材料力学第七章应力和应变分析-强度理论

1、应力状态的概念二向和三向应力状态的实例二向应力状态分析-解析法二向应力状态分析-n图解法三向应力状态广义胡克定律四种常用强度理论莫尔强度理论第七章 应力和应变分析强度理论27. 1 应力状态概述1 问题的提出 低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢的拉伸实验 铸铁的拉伸实验问题：为什么低碳钢拉伸时会出现 45 滑移线？3 低碳钢和铸铁的扭转实验 低碳钢的扭转实验 铸铁的扭转实验问题：为什么铸铁扭转时会沿 45 螺旋面断开？所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。 横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。横力弯曲2 应力的三个重要概

2、念 直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。 直杆拉伸 应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。3 一点应力状态的描述 单元体 单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量； 单元体的特点 单元体的每一个面上，应力均匀分布； 单元体中相互平行的两个面上，应力相同。4 主应力及应力状态的分类主单元体:各侧面上切应力均为零的单元体312231主平面: 切应力为零的截面主应力: 主面上的正应力12 说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规

3、定按代数值大小的顺序来排列, 即3应力状态的分类 1.空间应力状态 :三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零2.平面应力状态: 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零3.单向应力状态: 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零312231221111例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体. 54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333alSF例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态单元体 xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213pDyz 薄壁圆筒的横截面面积pDnn（1

4、）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn7. 2 二向和三向应力状态的实例1 二向应力状态的实例分析薄壁圆筒受内压时的应力状态直径平面（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象pyFNFNd可以看出：轴向应力 是环向应力的一半。对于薄壁圆筒，有：所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。2 三向应力状态的实例 滚珠轴承例 3 (书例7.1)已知：蒸汽锅炉，t=10mm, D=1m, p=3MPa 。解：求：三个主应力。前面已得到20例 4 (书例7.2)已知：球形容器，t , D, p 。解：求：容器壁内的应力。取研究对象如图。与薄壁圆

5、筒的情况类似，有：所以：7. 3 二向应力状态分析 解析法 一、应力状态分析在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。 二向应力状态的表示 切应力的下标作用面的法线切应力的方向 正负号规定 正应力拉为正压为负23 切应力使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。 截面的方向角由x正向逆时针转到截面的外法线n的正向的角为正;反之为负。yx平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yxxxyzyxyyxxyxyyx二、斜截面上的应力1.截面法 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象xyax

6、xyxxyefnefaxxyyxyn 设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为dAsinefaxxyyxynefadAdAsindAcos2.任意斜截面上的应力 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得t利用三角函数公式并注意到 化简得 正应力的不变量截面上的正应力为: +90 截面上的正应力为:任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.三、最大正应力及方位确定正应力极值设0 时，上式值为零，即即0 时，切应力为零 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：1 2 3四

7、、最大切应力及方位1.最大切应力的方位 令 1 和 1+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.2.最大切应力 将1和 1+90代入公式 得到max和min 比较和可见试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。例题5：一点处的平面应力状态如图所示。 已知解：（1） 斜面上的应力（2）主应力、主平面主平面的方位：代入 表达式可知主应力 方向：主应力 方向：（3）主应力单元体：38例 6 (书例7.4)已知： 圆轴受扭转。解：求：应力状态及分析铸铁件受扭时的破坏现象。 最大切应力 取单元体ABCD纯切应力状态 主应力

8、主方向或40 主应力 主方向或 主应力排序 铸铁件破坏现象例 7 (书例7.5)已知: A点应力 = -70MPa, = 50MPa。解：求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。 A点单元体 取x轴向上为正 主应力 主方向或44单向拉伸 其它几点的应力状态单向压缩纯剪切主拉应力1迹线 主应力迹线主压应力3迹线 7-4 平面应力状态分析-图解法一、莫尔圆 将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得 因为x ,y ,xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆. 1.圆心的坐标 2

9、.圆的半径 此圆习惯上称为 应力圆,或称为莫尔圆 （1）建 - 坐标系,选定比例尺二、应力圆作法1.步骤xyxxyxxyyyDxyO （2）量取OA= xAD = xy得D点xyxxyxxyxAOB= y （3）量取BD= yx得D点yByxD （4）连接 DD两点的直线与 轴相交于C 点 （5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C （1）该圆的圆心C点到 坐标原点的 距离为 （2）该圆半径为DxyOxAyByxDC2.证明应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系(1) 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力;(2) 基准相当D点和x

10、面是基准;(3) 转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；(4) 角度成双半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。三、应力圆的应用 1.求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.DxyOxAyByxDC20FE2xyaxxyxxyefn 证明： （1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说 明AB （2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2OCBA2.求主应力数值和主平面位置（1）主应力数值 A1 和

11、 B1 两点为与主平面对应的点,其横坐标 为主应力 1,2 12DxyOxAyByxDC20FE2B1A120DxyOxAyByxDC12A1B1（2）主平面方位 由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到 1对应的主平面的外法线 0 确定后,1 对应的主平面方位即确定3.求最大切应力 G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力 20DxyOxAyByxDC12A1B1G1G2 因为最大、最小切应力等于应力圆的半径sxsxADtsodacxyy45xbeBE 单向应力状态的应力圆245245BEsatatasaxytsodacbe245245sxsx

12、BEotstta (0,t )d(0,-t )ADbec245245satsatBE 纯切应力状态的应力圆例 8 (书例7.6)已知：x =80MPa, y =-40MPa, xy = -60MPa,yx = 60MPa 。解：求：用应力圆求主应力和主方向作应力圆:由D点由D点画出应力圆62 圆心坐标 半径 主平面从D点(x轴)逆时针转45至A1点，E由几何关系O例题9 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = -1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa , （1）绘出相应的应力圆 （2）确定此单元体在 =30和 =-40两斜面上的

13、应力.xyxy解: （1） 画应力圆 量取OA= x= - 1 , AD = xy= - 0.2,定出 D点;ACB OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点. (-1,-0.2)DD(-0.4,0.2) 以DD为直径绘出的圆即为应力圆. 将半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 30斜截面上的应力。（2）确定 = 30斜截面上的应力E60（3）确定 = - 40斜截面上的应力 将半径 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力.F80ADCBOD 3040 403030= - 0.

14、36MPa30= - 0.68MPa40= - 0.26MPa-40= - 0.95MPa例题10 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中.试绘出截面C上a , b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kNm解:（1）首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 Mmax = MC = 80 kNm FSmax =FC左 = 200 kN250KN1.6m2mABC12015152709zab（2）横截面 C上a 点的应力为 a点的单元体如图所示axxxyyx 由 x , xy

15、定出D 点由y , yx 定出D点 以DD为直径作应力圆OC（3）做应力圆 x =122.5MPa, xy =64.6MPa y=0, xy =-64.6MPaAB(122.5 , 64.6)D(0 , - 64.6)DA113A2 A1,A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力1 和3 A1 点对应于单元体上 1所在的主平面 axxxyyx01312015152709zab（4）横截面 C上b点的应力 b点的单元体如图所示bxx b 点的三个主应力为 1所在的主平面就是 x 平面, 即梁的横截面Cbxx(136.5 , 0)D(0 , 0)D1 已知受力物体内某一点处三个主应力1, 2

16、, 3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力7-5 三向应力状态分析31223113 首先研究与其中一个主平面 （例如主应力3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力122 用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象21 主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力 , 与3 无关, 只由主应力1 , 2 决定 与3 垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示123321 该应力圆上的点对应于与3 垂直的所有斜截面上的应力 A1O2B 与主应力 2 所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用

17、由1 ,3作出的应力圆上的点来表示C3 与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力 , 可用由2 ,3作出的应力圆上的点来表示 该截面上应力 和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内 abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc12123A1O2BC3结论 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力 该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标1A1O2BC3 最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与 2 所在的主平面垂直,并与1和3所在的主平面成45角.例题11 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求

18、出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解: 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z 无关, 依据 x截面和y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa 由 x , xy 定出 D 点由 y , yx 定出 D 点 以 DD为直径作应力圆 A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1 和 3 A1A2DODC13 1 =46MPa 3 =-26MPa 该单元体的三个主应力 1 =46MPa 2 =20MPa 3 =-26MPa 根据上述主应力，作出三个应力圆817. 6 位移与应变分量 任一方向的应变比较7.

19、7 平面应变状态分析82 主要结论 主应变方向与主应力方向相同 主应变 e1、e2、e3与主应力 s1、s2、s3一一对应 与应力圆类似，存在应变圆，与应力圆有相同的特点，不同点是g 的坐标有系数 1/21. 基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律 7-8 广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法=+可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。用叠加原理的条件：(1) 各向同性材料；(2) 小变形；(3) 变形在线弹性范围内。 在 x ,y ,z同时存在时, x 方向的线应变x为 同理,在 x ,y ,z同时存在时, y ,

20、 z 方向的线应变为 在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为上式称为广义胡克定律 沿x,y,z轴的线应变 在xy,yz,zx面上的角应变 对于平面应力状态 （假设z = 0,xz= 0,yz= 0）xyzxyxyyxxyxyyx3.主应力-主应变的关系 二向应力状态下 设 3 = 0 已知 1,2,3; 1,2,3为主应变从前三式中可解出三个主应力二、各向同性材料的体积应变123a1a2a3 构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用q表示. 各向同性材料在三向应力状态下的体应变 如图所示的单元体,三个边长为 dx , dy , dz 变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为dx(1+,dy

21、(1+2 ,dz(1+3 V1=dx(1+ dy(1+2 dz(1+3 体积应变为1.纯剪切应力状态下的体积应变 即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.三向等值应力单元体的体积应变 三个主应力为 单元体的体积应变mmm 这两个单元体的体积应变相同mmm123dxdydz 单元体的三个主应变为 如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的. 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变 x ,y ,z 有关,仿照上述推导有

22、在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关.例 12 已知: 受扭圆轴，d, E, , 测得 45 。解：求：外加扭矩的值。在测点取单元体 纯切应力状态切应力为要求出45方向的应变，需先求出 45方向的应力。45方向为主应力方向由广义胡克定律 测扭矩的方法例13 (书例7.9)已知: 孔: d1=50.01mm柱: d2=50mm, P=300kN, 钢块不变形。E=200GPa, =0.3。解：求：圆柱的主应力。 柱受到的压应力径向的应变由广义胡克定律可得圆柱的主应力为： 7-9 复杂应力状态的应变能密度一

23、、应变能密度的定义二、应变能密度的计算公式 1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为 物体在单位体积内所积蓄的应变能. 将广义胡克定律代入上式, 经整理得 用vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度 用vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为应变能密度v等于两部分之和(a)1 2 3(b)m m m=(1+ 2+ 3)/3代之以m 图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变. 图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体

24、积改变而无形状改变.图 b 所示单元体的体积改变比能密度a单元体的比能为a所示单元体的体积改变比能 空间应力状态下单元体的 畸变能密度(a)1 2 3例 14 (书例7.10)已知: 纯剪切应力状态。解：求：导出E, G, 之间的关系。第3章已求出纯剪切时 用本节公式求纯剪时的应变能纯剪切时（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）杆件基本变形下的强度条件7-10 四种常用强度理论满足是否强度就没有问题了？ （2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的试验结果建立

25、的强度条件. 上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态; 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的. 根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.强度理论的概念引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直

26、于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论 (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 构件危险点的最大拉应力 极限拉应力，由单拉实验测得 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。 断裂条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么

27、应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。 构件危险点的最大伸长线应变 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件即 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。3. 最大切应力理论（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力 极限切应力，由单向拉伸实验测得屈服条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性： 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。最大切应力理论（第三强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。4. 形状改变比能理论（第四强度理论） 构件危险点的形状改变比能 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得屈服条件强度条件形状改变比能理论（第四强度理论）实验表明：