重点研究用计 算机BASIC编程的方法探求旋转球在空气中做斜抛运动 的精确偏离轨道【关键词】旋转球做斜抛运动；BASIC编程；精确偏离轨 道;微分方程数值解本课题主要研究用计算机BASIC编程的方法求取旋转 球体在空气中做斜抛运动的精确偏离轨道，并对近似轨道 的可行性进行论证.之所以球体在空气中做斜抛运动时会偏离伽利略的理 想轨道，其根本原因，一是空

2、气的阻力，二是球体的旋转.不 失一般性,这里仅以足球(侧旋)为例，具体研究如下.一、基本原理简述(一)受空气压差阻力作用的斜抛运动足球在水平方向具有速度受到压差阻力了压二 CdAp ；的作用，根据牛顿第二定律，其运动微分方程为3芳=-/压，解此方程:t,得小球受空气压差阻力作用下的轨道方程V:U = * e+! - 1 - _e+! - 1 2. +9。!2+892!(二)马格努斯力对球体运动轨道的横向偏离作用小球在压差阻力和马格努斯力的共同作用下应做变速 圆周运动，圆周运动半径在不断改变.0图0图12因为(=3* (马=2p,V!T3).2令 C1 = 2p!；，贝U 3 = C1 TOC

3、o 1-5 h z 55又因为dS = 5d(,dS _ dS dt _dtd(dt d(9 d(，d( 9_ C1,dt 53 ，t(= $C1 dt = C1 t. 33 0假设，受空气阻力影响很小，则,=,。(初始角设+ =号/，代入初始条件:0 = 0，9 =9$!得C。所以解得:9=因为 9! = J! dt = $9C24(dt.(8)因为Fx = vFt则t! = /1 +砚X0)，+90 x 因理想斜抛运动竖直方向位移方程为Z = 90Q0 -号(1)(2)(3)(4)由公式(9)( 14) 6 = / W124 (捋 t )dt.同样因为 7 = $9dt = $94in(d

4、t.所以7=/W 蛔捋t )dt-(9)(10)(11)此时若能将公式(9)( 11)积分,即可求得小球在时刻t的水平位移x和横向偏移距离或消去参数t得到小球运动的偏移方程公式(2)( 4)两者即构成轨道参数方程.消去时间参数 但事实上，因积分(9) (11)中的被积函数比较复杂，无Next tNext t法求得解析解.有多种方法可探求此微分方程的近似解.例如，假设马 格努斯力不变，球体做圆周运动；假设马格努斯力垂直于！ 轴等.但这些假设是否合理，所得的近似方程精确度如何, 不得而知.Print sx = sxPrint sy = ; sy ;打印这十五个点的横坐标与纵坐标 sx = 0 :

5、sy = 0Next i二、用计算机编程探求旋转球的精确偏离轨道End Sub(一)BASIC编程求微分方程的精确数值解在上节偏离轨道方程整个推演过程中，只有公式(9)、 (11)没有作近似假设.这里探讨用高中数学简单的BASIC 编程求取这两微分方程的精确数值解:根据牛顿-莱布尼兹定积分的定义，微分方程(9)表1偏离轨道上十五个点的横坐标与纵坐标:1. 7473.4375. 0896. 7028. 2779. 81411. 31212. 77214. 1940.02680.10510.23270.40740. 62720. 89011.19431. 5381. 919:15. 57816.

6、92418. 23219. 50220. 73421. 9422. 3362. 7873.27073. 7854. 32964. 908就是被积函数累加后取极限/( 0)-觑 3 (sin 旻)&.+0+0 0-0 1 + +09$!3这样，可在VB6. 0中编一个循环，中间用叠加语句，实现精确求解.例如，当足球以初速度9$ = 20 m/s,( = 20。,3 =14.6 S21飞出，在压差阻力和马格努斯力共同作用下，求小 球精确的横向偏离轨迹V:根据节1.1、1.2的推演计算，由公式(9)( 11)，BASIC编程如下:Private Sub Command1_Click()0 = 20:

7、 a = 20: w = 14. 6v0 x= v0* Cos( a*6.28/360);设置初始条件m=0. 45c1= 0. 010205;由节 1.1、1.2 算得 C，K，Tk=0.00567;输入原始数据Fori = 1 To 15;加外循环，要求均匀打印十五个点以及与近似轨道V的精确度比较(sketchpad打印)由于此BASIC程序中的各项参数都可以用INPUT语句 根据实际情况任意输入，所以它具有普遍性、通用性.且只 要减小步长+0的值,便可任意提高计算的精度.根据运动独立性原理，由公式(5)和BASIC程序V*即 可画出小球飞行的精确立体图.图3For t = 0 To i*

8、 1.396/15 Step 0.001;设置循环起点、终点和步长*tx = Cos( c1* w* t/m) * 0.001 /( 1/v0 x + k* t/m);定义x为被积函数(9)与*t的乘积 y = Sin( c1* w* t/m) * 0.001 /( 1/v0 x + k* t/m);定义y为被积函数(11)与*t的乘积 sx = sx K x;将每次循环所得的x进行累加Sy = sy K y;将每次循环所得的y进行累加(二)近似偏离轨道方程的可行性论证若将马格努斯力近似看作为“不变的向心力”处理，可 得近似轨道方程7 = C* - !l*2 _X2.( 12)若把马格努斯力近

9、似假设成“始终垂直于06轴”，可得 近似轨道方程V2:7 = + (+:- 1) e+： + 1.( 13)在同一初始条件下(9$ = 20 m/s,( = 20度,，= 14. 6 S2)，在图2中绘制偏离轨道：V!: 7 = 56. 78 - J3224 - !2,V2: 7 = 111 - (0. 0126! - 1) e00126! + 1.按最大水平距离22. 78计算，近似方法1,V1的偏离距离为4. 769 m,V*为5. 217,相 对误差小于8. 59%.近似方法2,V2的偏离距离为5. 498 m,V*为5. 217,相 对误差小于5. 39%.此结果证明，近似偏离轨道方程V1，V2可用，误差在6% 9% 内.六、结论本文创建了使用BASIC编程描绘“旋转球在空气中 做斜抛运动的精确轨道”V*的新方法.论证了当球体在同时受压差阻力及