第20届希望杯初二第2试试题

1、资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边的圆括号内）1篆刻是中国独到的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的收效，此印章是以下选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分）A。B。C。D。2若是xy1，那么代数式y1y的值是（）x1xA0B正数C负数D非负数图13将x的整数部分记为x，x的小数部分记为x，易知xxx0 x1若x3535，

2、那么x等于（）A-2B-1C0D14某种产品由甲、乙、丙三种元件构成依照图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）数量505040302020甲乙丙种类1名工人1小时生产某种元件的数量组装一件成品需要的元件的数量A120，180，60B108，144，108-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除C90，180，90D72，216，725面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（）A20B28C36D406Intherectangularcoordinates，ab

3、scissaandordinateoftheintersectionpointofthelinesyxkandykx2areintegersforintegerk，thenthenumberofthepossiblevaluesofkis（）A4B5C6D7（英汉词典：abscissa横坐标，ordinate纵坐标，intersectionpoint交点，integer整数）7将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，获取四张小纸片，如图3所示用这四张小纸片必然可拼成一个（）A梯形B矩形C菱形D平行四边形x4mx10，4，则（）8若不等式组1m的解集是xxAm9Bm529Dm5Cm29如图4所

4、示，四边形ABCD中，AC90，ABC60，AD4，CD10，则BD的长等于（）图3A4D10A413B83BCC12D103图410任何一个正整数n都能够写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解npq(pq)可称为正整数n的最正确分解，并规定F(n)p.如：q12=112=26=34，则F(12)34-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除则以下结论F(2)1；2F(24)3；8若n是一个完满平方数，则F(n)1；若n是一个完满立方数，即na3（a是正整数），则F(n)1中，正确的结论有（）aA4个B3个C2个D1个二、填空题11

5、将一根钢筋锯成a段，需要b分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c段（a，b，c都是大于1的自然数），需要分钟（用a，b，c表示）12给机器人下一个指令s，As0，0A180，它将完成以下动作：先在原地向左旋转角度A；再朝它面对的方向沿直线行走s个单位长度的距离现以机器人站立的地址为坐标原点，取它面对的方向为x轴的正方向，取它的左侧为y轴的正方向要想让机器人搬动到点（-5，5）处，应下指令：13已知实数x，y，z满足xyzxyz，则xyz=_或x1y2z3314已知实数x，y满足2x3y4，并且x0，y1，则xy的最年支出/元l2大值是，最小值是l115汽车燃油价税费改革从2009年元旦起推行：取消养

6、路费，同1440时汽油花销税每升提高08元若某车一年的养路费是1440元，m年行驶里程/千米图5百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的l1、l2所示，则l1与l2的交点的横坐标m（不考虑除养路费和燃油-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除费以外的其他花销）16Givenf(x)32cxd，ifwhenxtakesthevalueofitsinversenumber，theaxbxcorrespondingvalueoff(x)isalsotheinversenumber，andf(2)=0，thencd（英汉词典：i

7、nversenumber相反数）ab178人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和同样，那么第二名得分18若正整数a，abab1=2009成立，则b使等式a2Aa，bCS1S219如图6所示，长为2的三条线段AA，BB，CC交于O点，并BBO且BOACOBAOC60，则三个三角形的面积的和S3ACS1S2S3_3（填“”、“=”或“”）图620已知正整数x，y满足2x49y2，则x，y=三、解答题（每题都要写出计算过程）21在分母小于15的最简分数中，求不等于2但与2最凑近的那个分数5522如图7哀兵必胜示，一次函数y3x3的图像

8、与x轴、yy轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作BRtABC，且使ABC30P30C求ABC的面积；OAx图7若是在第二象限内有一点Pm，3，2试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当APB与ABC面积相等时m的值；-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除可否存在使QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明原由23点A(4，0)，B(0，3)与点C构成边长分别是3，4，5的直角三角形，若是点C在反比率函数kyx的图像上，求k可能取的所有值参照答案一、选择题题号12345678910答案

9、DCABBADCAC提示1印章在纸上盖出的收效与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180后，将与左侧的收效重合应选D2由于xy1，因此x0，x10，xy0，则y1yxyxxyyxy，x1xx(x1)x(x01)即该代数式的值是负数，选C523由于35625151，222因此5151221.41，x222因此x2，选A-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除4为使生产效率最高，在同样的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，因此生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是5:4:

10、2，5324，144，108应选B即1:1，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是10835设矩形的边长分别是a，b，对角线的长是c，则a222bc已知矩形的面积是ab48324，a，b都是整数，不如设ab，则a，b可能是（1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入a2b2c2，只有当a6，b8时，c才是整数10，其他情况获取的c的值都不是整数因此，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B6译文：在直角坐标系中，对于整数k，直线yxk与ykx2的交点的横坐标、纵坐标都是整数，则k的可能值的个数是（）A4B5C6D7解yxk，联立程kx2.y将代入得x

11、(1k)k2显然1k0，于是有xk213，1k1k则当1k3或1时，x的值是整数，此时y的值也是整数即当k4，2，0，2时，满足条件，选A137如图9所示，由于原四边形的内角和是360，因此经过旋转，能够将原四边形的四个极点拼在一个点上，四张小纸片等长的边拼接在一起，恰可拼成一个新的四边形由于原四边形的两组对边的1434图9中点连线互相均分（按次连接各边中点，由中位线定理可知，所得到的四边形是平行四边形，它的对角线互相均分），因此新四边形的两组对边分别相等，新四边形是-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除一个平行四边形应选D解不等式组中的两个不等式：解x

12、4mx10，得x2m5解x1m，得xm1由于不等式组的解集是x4，2m54，因此必定是成立且其中最少有一个等号成立14若2m54，则m9，且m9使得m14成立；22若m14，则m5，当m5时，2m54不成立，因此m5不适合原不等式组综上得，当m9时，原不等式组的解集是x4，选C29如图10所示，延长BC交AD的延长线于EA4D在RtABE中，10E90ABC30，因此BE2ABBCE图10在RtAEB中，BE2AB22AB2AB2242，解得AB2192在RtADB中，BDAB2AD2=19242413，选A10由于2=12，因此F(2)1，正确；2由于241242123846，因此F(24)

13、42，错误；63若n是一个完满平方数，设na2，则aF(n)1，正确；a-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除若n是一个完满立方数，F(n)可能不等于1，a如64=388，F(64)1，错误应选C4二、填空题题号11121314151617181920bc154答案a1，22500-41256；75；952135；23提示11将钢筋锯成a段，要锯a1次，锯1次所用的时间是b分钟a1现将钢筋锯成c段，要锯c1次，需要bc1a分钟112如图11所示，设点P的坐标是（-5，5），连接OP，y从P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，NPN5由于OM5，ON5

14、，M因此OPOM2ON252，-5O5x且xOP135，因此，给机器人下的指令是52，13513设xyzt，则a1y2z3xt，y2t，z3t，1t1t1txyz6t，1t又xyzt，3即xyz3t，-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除因此6t3t，1t整理得t630，t1则t0或6301t即t0或t1，因此xyz0或xyz314由于2x3y4因此xy14y2由此式可知，当y变大，xy随之变大由于y最大是1，于是14y最大是5，则xy的最大值是5，222此时x7，吻合题意2又x0，2x43y，因此当x0时，y的值最小，y的最小值是y4，此时，xy获取最

15、小值43315若1年养路费是1440元，那么，“费改税”后，相当于1年省出了1440元，依照1升油增加花销08元计算，就相当于花销汽油14400.81800（升）若百行米耗油8升，相当于一年行驶了1800810022500（千米）因此图中l1和l2的交点的横坐标是m2250016译文：已知f(x)ax3bx2cxd，若是当x取相反数时，f(x)对应的值也是相反数，并且f(2)0，则cdab解x的相反数是x，由题目的条件得3b2cxdaxx=-ax3bx2cxd，-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除获取2bx22d0 x分别取0和1，获取2d0，2b2d

16、0，解得bd0由f(2)0，得8a2c0因此c4，cd4aab17由于是循环赛，因此最后4名棋手互相之间要赛6场，不论胜败情况如何，每场比赛两人得分的和都是2分，即最后4名棋手得分的和最少是12分，因此第二名最少得12分又第二名要进行7场比赛，他不能够全胜得14分，否则他是第一名，同样他也不能够得13分，否则他的成绩是6胜1平，其中平局必然是与第一名对阵的结果，这样他们两个将并列第一名，不是第二名综上可得第二名只能得12分由题设等式，得abab1，2009a20092别的，由于b1，可得abab1abab12009a2ab2abab1=2由和，知abab1abab1220092设abk，k2，

17、k也是正整数，则上式即kk1k(k1)，19532009201622因此取ab63，则6362，a200920091953562-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除b6356719如图12所示，将COB沿BB方向平移2到RPB的地址，再将CAO沿AA方向平移2到QRA的地址，则OQP恰好是一个等边三角形，且边长为2由于SABOSBCOSCAOSOQPSARB，Q并且SOQP323，42ACSABOSBCOSCAO3R因此S2S120由于x，y是正整数，2x是偶数，BPOB由xx49y2知y2是奇数，S3AC因此y必然是奇数，图12又2xy249y7y7

18、，因此y7与y7都是2的整数次幂，令y72k，y72m，则两式相加得2y2k2m2k12mk，则y2k112mk由于y是奇数，因此只能是k10，即k1，yk79，2x2得x5代入249y三、解答题设所求的最简分数是，(m，n)1，n0mn，n15，m25m2n则5，n5n-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除由于m2，且m，n是正整数，n5因此5m2n1当5m2n1时，有5m2n1当m2时，n5或5m2n1当m2时，n5因此m2n1或m2n155由m是整数，知2n1或2n1(n15)是5的倍数要使m21最小，则n应最大n55n由2n1或2n1(n15)是

19、5的倍数，知n最大取13，对应的m5，此时m21n5652）当5m2n1时由于n15，m，n是正整数，因此m25m2n5211n55n143565综上可知，m2的最小值是1，此时对应的m5，n13，故5是最凑近2，但分母小于15的n565135最简分数22依题意，函数y3x3的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，当y0时，x1；当x0时，y3，因此点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是（0，3），于是ABOA2OB22RtABC中，ABC30，AB2-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除设ABx，则BC2x，由勾股定理，得x2x22x2，得x24，x2333因此AC23，SABC1ABAC23323（2）