初中数学知识的压缩与高效学习研讨

1、初中数学知识的压缩与高效学习的探索与思考湖北省黄石市第十七中学 赵小平（435000）关键词：知识压缩 压缩模型 高效学习 引言：北京21中的孙维刚老师曾经带过两届实验班，在初中三年就学习完了整个中学（包括高中内容）的数学课程，生活中，平时我们也看到学习能力强的学生可以短时间内掌握较多较深的知识，而且能力也非常强，这些现象让我思考：能否把初中的数学知识进行加工处理，压缩成学生可以接受的模块，让学生快速高效地掌握所需知识呢？通过网络，百度与搜狐后，笔者发现，对知识的压缩这个问题，目前还没有看到这方面的研究及成果，因此提出来，以期引起同仁的注意。正文：一、数学知识是可以压缩的 一个现实的例子是：在

2、初一数学学习中，我曾在多届学生中发现，许多学习主动的学生能把解一元一次方程的五个步骤：第一步、去分母，第二步、去括号，第三步、移项，第四步、合并同类项，第五步、化系数为1。如方程：可以运用心算来压缩步骤，很快心算得出结果。如果不是复杂形式的一元一次方程更是不用动笔，就可以心算出解来。如：5（x-1）-3(2x+7)=9x-32。由此可见，学生的思维达到一定程度是可以演算过程进行压缩。在代数学习中这样的例子还有许多的，如：分式的运算，有的学生要写非常长的步骤，还不能准确地算出答案，而有的学生赠心算就可以得出正确结果来。北京师范大学的曹才瀚教授曾经总结：代数知识实质上一种模式操作型的知识，这种操作

3、是在代数概念的性质、法则或公式隐性指导下，以分步骤、程序化来完成，达到最终形式结果的。往往这样的程序化过程，初中学生凭借其思维能力是可以缩减或压缩的。 又如：在二次根式的教学中，最简二次根式是本章中最核心的概念，无论是二次根式的双重非负性、还是二次根式的性质=a （）= a = 再到同类二次根式、分母有理化（因式），再到二次根式的四则运算及其结果，都是要进行二次根式的化简。而二次根式的化简分为三种情形：一是根号内含有分母或小数的，二是因数指数高于2的，三是介于以上两种情况皆有，那么在时行本章教学时，如果紧紧抓住最简二次根式化简这个核心操作，可以压缩许多授课课时，很快完成本章知识的教学任务。 再

4、如在几何学习中，我们知道研究特殊平行四边形，基本思路是讨论图形的定义、图形的性质、图形的判定，而在图形的性质中主要是研究如下几个方面：一是对称性（是否为轴对称，中心对称此时还没有学习）二是边的性质，又分为邻边和对两种情形，三是角的的性质，也分为对角与邻角，四是对角线的性质。在这种思路下，大部分学生能很快全面掌握矩形、菱形、正方形这三种特殊平行四边形的定义、性质，图形的判定则是与性质互逆的知识，类似地进行反转，学生也可全面、有条理地掌握各种特殊平行四边形的判定定理。本质上，进行分析，其实是几何知识结构迁移，类比贯通。这种情况也发生在等腰三角形、等边三角形的学习中。 二、初中数学知识压缩的模型从以

5、上的分析中，我们至少可以提出三种知识的压缩模型：知识过程的压缩、知识容量压缩和知识结构压缩。是否还有其它模型，有待进一步探讨。一）过程压缩模型：即长度压缩，无论代数的演算还是几何中的推理，都是程序性或层次性的，必然存在着演算步骤和推理过程的长度，通过思维减少程序过程的长度就是过程压缩。例如：我们解二元一次方程组，通常运用代入和加减消元法，我们发现有的学生就能口算来压缩加减消元法的步骤，直接得出方程组的解。这是学生在熟练掌握加减消元法的基础上，对加减消元法程序过程的压缩。几何学习中也存在这样的压缩，如关于切线的判定问题，初中只存在两种情况：一种是直线到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，另一种是

6、经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。而且对应的辅助线是前者为：过圆心作垂线段，证明垂线段等于半径；后者是作半径，证明所需证明直线与所作半径垂直。这种问题解决过程就能压缩为要判定直线与圆的公共点或交点的存在性即可，没有交点或交点不明运用第一种情况；公共交点明确的必用第二种情况。二）容量压缩模型：即大小压缩，知识都是有容量大小的，把大容量的归化为小容量的，就是容量压缩。例如几何中的“垂径定理”及其推论有近六个结论，对应有六种符号形式，条件与结论频繁互换，学生掌握起来非常困难，也不好理解。分析这个六个结论内容实质是过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弧这四者之中，如果有两者成立，另两者也必定成立（也

7、有少量限制条件，如被平分的弦不能为直径），压缩为“二推二”，即可减少学生定理的记忆数量，达到掌握理解定理实质目的。三）结构压缩模型：即形式压缩，内容不同的知识往往有相同或相似的知识结构与形式，提炼出这些知识的结构形式外壳，通过迁移、类比、贯通到属于同种类型的知识学习中，这种压缩就是结构压缩。如代数中的知识结构形式多是从定义概念、性质、法则或公式再到法则与公式的应用来展开的，例如分式的知识结构：分式的意义、分式的性质、分式的变形、分式的四则运算，分式的运用等。几何知识的结构一般是从图形的定义、性质、判定、应用展开其结构。例如几何中，从知识结构压缩角度来看，无论是判定定理还是性质定理，虽然这两都之

8、间存在互逆性，其实其结构都是有共性的，除具备条件与结论之外，所有几何的定理，包括三个方面的内容：一是用中文表述的涵义，（文字型内容形式）二是典型的图形，（图形语言）三是符号，即表述为 、的符号形式，（符号语言），这样的压缩性认识可以统领几何所有定理。学生通过文字语言理解了图形和符号，才能运用图形和符号语言进行推理。以上对这三种压缩模型进行了简单地分析，当然是否恰当也有待同行进一步商榷。笔者认为非常有必要对初中数学知识体系进行全面的梳理，对它们加工处理，梳理出知识的压缩模块，我们知道初中学段的知识通常可分为有理数、实数、整式、分式、二次根式、方程与方程组、坐标与函数、直线形、圆、三角函数与解直角

9、三角形、统计与概率、综合实践等，这些内容可以全面地考虑进行压缩，提供给我们的学生高屋见邻的审视初中学段知识体系的一种新视角，达到减轻学生数学难度，提高效率的目的。对这个问题的研讨，笔者也在努力 之中，也期待同仁一起共同学习探讨。 三、知识压缩与高效学习现代认知心理学家奥苏伯尔认为学习过程是学生者主动构建、同化和迁移的过程。学习不仅包括知识的学习，无论有意义学习还是接受性学习，学习还包括学习策略的学习，知识的学习与能力的提升是两个互相促进的能共同提升的两种教育目标，一方面我们的数学教学要扩大学生的知识面，并在其中提升学生的学习能力，另一方面还要通过学生学习能力的提升来更快更高效地扩大学生的知识面

10、和能力思维层次，那么知识压缩的作用就在于：1、知识的压缩节省学习时间，提高学习效率。2、知识的压缩对老师来说，是对教材的创新加工处理，对学生来说是对知识观察的新视野，有利于学生形成系统的知识观。3、知识的压缩本身就是一种策略，有利于提升学生学习策略水平。高效课堂模式无论是江苏洋思的“三清”，还是山西太谷的“16字”导学案，还是其它地方的改革模式，除了对课堂组织形式进行了改变，强化了或者重视了学习中环境、主体、客体的积极作用因素外，归要结底，还是要回到知识本身的整理和能力培养上来。太谷模式最成功的是导案学案中要把知识问题化、具体化、层次化，而洋思模式中的“三清”中，必然要对知识的结构等进行审视，

11、从这个角度来说，知识压缩是直接对知识本身作一种利于学生学习接受的知识处理方式，归属于中科院张景中院士曾经提出的教育数学的内容范畴。知识压缩模型是本人在教学一线实践中总结得出的，是否科学合理还有待进一步实证。对教材的综合处理整合加工，是作为一线老师必备的基本技能，目前，把知识压缩运用在数学高效课堂教学中也只是一种尝试，还有许多方面的事情要深入探讨。参考文献：1、【苏】克鲁切茨基 中小学生数学能力心理学M教育科学出版社 1984年3月第一版2、井中 沛生 从数学教育到教育数学 M 四川教育出版社 1989年7月第一版3、王更生 汪安圣 认识心理学 M 北京大学出版社 1992年4月第一版4、邵瑞珍 皮连生 吴庆麟 教育心理学 M上海教育出版社 1997年6月第一版5、数学课程标准研制组 数学课程标准解读M 北京师范大学出版社2002年5月第一版6、霍力岩等著 多元智力理论与多元智力课程