六年级奥数约数与倍数(三)学生版

1、2 2 5-4-3. 数倍三教学目 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认,例如）数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关； （ 2 ） 整 唯一 解定理 ：让 学生自 己 步领悟 任一 数 字都以 表示 为 eq oac(,) eq oac(,) eq oac(,)的结构而且表达形式唯”知识点一、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数在正整数范围内约数又叫整数 能整数 整, 叫 b 的数b 就做 约数；(2)公约数:果一个整数同时是几个整数的约称这个整数为它们“约；(3)最大公约数：公约数中最大的个就是最大公约数； 被除在约数与倍数之外1 最大公约数的方法解因法

2、先分解质因然把相同的因数连乘起来例如： , 252 2 ,以 (231,252) 21 218 除：找出所有共有的约,然后相乘例如： 所以 (12,18) ；3 转除：一次都用除数和余数相能够整除的那个余数就是所求的最大公约 数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数 得 一个余数；再用第一个余数除小的一个,第二个余数；又用第二个余数除第一个余,得 第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余,直到余数是 0 为那么最后一个除 数就是所求的最大公约数(果最后的除数是 那么原来的两个数是互质)例如 求 600 和 1515 的大公约数： 1515 ； 600 285

3、 ； 285 15 所以 1515 和 的最大公约数是 152 大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约,得的几个商是互质数；几个数的公约数,是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数 n ,所的积的最大公约数等于这个数的最大公约数乘以 / 3 一组分数的最大公约数先把带分数化成假分其他分数不变求出各分数的分母的最小公倍数 求出各个分数的分子的最大公约数 ；ba即为所求4 数、公约数最大公约数的关系（1约数是对一个数说的；（2公约数是最大公约数的约,大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数一个整数能够被另一整数这个整数就是另整数的倍数公数:在个或两个以上的自然数中

4、如它们有相同的倍数 ,那么这些倍数就叫做 它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的个称为这些正整数的最小公倍数。1. 求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如： , 252 2 所以 ； 短除法求最小公倍数；218 例如： 3 所 36 ； b a ( a )2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关则它们的最大公约数是其中较小的,最小公倍数是较大的数 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数求出各个分数分子的最小公倍数 求各个分数分的最 3 3,5 15大公约数 b ； 即所求例如： 4 12

5、 (4,12) 4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整,最小公倍数可以是整例如： 4 , 3 4 数、公倍数、最小公倍数的关系（1倍数是对一个数说的；（2最小公倍数是公倍数的约,倍数是最小公倍数的倍数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 / 3 23 3 33 23 3 3 两自数别以们的大约所的互。如果 m 为 A 的大公约数 , A ma mb ,那么 、 质 所以 A 、 的最小公 倍数为 mab ,所以最大公约数与最小公倍数有下一些基本关系： ma mb 即两个数的最大公约与最小公倍数之积等于这两个数的 积；最大公约数是 A 、 B 、 A 及小倍数的约数 两数最公和小公的积于两数乘

6、。即 ( b , ,性质比较简单学生比较容易掌握。 对任 个续自数如果个续的偶为)奇奇那么三数乘等这个的小倍例如： 5 210 就是 的最小公倍数b偶偶那么三数乘等这个最公数的 2 倍例如： 336 而 6,7,8 的小公倍数为 336 性质3不是一个常见考,但是也比较有助于学生理解最小倍数与数字乘积之间的 大小关系即几个数最小公倍数一不会比他们的乘积。四、求约数个数与所有约数的和1 任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数将每个质因数的指数次数加 1 后 所得的乘积。如 严 格 分 解 质 因 数 之 为 2 , 所 以 它 的 约 数 有 (3+1)(2+1) (1+1

7、)=432=24 个(括 1 1400 本)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难,课时应重点讲,公式的推导过程是建 立在开篇讲过的数字 “ 唯分解定理 ” 式基础之上 合乘法原理推导出来的 ,是很复杂 建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推 ,有相当一部分常考的偏难题型考察的 就是对这个公式的逆用 ,即先告诉一个数有多少个约数 ,然后再结合其他几个条件将原数 “还 原构造出来,或者是构造出可能的最值。2 任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数,它的每个质因数依次从 1 加至 这个质因数的最高次幂求和 , 然再将这些得到的和相乘 ,积便是这个合数的所有约数的

8、 和。如： ,以 所约数的和为(1 23 2 7) 74880此公式没有第一个公式常用 推过程相对复杂 ,需许多步提取公因式 ,建议帮助学生 找规律性的记忆即可。例题精模块一、运用大公约和小公倍的模型解题如果 为 A 、 的大公约,据模型知道： / （1且 mb（2那么 、b 质（3所以 、 B 的大公约数为 最公倍数为 mab（4最大公约数与最小公倍数的成绩为 A 与 的绩【 1】 数 36,甲、两最大约是 4,小倍是 288,那乙是少【固 已知 、B 两数的小倍是 最公数 30,若 =90,则 B。【 2】 知个然的为 240,最公数 60,求这个【 3】 个然的是 50,它的大约是 5,

9、试这个数差【固 两个自数和 它们最公数 25,试求这个【 4】 知数最公数 21,小倍是 求这个的是少 / 【固 已知两自数最公数 4,最小倍为 120,这个【 5】 、两自数最公数是 并甲除乙所的是 11 数 8【 6】 知整 、 之为 120,它们最公数其大约数 105 倍,那 、 b 较的是少【 7】 知个然的为 它的小倍数最公数差 114,求这个 自数【 8】 两自数它们和于 它们最公数最小倍之等 这个然的是 【 9】 知然 A、 满足下 2 个质）、B 不互（2）、B 的最大约 数最公数和 35。那 +B 的最小是少 / 【 】 两个数 、 的最公数 C最公数 D并且知 C 不等 1

10、,也不 于 A 或 C=187,那 A+ 等于少【 】 若 b 是个不等大 的然且 + b + = 1155 ,则们最 公数最值 最公数最值 ,最小倍 的大为 模块二、约数的个数与约数的和【 】 的数（ ）。【固 2008006共有 )个质数 （） （B (C)6 (【固 的数有个【固 已知 300=22355,则 300 一有个同约。 / 【 】 筐中 个果将它全都出,分成数使每的数同。问有 多种法【 】 数 的约数多个这些数和多少?【 】 2008 , b 均自数 a 有种同取【固 2010 除以整 ,余数 15,那么 N 的所可值个是 。【 】 自然 N 有 个约。N 的最值 。【固 自

11、然数 有 20 个正数 N 最值 。【固 恰有2 个数最自然是 ）。 （） （B） （C） （）432 / 【 】 设 A 有 个不的数 共 个不同约,C 共 8 个不的数这个 数的何个不除则这个之的小是少【 】 在 1 到 100 中好 6 个约的有少？【固 恰有 个约数两数_个【固 在三位中恰有 个数数多个【 】 能被 2145 整除恰 2145 个数数个【固 能被 210 整且有 210 个约的有个【固 1001 的倍中共有个恰 1001 个数 / 【固 如果一自数 倍恰 2004 个数这个然自最有少约数【 】 已知数 A 不是 4 的整倍它的数个为 求 A 的数个.【 】 已知 、n 两个数是含因 和 5,们最公数 已知 有 12 约, n 有 个数 m 与 的和【 】 已知 A 数有 7 个数 数有 12 个数且 A、B 的最公数 则 【 】 一个然恰有 个约,那么最有个数个是 / 【 】