人教版高一数学教案-平面向量基本定理

1、1 21 21 21 2课题教 教学基本信息学科数学学段： 高一年级高一教材姓名教学设计参与人员 单位联系方式设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点（1） 理解平面向量基本定理推导及其意义（2） 会运用平面向量基本定理解决简单的平面几何问题（3） 类比的研究问题的方法，数形结合的研究方法，转化化归的研究方.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习引入：问题 ：向量 ，12是同一平面内两个不共线的向量， 你能做向量 a ，得量 a=2e +3e 吗？问题 ：向量设向量 12是同一平面内两个引入共线的向量， 你做向量 a ，得向量 a=2 +3 吗？问题 ：们在

2、上一节学习了向量的运算，由向 量共线的充要条件得出：位于同一直线上的向量可以 由位于这条直线上的非零向量表示，类比这个结论， 平面内任意向量是否可以由同一平面内的两个向量表 示？通过上节课的学习，同学们知道了向量的线性运从学生熟悉的 物理背景引入向量 的分解，激发学生 学习的主动.算 1 1 2的结果是一个向量，那么，反之，平面内任一向量是否可以由同一平面内两个不共线的向量a OA， a OA， 表示呢？在物理课上，我们知道，已知两个力可以求出它 们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力，这种 分解通常不是唯一的事上，这种力的分解，就反 映出平面向量的关系这课我们从力的分解出发， 研究刻画平面

3、向量的关系追问 ：们通过做平行四边形，将力 F 两组大小方向不同的分力？分解为追问 ：力的分解的启发，我们能不能做平行 四边形，将向量 分为个向量，使得向量 a 是 两个向量的和呢？（探究分解的存在性，体会向量 的任意性）学生观察，思考，如图，设e e1 是同一平面内的两个不共线的向探究，尝试量， a 这一平面内与e e1 都不共线的向量在平面内任取一点 O ， ， OB ， 1 2a. 将 a 按 ，1 的方向分解，你有什么发现？因为e e1 不共线，若a与e e1 都不共线，过新课点 C 分作与 OA，OB 别平行的直线，结合向量的加法与数乘运算可知，存在实数1 2，使a 1e1+2e2追

4、问 3：变向量 的方向，因为e e1 不共线，若a与e e1 都不共线，过点 分作与 分1 1 别平行的直线，结合向量的加法与数乘运算可知，存在实数1 ，使=1e1+2e2追问 4-7 继改变向量 a 的向改两次） 如向量 a 是一平面内与e e1 中的某一个向量共线的非零向量，你能用 吗？是零向量呢？e e1 表示若 与 共，存在 1且 =0 使 1 2让学生探究思考交 e + 1 1 ；流，探究平面上是 不是每一个向量都若 与 共，存在 2 e + ； 1 1 1 ，且1=0使可以用形如 e 的向量1 1 来表示出在特别地，若 a = ，在 =e + .1 1 =01 ，使性）小结以上七种

5、形式：a e1aa2a3Oa4e2结论 （在性e e1 不共线时，平面内这种表示形式是唯 一的吗？任一向量 a 都能用向量 1 1+ e2 2表示（探究唯一性）问题 （究分解的唯一性）给定向量 都能用向量 1 1 + e2 2表示，这种表示形式是唯一的吗？ 假设这种表示不唯一，即还可以表示成向量 e + 1 1 2 的形式，那么1e + e + e 1 1 2，由向量e e1 不共1 21 1 2 21 21 1 2 2线，设法证明 = ， 1 12=2证出平面向量基本定理：如果e e1 是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一 对实数 ， ，向量 a e +

6、 e .基底向量的概念：如果e e1 是同一平面内的两个不共线向量，那么我们把这组不共线的向量 e e1 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 问题 对”基底两的认识？对比共线向量基本定理与平面向量基本定.例 1如图，向量 不线，且 向 例 1 体会如何将平 面内任意向量用一 组基底向量表示（ 量表示向量OP.解法一：因为向量AP （例题OP=+ APOP=OAt t (OB OA tOB tOA (1 )OA+tOB解法二：因为向量 AP AB （ AB OB OP (OB )OA+tOB 小结：.体会三角形法则在进行向量分解的过程中的作例 2 体根据平面向 1 2 1 1 2 1 用；感悟

7、如何将平面内任一向量分解为两个基 底向量来表示.量基本定理将平面 内任一向量用基底追问：若 不线，且使得向量向量表示出来在几 何证明中的作用OP +OB 1 2且当 1 时，点 是感受由任意到确定 的过程在直线 AB 上并注明 结论：如果 +，则点 A,B,P 三共线的充要条件是 + ，例 ：如图CD 是ABC 的中线， 12，用向量方法证明：ABC 是角三角形C解：设 =a，=b则，DB，于是，CB ，因为2 a ) 1 ，以 DA . 22.因为CD 2 =a， 2，所以，因此，CA 即ABC 是角三角. 证法 2：图，设=a， =b则 因为向量 CA AD +12AB所以 =a+1 1(

8、b ) ( ). 2 因为 1 ，以， |a+b| 2 即 所以所以() b + 2 2 a .即a 0.所以，因此，CA 即ABC 是角三角.总结小结 平向量基本定理的形成过程与研究方法： 类比的研究方法共线向量基本定理与平面向量基本定理的类 比是一维与二维的类比；物理中力的分解与向量的分解的类. 平向量基本定理的叙述与证明 平向量基本定理的作用和意义平面向量基本定理是将平面向量任意化归为确定 的理论依据，是由几何到代数的桥梁在平面向量一 章起到承上启下的作用，为向量坐标运算奠定基.拓展探究问题： 思空间向量基本定理； 思平面向量基本定理的三角形法则证明方 法.作业：作业 ：ABC 中，AD 13，点 是CD 的点，设 AB