方差协方差矩阵中文翻译

1、第二部分：投资组合模型：计算方差-协方差矩阵10.1 本章概述 要计算有效投资组合，必须要计算收益数据的方差-协方差矩阵。本章中，我们将在EXCEL中实现这个计算。其中最显而易见的是计算样本的方差协方差矩阵。这是直接由历史收益计算而得来的矩阵。我们介绍几种计算方差-协方差的方法，包括在电子表格中使用超额收益矩阵直接计算。 即使样本的方差-协方差矩阵看起来像一个明显的选择，但我们用大量的文字说明它也许不是方差和协方差最好的估计。样本的方差协方差矩阵有两个明显的缺陷：一是它常使用不现实的参数，二是它难以用于预测。这些将在10.5和10.6中讨论。作为样本矩阵的替换，第10.9和第10.10节将讨论

2、用于优化方差协方差阵估计得压缩方法。10.2 计算样本的方差-协方差矩阵 假设我们有N个资产在M期上的收益数据。我们可以将资产i在时间t的收益写为rit。资产i的平均收益写为。那么资产i和资产j收益协方差的计算就为 这些协方差的矩阵为样本的方差-协方差矩阵。我们的问题就是要有效地计算这些协方差。定义超额收益矩阵为：A的每一列减去每项资产的平均收益，该矩阵的转置为AT乘以A再除以M-1得到样本的方差-协方差矩阵 考虑到计算方面，我们使用股票数N=6，年数M=11的年收益数据，下面的电子表记录了价格数据（股利调整后）及计算出的收益。 我们用数字例子来说明计算方差-协方差矩阵的矩阵方法。我们通过减去

3、资产各自的平均收益，得到超额收益矩阵（下面的表格中42到52行）在第55-61行中我们计算样本方差-协方差矩阵。10.2.1一个稍微更有效率的替代方法 正如你所期望的那样，的确存在其他计算方差-协方差矩阵的可选方法。这里讲的方法跳过了超额收益的计算，并且直接使用单元格B71:B76中的公式进行计算。他通过使用数组函数=MMULT(TRANSPOSE(B23:G33-B35:G35),B23:G33-B35:G35)/10.通过写B23:G33-B35,我们直接将每项收益减去平均收益得到超额收益向量。10.3我们应该是除以M还是M-1?EXCEL与统计量 在前面的计算中，我们是除以M-1而不是M

4、，一次得到无偏的方差-协方差估计。不过这个选择似乎没有多大的影响。我们引用主流教材:对于为什么除以M-1取代M这儿有一段很长的历史。如果你在计算一个分布的方差时，这个分布存在已知的先验的均值，而不需要从历史数据估计的时候，那么M-1应该变回M EXCEL本身某些程度上除以M-1还是M这个问题上也是很混乱的。在下面的表格中我们介绍了几种计算均值，方差，标准差和协方差的方法。 EXCEL区分总体方差（Varp, 除以M），样本方差（Var,除以M-1)，以及总体和样本标准差（分别为Stdevp和Stdev).但是EXCEL并没有在协方差函数中作此区别。你可以看到单元格B30中Covar除以M，和V

5、ARP 一样。如果你想得到一个相应的除以M-1的协方差函数，那么你得像单元格B33那样用COVAR乘以M/M-1,或者你需要使用像单元格B32那样的数组函数=MMULT(TRANSPOSE(B3:B13-B16),C3:C13-C16)/10，如果EXCEL是完全合理的，他应该有两个函数：covarp,它除以M，以及covar,它除以M-1（对应VAR或STDEV) 困惑了吗？没关系！正如本部分开始的教科书引用指出的那样，他不是一个至关重要的问题。 10.4 计算全局最小方差投资组合 方差-协方差矩阵两个最突出的作用是用于寻找全局最小方差投资组合（GMVP)和有效投资组合。这两种方法均揭示了使

6、用样本数据所产生的问题，第10.7-10.10节为我们做了必要的介绍，讨论替代样本方差-协方差矩阵的方法，本节中我们讨论GMVP。 假设我们有N个资产，它有方差-协方差矩阵S。GMVP即在所有可行的投资组合中拥有最小方差的投资组合.最小方差投资组合定义为： 这个公式是由MERTON提出的。最小方差投资组合特别吸引人的地方在于它是有效前沿上的唯一的投资组合，计算时不需要资产的期望收益，该最小方差投资组合的均值和方差分别为以下是这些公式在特定例子中的实施。 应注意，以上6只股票的GMVP包含两个空头（BA和MSFT）且在GE及IBM上有一个非常大的正向头寸。这是一个潜在的不主张使用样本方差-协方差

7、矩阵计算GMVP的例子，一个寻找最小方差的投资者是不会将77%的BA和10%的MSFT的卖空所得资金，投放到投资组合的61%的GE和100%的IBM上去的。这些用样本方差-协方差矩阵计算产生的不合理的投资组合使得我们必须寻找各种其他方法来计算该矩阵，它们将在第10.7-10.9节中讨论。但在进入这些主题之前，我们还是先讨论有效投资组合的计算。10.5计算相关系数矩阵 在接下来的电子表格中我们给出了相关系数矩阵。在调查期内，最大的相关系数（通用汽车公司和波音公司）之间为0.89，检查该矩阵显示 一些非常大且不像真实的相关系数，有6个相关系数大于0.5.这是难以置信的，最小的相关系数（波音公司和家

8、乐氏公司）为-0.1，这也许也是个问题，当波音公司的收益上升时，谷类食品销量会下降？10.7样本方差-协方差矩阵的替代方法：单指数模型 样本方差协方差矩阵很容易由历史数据计算得到，但是正如上一节所讨论那样一-它有它自身的问题。特别的，样本方差-协方差矩阵会使预测GMVP变得异常困难，而且用它优化投资组合常会导致不合理的资产头寸（多头和空头都有）。在本节和下一节中，我们将用几种使用样本矩阵的替代方法，这些方法有两个共同的特征： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 它们不需要考虑方差-它们将从样本方差中计算而得。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 它们改变该方差-协方差矩

9、阵的协方差元素。10.7.1 单指数模型(市场模型） 单指数模型（SIM）的初衷为试图简化计算方差-协方差矩阵计算的复杂性。模型的基本假定是每个资产的收益是市场指数x上的线性回归： 这里和之间的相关系数为0.根据这个假定，很容易建立下面两个式子： 本质上SIM假设包含在协方差估计中的变化，而并非样本方差。我们用我们的6投资组合例子来说明，并在第7例中增加一列标普500指数。每个资产收益对标普指数500投资组合作回归，我们在第20行得到值，见下面表格： 使用EXCEL中的数组函数，我们可以计算SIM方差-协方差函数。这个数组函数需要被单独提取出来：它包含了一个IF函数，我们知道它包含三个部分：I

10、F（codition,answer if conditon is ture,answer if conditon is false).条件B24：G24=A25:A30表示在行向量B24:G24的“跨越输入”是和列向量A25:A30的输入相等。为了让大家更清楚地看到这个条件，我们在下面的电子表格中插入了公式，可以发现它生成了一个对角线上为1，而其余为0 的电子表格： 首先，在我们的SIM方差协方差矩阵中的第一次IF条件为IF(B24:G24=A25:A30,B18:G18.)这说明了假如我们在对角线上，我们应该放在资产的收益方差中。其次，IF条件说明当不在对角线上，我们应该输入MMULT(TR

11、ANSPOSE(B20:G20),B20:G20)*H18)公式TRANSPOSE(B20:G20),B20:G20)生成一个矩阵，该公式用的方差乘以该矩阵，在H列给出。10.8 收缩方法 收缩方法是假设方差协方差矩阵是样本协方差矩阵与其他矩阵的凸集。在下面的例子中“其他矩阵”是一个仅有方差的对角阵，其余元素为0，该收缩估计的（单元格B20） 目前很少理论涉及怎么选择合适的收缩估计。我们建议选择一个收缩因子使得GMVP所有权数均为正。10.10 方差协方差矩阵的替代方法：对最小方差投资组合和最优投资组合的影响本章给出了不同计算方差-协方差矩阵的方法样本方差-协方差单指数模型3.收缩方法我们如何

12、比较这些可选方法呢？在本节中用两个例子来说明：首先分别用四种方法计算最小方差投资组合然后分别用四种方法计算最有投资组合10.10.1 用样本方差-协方差计算最小方差投资组合正如其名，全局最小方差投资组合是可选择的所有投资组合中给出的最低方差的那一个。如第10.5所讲的，计算GMVP的公式为这里的S为投资组合的方差-协方差矩阵，而1则为全为1的列向量在下面的电子表格中，我们将用6只股票的数据，使用样本方差-协方差矩阵计算GMVPGMVP的平均收益为12.73%（单元格F17），标准差为7.73%(单元格F19)下面有一个更为简洁的计算方法：这是一个更简洁的方法，它借用了数组函数来计算1的向量10.10.2 用替代方差-协方差矩阵的方法计算GMVP 在本节中我们用另外三种计算方差-协方差的方法来重