六年级下册奥数试题行程问题(二)全国通用

1、第 讲行程问题二）在四年级的教材中，我们已经对于相遇问题、追及问题、水流问题和车长及桥长等问题，进行 较为细致的研究。在这一讲中，我们将进一步就环行路上的行程问题以及多次相遇等问题进行究。 行程问题在小学的应用题中是变化最多的类型之一。对于行程问题的研究是小学综合运用知识决问 题的一个重要的内容。因为行程问题的变化可谓是丰富多彩，不仅在小学，而且在中学的数学物理 的学习中，也是极其重要的内容。一、环路上的行程题环行路上的行程问题，有着它独特的方面，由于环行的道路是封闭的，因此，环行路上的运动 计算行程时，通常与环行道路的周长有关。例 在 400 米环行跑道上A 两相距 100 米甲、乙两人分别

2、从 A、B 两同时出发， 按逆时针方向跑步。甲每秒跑 米，每秒跑 ，他们每人跑 100 米都要停 秒。求甲追上乙 需要多少秒？分：道题初看时，由于他们每人跑 100 米都要停 10 秒钟似乎不太好解决。但如果将二人 看成不停的跑，就很容易算出甲追上乙的时间，这时再考虑在这期间所停留的时间，问题的解就比 较简单了。解：果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需100（54（秒），甲在 100 秒中跑： 5100=500（），而甲在跑 100 米 米、300 、400 时共停留了 4 次，了 500 米处恰追 上乙。不必计算停留的时间。所以，甲追上乙所需的时间是100410=140（秒）说：跑到 米处时，正

3、好是乙跑完 400 米，并且休息 10 秒。当甲跑到时，乙恰好要出 发，他们两个在这一瞬间正好相遇。例 2 如，、B 是直径的两个端点，小华在点 A，明在点 ，他们同时出发，反向而行。 他们在 点一次相遇 点离 A 点 米在 D 点二次相遇D 点 点 80 米这个圆的周。分：一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起走了一圈，因此，从开始出 发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半。也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第次相 遇时合起来所走路程的 3 倍因，不难看出 AD 的距离是 AC 距的 倍所以再求圆周的长度比 较简单了。解：为 AC=100 米， 的长度是 AC 长度 3 倍

4、AD=AC3=1003=300米）半个圆的周长：300（）整个圆的周长：2202=440（米说：道题还可以从另一个角度进行考虑。由于 C 到 D 两人共走了一个圆周，由 、B 两 共走了半个圆周，所以CD 的度是 AC 长度 倍。因此，同样可以判断出AD 的离是 距离 倍。1例 如，沿边长为 90 米的方形，按逆时针的方向，甲从A 发，每分钟走 65 米，从 B 出发，每分钟走 72 米当乙第次追上甲时是在正方形的哪一条边上？分：是一道环行追及问题，这类问题可以先看成“直线”的追及问题，求出乙追上甲所用的 时间，再回到环行路上的追及问题，根据乙这段时间所走的路程，推算出应在正方形的哪一条上。解

5、：求追上甲时乙所用的时间：（7265）= （）再求这段时间乙所走的路程：72 = （）由于，正方形每边长 90 米因：=2）90这样不难看出，乙走的比 圈两条边还多 米所以，当乙第一次追上甲时，甲和乙应在正 方形的 AD 边上说：何将直线上的追及问题，与环行道路的特点相结合，是道题得以解决的关键。 二、有的多次相遇多次相遇的问题，在行程问题中，是一个比较复杂的问题，解决这类问题，要求同学们很熟悉 间、速度和路程这三类数量间的关系，很好的掌握它们的变化规律。例 4 下 3 点 15 分，讯员从营地骑自行车出发8 分后，由于要更改命令，连长骑摩托 车去追赶他，在离营地 4 千的地方追上了他，然后，

6、连长立即返回营地，回到营地后，由于情再 次发生了变化，连长立即回头再次追赶通讯员，再次追上他时，离营地恰好是 8 千，问：这时几 点几分？分：图中可以看出连长第一次追上通讯员立即返到第二次追上通讯员共走了 48=12 （千米），因此，骑摩托车的速度是骑自行车速度的 124=3（倍）。由此可知，通讯员每走1份 的路程，连长将走3”份的路程，这样确定通讯员的速度，以及确定第二次追上的时间，就比较易 了。2解：条件可知，骑摩托车的速度是骑自行车速度的 124=3倍）因此，从 点 23 分连长追上通讯员走了 4 千员走了 4千米此讯员前 8 分钟了 4 （千米从而可求出通讯员的速度是 8= （米）。因

7、此，进一步可求出通讯员走 8 千共用 8 =24 （分）。所以，第二次追上的时间是 1524=39（分），即 3 点 39 分说：道题目的解法比较多，但不论怎样变化，在相同时间内，度越快，所走的路程越多， 是不变的。这道题目的解答，恰好就是利用了这一变化规律。同时同学们不妨尝试着利用方程方法 解答这道题目，也是比较简单的。例 5 甲乙二人同时从 、B 两，相向而行，相遇后继续行进，到达目的地后，立即折返， 就这样不停的往返于两地之间，并且不断的相遇，第 8 次和 10 次相的地点相距 54 米已知，甲的速度是乙的速度的 ，么，、B 地的距离是多少米？分：道题目初看时，似乎缺少解决问题的条件，但

8、是通过甲的度是乙的速度的 ，不难看 出，当甲走 3 份程的时候，乙就走了 份的路程，因此（如图）不妨将全程看成 7 份，第一次遇 时，甲走了 3 份乙走了 4 份在这之后，甲和乙要想再次相遇，必须共同走完两个全程，需用第 一次相遇时间相同的 倍的遇间。在这期间，甲走了 3 份路程的 2 倍即 6 份的程。我们不妨 将路上的点（包括 A、B 两）左至右设定为 A、C、E、G、H 点而第一次相遇在 E ， 第二次相遇在 点，以次类推，很容易确定出第八次和第十次的相遇点的具体位置，从而使问题得 以解决。解：为，甲的速度是乙的速度的 ，此（如图）不妨将全看成 7 ，第一次相遇时，甲 走了 3 份，乙走

9、了 4 份将路上点（包括 A 两点）从左至右设定为 A、D、E、H 点， 由分析可推出第一次相遇点在 E第二次相遇点在 G第三次相遇点在 ；第四次相遇点在 B；第次 相遇点在 ；第六次相遇点在 G第七次相遇点在 ；第八次相遇点在 E；第九次相遇点在 G；第 10 次 相遇点在 C。由于第八次相遇点 E第十次相遇点在 ，E 和 C 相的是 2 份路程，而全程是 7 的路程，所以，A 两的距离 （）说：道题目充分的利用了时间一定，速度与路程的关系，值得意的是除了第一次相遇二人 是共同走完了一个全程第二相遇开始都是共同走完了两个全程特点是这道题解题的关键。三、合安排巧解行例 6 A、B、C 三人要从

10、甲地到乙地，步行速度都是小时 米，骑车速度都是每小时 20 千 米。现在只有一辆自行车，他们想了一个办法：先让 骑车走，同时 B、C 步； 骑了一段后，再换 步行而把车放在途中留给 B 接骑B 一段后再换步行而把车放在途中留给 C 接骑到乙。 这样，、B、C 三人恰好同时到乙地。已知甲地到乙地全长 12 千，那么，从甲地到乙地共用了多 少小时？分：道题人多车少，需要通过合理的安排搭配，才能使问题很的解决。根据题目的要求， 关键是要解决每人骑车和步行的路程。由于无论是骑车还是步行，三人的速度都相同，并且是时到 达，因此每人步行的路程一定相等，同样每人骑车的路程也相等。我们将全程看成 1 份由于三

11、骑 车和步行共行了 3 份的程，其三人骑车共行了 1 的路程，所以，三人步行共行了 2 份的程。那么每人行了全程的 ，此，问题的解决就比较简单了。3解：全程看成 1 份由于三人骑车和步行共行了 3 份的路程其中三人骑车共行了 1 份路程，所以，三人步行共行了 2 份路程。那么每人行了全程的 米）；骑车的路程为128=4千米）。，这样步行的路程为12 =8千所以，所用的时间为42085= （）。说：握骑车与步行的关系，是这道题研究的关键。由于合理地安排了骑车与步行的路程，使 问题很巧妙的得到了解决。阅读材料三余三国时有人就段文章该怎理解去教学者董遇董遇不肯接解答他“读 书百遍，其意自现。意思要认

12、真多读几遍，书中道理自就明白了。那人“我 没有那多时间啊”董遇说“用三余时间好”。那人又：“什是三余 时间”董遇答：“天是年余，夜晚是之余，雨是时之余”可见，要获得丰富的知识，就应该挤时间刻苦攻读。练习题1甲、乙二人相距 2000 米两同时从两地相向而行。甲分钟走 60 米乙每分钟走 40 米甲着 一只狗，同甲一起出发，狗每分钟走 100 ，碰到乙时狗立即调头往甲的方向走，碰到甲时又立即调 头向乙的方向走，如此继续往返，当甲和乙相遇时，这只狗一共走了多少米？分：于甲、乙二人在做相向运动的同时，狗在不停的运动，因此，甲、乙二人的相遇时间就 是狗运动的时间，由此，可求出狗所走的路程。解：、乙二人的

13、相遇时间是2000（4060）=20（分）所以，狗所走的路程是：10020=2000米）2甲用 45 秒绕一环行跑道跑圈，乙与甲同时从同地反向跑，每隔15 秒，甲相遇一次，乙完 一圈用多少秒？分：于乙与甲同时从同地反向跑，甲用 45 秒绕环行跑道一圈15 相遇时，二人共同 跑完一圈。乙 15 秒跑的路程就相当于甲 4515=30秒）所跑的路程，因此，二人的速度关系就比 较容易确定了。解：于同一段路程所用时间越少，速度越快，因此，乙的速度是甲的速度的：15） 15=2（倍），由此，可以判断出跑一圈所用的时间是甲的一半。所以，乙跑完一圈用：452=22.5 （秒）。说：理的转化问题，抓住甲、乙运动

14、中的关系，是这道题目“突破口”。3甲村、乙村相距 千，小华和小明分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达一 村后马上返回）。在出发后 40 分钟人第一次相遇，小明到达甲村后返回，在离甲村2 千的地方两 人第二次相遇。小华和小明的速度各是多少？分：为，两人第一次相遇时，共同走了 1 个全，到第二次遇时共同走了 个程，由于 第一次相遇用 40 分钟因此不求出两人第二次相遇所需的时间而一步可以求出小华所走的路 程，再解决两人的速度就不困难了。4解：为第一次相遇用 40 分钟，因此，从出发到第二次相遇所的时间是（ 时），又因为在离甲村 2 千的方两人第二次相遇，这时小华共走了622=10（千

15、米），明 共走了 2=8（千米），因此小华的速度是102=5千米时）；小明的速度是82=4（米 /时）。说从第一次相遇到第二次相遇二人共走 2 个全 个相时间是这道题解题的关键。 4一个圆的周长为 1.44 米两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行1 分钟后们 都调头而行，再过 3 分，它们调头爬行次按照 连续奇数）分钟数调头爬。 这两只蚂蚁每分钟分别爬 5.5 厘和 厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇？分：为圆的半周长是（）=72（米）。如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁 所需的相遇时间是：72（5.53.5）=8分）。然后再考虑往返的情况，如下表：经过时间（分） 向上半圆爬行的时间

16、 向下半圆爬行的时间113252729211 13 15 162122从表中不难看出，第 15 分后两只蚂蚁向下半圆爬行刚好都需要 8 分。由此，即可求出初次 相遇所需的时间。解：为圆的半周长是（）=72（米），如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁 所需的相遇时间是：72（5.53.5）=8分）。根据表格分析，它们初次相遇的时间是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（）说：用列表法进行分析，也是解决行程问题常用的手段。5绕湖一周是 24 千，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时 4 千米速度 每走 小后休息 分，小张每小时 6 千的速度每走 50 分后休息 10 分钟两人出

17、发后过 多长时间第一次相遇？分：据意以现 1 小 5 分王走 千米休息 分钟 1 小小张走 6 =5（千米），休息 分，而湖一周的长度是 24 千米很容易估算出两人相遇的时间应该在 多 小时。这样在两轮休息后不用休息两人就可以相遇。因此只要求出两轮休息后到相遇所用的时，就 可以使问题得以解决。解：第二轮休息时，也就是 2 小 10 分，王共走了 42=8千米），而小张走了 52+6 （米）。这时两人还相距211（米）。由于从此时到相遇已经不需要休息， 因此，共同走完这 5 千米两人需的时间是56（）=30（）。所以，他们第一次 相遇共需 小时 10 分30 分2 小 40 分。说：定所用时间在

18、 个多时是这道题研究的“突破口”。并且，在解题过程中要注意小张 1 小中只走了 50 分，因此 1 小时中他只走了 5 千米而不是 6 千米6一个圆周长 70 厘，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒 4 厘的速度不 停的爬行乙爬行了 15 厘米即反向爬行且速度增加 1 倍在离出发点 30 厘处与甲相遇， 问爬虫乙原来的速度是多少？分：据题意，甲共行了 70（米），所需的时间是 404=10秒）。在 10 秒乙按 原速爬了 15 厘米按 2 倍的度爬行了 （米），因此，不难求出乙原有的速度。解因为共行了 70（米的间是 秒 秒乙爬行 （厘米），假设0 秒乙是按原速爬行，可爬行1

19、5+452=37.5（米），所以，乙原有的速度是： 37.510=3.75（米秒。7甲、乙两人从相距 200 米的个地方同时相向而行，不停留的往返于两地之间，如果甲每分钟行 65 米乙每分钟行 70 米当两人第一次回到各自的出发地点时，甲行了多少米？分：据甲每分钟行 65 ，乙每分钟行 70 米，可以判断出两速度间的关系，同时因为两人 运动所用的时间相同两所行路程的关系与速度的关系完全相同即推出甲所行的路。5解：为6570= ，可以看出当甲行了 13 份的程时，乙就行了 14 份的路程，因此当甲 走了 13 个程时乙就走了 14 全程甲走了 （全程时乙同时走了 （） 全程。两人才各自回到出发的

20、地点，所以，甲走了 20026=5200（）。说：得注意的是，当甲走了 13 个程，乙走了 14 个程时，甲并没有回到出发的地点，要 想回到出发地，全程的个数必须是偶数个。8甲、乙两车分别从 A、B 两地时相向而行， 小时相遇在 C 点，如果甲车的速度不变，乙每 小时多行 千米且两车还是从 两地同时出发相向而行，则相遇地点 D 距点 C12 千，如果车 的速度不变，甲车每小时多行 5 千米，则相遇地点 E 距点 C16 米。甲车原来每小时行多少千米？分：中“如果甲车的速度不变，乙车每小时多行 5 千米与如果乙车的速度不变，甲车每 小时多行 千”，说明两次改后两车的速度和相同，因此，改变速度后，

21、从出发到相遇所需要的 时间相同。解：图，两次改变速度后，相遇地点相距 1612=28（千米）所以从出发到两车相遇的时 间为285=5.6（时）根据甲的速度不变 时行到 ，而 小只能行到点 D，差 12 千 米，所以甲车原速为12（65.6）=30千米）。说：改速后“速度和”相同，抓住这一特点，就能迅速简便的达到解题的目的，这就是我们 在分析问题中常提到的“变中抓不变”的思想。9乙两个班的学生同时从学出发去距学校 24 千米的某公园生的步行速度是每小时 5 千。 学校有一辆汽车，它的速度是每小时 35 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。问：两个班的学在 最短的时间内同时到达公园用多少时间？（上下车的时间忽略不计）分：想使两个班的同学在最短时间同时到达，就应该尽可能的利用汽车，就是汽车先载一个