线性代数课件：5-3 正定二次型

1、第五章 二次曲面与二次型 5.2 二次型 5.3 正定二次型 5.1 二次曲面5.3 正定二次型 一、正定二次型的概念 三、其它类型的二次型 二、正定二次型的判别法 四、小结 定义5.3 设 f (x1, x2, , xn) 是 n 元实二次型, 如果对于任何不全为零的实数 c1, c2, , cn , 都有 f (c1, c2, , cn) 0,则称实二次型 f (x1, x2, , xn)是正定的.例如,是正定二次型. 一、正定二次型的概念 但是,不是正定二次型. n 元实二次型的规范形正定的充要条件是 p n . 二、正定二次型的判别法 如果有可逆变换 x Cy 化实二次型 f (x1,

2、 x2, , xn) 为 g (y1, y2, , yn), 则 f (x1, x2, , xn) 正定 g (y1, y2, , yn) 正定, 即, 可逆线性变换不改变二次型的正定性. 根据上述两个结论, 我们有 定理5.5 n 元实二次型 f (x1, x2, , xn) 是正定的充要 条件是它的正惯性指数等于 n . 若实二次型 xTAx 正定, 则称实对称矩阵 A 是正定的. 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. 推论 正定矩阵的行列式大于零. 实对称矩阵的正特征值的个数就是其正惯性指数, 因此由定理5.5可得定理5.6 实对称矩阵 A 是正定的充要条件是它的特征 值全为正数

3、.定理5.7 实二次型 是正定二次型的当且仅当 A 的顺序主子式全为正数. 条件等价: 2) 正惯性指数为 n，即规范形为3) A的所有特征值为正数;定理5.8 对于实二次型 f (x1, x2, , xn) xTAx, 下列1) f (x1, x2, , xn)是正定的;4) 存在 n 阶可逆矩阵 C，使得5) 存在 n 阶可逆矩阵 C，使得6) A的各阶顺序主子式都大于零.例5.5 判断下列实二次型是否正定: 例5.6 当参数 t 为何值时, 下面实二次型是正定的: 当 t 4 时, 求二次型在正交变换下的标准形. 例5.7 设 A 是实对称矩阵, 证明 A2 4A 5E 正定. 例5.8

4、 设 A 为m 阶正定矩阵, B 为 mn 实矩阵, 试证: BTAB 为正定矩阵当且仅当 rank B n . 如果都有 f (c1, c2, , cn) 0,则称实二次型 f (x1, x2, , xn)是负定的; 定义5.4 设 f (x1, x2, , xn) 是 n 元实二次型, 如果对于任何不全为零的实数 c1, c2, , cn , 都有 f (c1, c2, , cn) 0,则称实二次型 f (x1, x2, , xn)是半正定的;三、其它类型的二次型 除了正定二次型, 还有一些其它类型的二次型. 如果都有 f (c1, c2, , cn) 0,则称实二次型 f (x1, x2

5、, , xn)是半负定的; 若实二次型既非半正定亦非半负定, 则称该二次型是不定的. 对于实二次型 f (x1, x2, , xn) xTAx, 易知 xTAx 负定 xTAx 正定, xTAx 半负定 xTAx 半正定. 因此, 只需对正定、半正定二次型(矩阵)进行讨论. 下面给出关于半正定二次型(矩阵)的几个结论. 定理5.9 设 f (x1, x2, , xn) xTAx, 则下列条件等价: (1) f (x1, x2, , xn) 是半正定的;(2) f 的正惯性指数与秩相等, 即 f 的规范形为 (3) A的所有特征值非负; (4) 存在可逆矩阵 C, 使得 (4) 存在 n 阶方阵

6、 C, 使得 A CTC ;(5) A 的所有主子式皆为非负数. 注 所有顺序主子式非负不能保证半正定性. 例如 是半负定的. 列条件等价: 2) 负惯性指数为 n，即规范形为3) A的所有特征值为负数;定理5.10 对于实二次型 f (x1, x2, , xn) xTAx, 下1) f (x1, x2, , xn)是负定的;4) 存在 n 阶可逆矩阵 C，使得5) 存在 n 阶可逆矩阵 C，使得6) A的顺序主子式奇数阶为负, 偶数阶为正.例5.9 设n元实函数 f (x1, x2, xn)在点P0(a1,a2, an)邻域内有连续的二阶偏导数, 且 P0 是驻点, 给出判断 点 P0 是极值点的充分条件. 四、小结 1. 正定二次型的概念