高等数学微积分下分节习题册华南理工大学9

1、精选文档精选文档PAGEPAGE8精选文档PAGE1、求以下方程的通解1）y5y4y32x解：1）求y5y4y0的通解，解特点方程r25r40得，r11,r24，其通解为y%C1exC2e4x2）由于0不是特点根，因此原方程有形如y*axb的特解，代入原方程得：5a4axb32x比较系数得：a1,b1128111原方程通解为：yC1exC2e4xx282）2yyy2xe解：1）求2yyy0的通解，解特点方程2r2r10得，r11,r21，2%x1x其通解为C1eC2e2y2）由于1不是特点根，因此原方程有形如y*aex的特解，代入原方程得：2aex2ex比较系数得：a11x原方程通解为：yC1

2、exC2e2ex3）y3y2y3xex解：1）求y3y2y0的通解，解特点方程r23r20得，r11,r22，其通解为y%C1exC2e2x2）由于1是单特点根，因此原方程有形如y*xaxbex的特解，代入原方程得：2axb2aex3xex比较系数得：a3b3,2原方程通解为：yC1exC2e2xx3x3ex24）y4yxcosx解：1）求y4y0的通解，解特点方程r240得，r12i,r22i，其通解为y%C1cos2xC2sin2x2）由于q4,1,q2，因此原方程有形如y*axbcosxcxdsinx的特解，代入原方程得：3ax3b2ccosx3cx3d2asinxxcosx比较系数得：

3、a1,bc0,d239xcosx2sinx原方程通解为：yC1cos2xC2sin2x395）yysin2x解：原方程化为yysin2x11cos2x221）求yy0的通解，解特点方程r210得，r11,r21其通解为%xxyC1eC2e2）方程yy1明显有特解y1，由于q1,2,q2，方程22yy1cos2x有形如y*acos2x的特解，代入方程得：21cos2x5acos2x12比较系数得：a1011cosx原方程通解为：yC1exC2ex2102、求方程y4y4ye2x知足初值条件y00,y01的特解。解：1）求y4y4y0的通解，解特点方程r24r40得，r1r22其通解为%C1C2x

4、e2xy2）由于2是重特点根，因此原方程有形如y*dxdxe2x的特解y*x2e2x2原方程通解为：yC1C2xe2xx2e2x2yx212C2xC22C1e2x由初值条件得C10,C21所求特解为：yx2xe2x。23、已知二阶线性非齐次方程ypxyqxyfx的三个特解为y1x,y2exy3e2x是求方程知足初值条件y01,y03的特解。解：由于xex,exe2x是二阶线性齐次方程ypxyqxy0的两个线性没关的特解，因此ypxyqxy0的通解为y%C1xexC2exe2x二阶线性非齐次方程ypxyqxyfx的通解为yC1xexC2exe2xxyC11exC2ex2e2x1由初值条件可得C11,C22所求特解为y2e2xex4、设fxsinxxtftdt，此中fx连续，求fxx。0解：1）成立微分方程：fxsinxxtdtxtftdtf00 xf00fxcosxxtdtf01两边求导得：f0两边再求导得：fxsinxfx得初值问题yysinxy00,y012）解微分方程求yy0的通解，解特点方程r210得，r1i,r2i，其通解为y%C1cosxC2sinx由于p0,q1,1,q2，因此原方程有形如y*xacosxxbsinx的特解，把此特解形式代入原方程得2asinx2bcosxsinx比较系数得：a1,