大学物理学：Chap11-1-Oscillation中文版2013

1、Chapter 11 振动（ Oscillations）简谐振动简谐振动相位矢量（phasor）表示简谐振动的能量摆动 阻尼振动；驱动的阻尼振动与共振振动的叠加振动 运动形态往复运动若振动的位移的时间函数关系可以表示正弦或者余弦的函数关系的形式，我们称这种振动为简谐振动。11-1简谐振动（Simple Harmonic Oscillations )主要考虑一维运动一. 简谐振动的物理模型运动物体: 滑块-弹簧系统;原点: 弹簧的平衡位置弹簧的小幅振动遵循的力学规律:胡克定律牛顿运动定律:无摩擦的弹簧振子的运动此微分方程的解为: 简谐振动方程振动的性质:动力学: 设二. 简谐振动基本量描述 由系

2、统的性质所决定；振幅 xm (或A),初相角 则由振动的初始状态所决定。ii. 周期(Period) T,频率( Frequency) f and角频率或圆频率( Angular Frequency) :i. 振幅( Amplitude) xm or A (A 0):初始条件质点作周期运动的快照（snapshots）频率单位： 1 hertz = 1 Hz = 1 s-1T 和 f 称作系统的 本征周期和本征频率 (固有周期和固有频率.)iii. 位相和初位相对于一个振动系统，一旦振动的初始条件给定，整个振动的性质就已经给定。那么振动的状态 ( x & v) 就由 位相(t +o) phase

3、确定。 (o 是 t = 0时的位相 初位相) （a）两振动振幅不同（b）两振动周期不同（c）两振动初位相不同toT2Tx2x1xtoT2Tx2x1x任意时刻它们的位相差为: = 2k, (k=0,1, 2, 3), 两振动是同相的 (in phase); = (2k+1), (k=0,1, 2),振动是反相的 (out of phase );若有两个谐振动iv. 位相差(Phase difference)表明:振动2 超前于振动1否则振动2 滞后于振动1对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差.通常，超前与滞后以 的位相角(或 0 (沿正 x 方向)。试求: (1) 简谐振动的表达式; (2)

4、 t = T/4, x =? v =? and a=? (3)何时物体第一次通过平衡位置?解:例:(3) 第一次通过平衡位置的条件是 (1)即(2)势能:动能:or11-4 简谐振动的能量弹簧振子为例,振动过程中机械能守恒. 这一结论对于任何简谐系统都成立。讨论: 振动系统能量为常量由 E 给出A的另一方法:+A-A例：一质点从h高处落下掉在一可不计重量的盘秤上，盘秤弹簧的弹性系数为k。求盘秤系统振动的振幅。解:质点与盘秤是完全非弹性碰撞。在碰撞那一刻，质点的速度是h盘秤初位置x = 0 x盘秤新平衡位置x0AAx此时质点的动能为此能量转换为弹簧的弹性势能和质点新位置的重力势能：x此式解得不难

5、理解盘秤新平衡点的位置为所以，振动的振幅为h盘秤初位置x = 0 x盘秤新平衡位置xAAx11-5 摆单摆（质点m，摆长L，小角度的摆动）恢复力矩转动定理：小角度情况下,悬点单摆的圆频率单摆的周期：二. 物理摆 (复摆)物理摆的恢复力矩若讨论： 单摆和物理摆都可以用于简单测量重力加速度g。 单摆和物理摆在小角度运动时，与简谐振动具有相同的运动方程。因此也可以看做是简谐振动的形式。 从方程可以看出，对于物理摆，当转动惯量I = mhL 时，物理摆与摆长为 L的单摆具有相同的周期等特性。11-6 有阻尼的谐振动一. 有阻尼的谐振动“-”: 与运动方向相反阻尼力 通常与速度成比例b: 阻尼因子（da

6、mping constant ）其解可以证明为A ：弱阻尼情况：B：临界阻尼情况:C： 过阻尼情况:粒子的运动形态与参量有关非振动的临界阻尼过阻尼弱阻尼无阻尼二. 振动的能量与品质因数式子乘以dx/dt，可以改写为机械能 E功率第二项表明，功率永远是衰减的。为了描述这种能量的衰减，可以定义一个新的量品质因数（quality factor）即，一个周期内的平均能量与能量损耗的比值在弱阻尼，g 很小的情况下，上面积分近似等于其中用到（阻尼振荡频率）不难证明，这表明阻尼小，Q 值大，系统可以经历更长时间。11-7 受迫 振动与共振假定有周期驱动力:有阻尼的谐振动方程变为第一项在长时间后趋于零，故稳定

7、解为后一项解的形式为（齐次方程的通解与非齐次方程的特解）：振动的振幅与驱动频率有关 d ，当驱动频率趋近于系统的本征频率时，振动的振幅会变得很大实际上，对振幅求导，可得极值条件：(近共振)并不是严格的共振频率，严格的共振频率略小于系统的本征频率。例：对驱动阻尼谐振子的稳态，求其动能K、势能P和总机械能 E 的平均值。解： 稳定解的形式为总机械能的平均值由前面讨论已知所以，讨论： 可以看出机械能并不守恒，因为阻尼振动有能量损失。 平均动能的最大值的条件是由此可以给出即，当驱动频率等于自然频率时，平均动能的值最大。这一点与共振条件不同！共振频率为在弱阻尼情况下，若驱动频率 ，则对驱动频率的这种依赖

8、关系的函数称为Lorentz 线型（Lorentz line shape）。若定义变为Lorentz 线型函数的形式为半最大全宽度：是 的共振曲线的全宽度：若g 减小（增加）则共振曲线变窄（展宽）。对窄带频率做出响应的振子（ 小）将持续较长时间即此时，驱动力驱动的振子较长时间后达到稳定平衡态。xtoT2T合振动分振动1分振动2简谐振动是一种最简单最基本的振动,一切复杂的振动都可以看作是若干简谐振动的合成的结果。11-8 振动的叠加1. 同方向、同频率简谐运动的合成x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)合成振动仍然是以 为频率的振动.x = x1+ x2 x =A cos(

9、 t+ )即,其中f1f2f合振动的振幅决定于相位差 f2-f1： 若两种特殊情况:A=A1+A2两分振动同相, 叠加后相互增强。合振动振幅直接相加。f1f2fxtoT2T合成振动 若A=|A1-A2|两分振动反相,合振动相减弱。合振动的振幅为两振动振幅之差的绝对值。 一般情况,toT2T合成振动若A1=A2, 则 A=0 !但若 将变化，合振动甚至不是谐振动。2. 同方向不同频率两谐振动合成，和拍现象假定 A1 = A2 = A, 则12若特殊情况: 2 1, & 2- 1 2+ 1 随时间 t 慢变合振动可看作振幅缓变的简谐振动快变部分 振幅调制因子拍 现象 （Beat phenomeno

10、n）:合振动忽强忽弱的现象拍频f = fbeat 单位时间内强弱变化的次数。3. 两相互垂直简谐振动的合成消去参量 t, 可得椭圆方程. 质点运动的轨迹依赖于位相差 f2 - f1:(1) f2 - f1=0: yx(2) f2 - f1=p(3) f2 - f1=p/2If xm= ym= A,负斜率正斜率Lissajous Figures http:/chinesehtm/Lissajous.htm耦合振动 、振动链、振动膜 试研究之Assignments: P11T1， T2，T3，T4，T5. T6Reference:葛国勤主编大学物理探究式学习教程，上海交通大学出版社Walter Greiner Classical Mechanics Springer；H. J. Pain THE PHYSICS OF VIB