高考数学(理数)一轮复习学案8．1《空间几何体的结构、三视图和直观图》(含详解)

1、PAGE PAGE 981空间几何体的结构、三视图和直观图1棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相_，其余各面都是_，并且每相邻两个四边形的公共边都互相_，由这些面所围成的多面体叫做棱柱注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(2)棱锥：有一个面是_，其余各面都是有一个公共顶点的_，由这些面所围成的多面体叫做棱锥注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台注：由正棱锥截得的棱

2、台叫做正棱台2棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是_；两个底面与平行于底面的截面是_的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是_；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是_(2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的_；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个_；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个_；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个_；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个_(3)正棱台的性质侧面是全等的_；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个_；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个_；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也

3、组成一个_3圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以_的一边、_的一直角边、_中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是_、_、_；平行于底面的截面都是_4球(1)球面与球的概念以半圆的_所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的_(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线_截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为_5平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做_平行投影的投影线互相_6空间几何体的三视图、直观图(1

4、)三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的三视图包括_、_、_三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使xOz_且yOz_画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy_，xOz_xOy所确定的平面表示水平面已知图形中，平行于x轴、y轴或

5、z轴的线段，在直观图中分别画成_x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的_画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图自查自纠：1(1)平行四边形平行(2)多边形三角形2(1)平行四边形全等平行四边形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3(1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆4(1)直径球心(2)垂直于deq r(R2r2)5平行投影平行6(1)正(主)

6、视图侧(左)视图俯视图(2)909045(或135)90平行于一半 (eq avs4al(2018厦门调考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥C正方体 D圆柱解：球的三视图是三个全等的圆；含有互相垂直且相等的三条棱的三棱锥的三视图可以是三个全等的三角形；正方体的三视图可以是三个全等的正方形；圆柱不管如何放置，其三视图的形状都不可能全部相同故选D (eq avs4al(2018浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8解：由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示的四棱柱

7、A1B1C1D1ABCD由三视图可知S底面eq f(1,2)(12)23直四棱柱的高为2，所以体积V326故选C (eq avs4al(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D4解：根据三视图，还原四棱锥，如图在四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABCD，ADDCAB1，ADDCSD2显然SDA，SDC是直角三角形另外SDAB，ABAD，SDADD，所以AB平面SAD又SA平面SAD，所以ABSA，即SAB是直角三角形又计算SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形另解：在正方体中作出该几何体的直观图，则易观察出侧面中直角三角

8、形的个数为3故选C (eq avs4al(2017北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_解：由三视图还原为如图所示的四棱锥ABCC1B1，易得，最长的棱为AC1，且AC1eq r(AC2CCeq oal(2,1)eq r(（2222）22)2eq r(3)故填2eq r(3) (eq avs4al(2018全国卷改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为_解：由三视图还原成直观图可知，点M，N的位置如图(1)所示在图(2)所示的圆柱侧

9、面展开图中，|MN|eq r(2242)2eq r(5)因此从M到N的路径中，最短路径的长度为2eq r(5)故填2eq r(5)类型一空间几何体的结构特征给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中所有错误命题的序号是 ()A B C D 解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故错误故选D点拨：解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正

10、把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；四个侧面两两全等的四棱柱一定是直四棱柱；若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；长方体一定是正四棱柱其中正确命题的个数是 ()A0 B1 C2 D3解：底面是菱形的直棱柱满足条件，但它不一定是正棱柱，不正确；斜四棱柱的四个侧面也可能两两全等，不正确；以正六边形为底面的棱锥，其侧棱长必然要大于底面边长，不正确；显然不正确故选A类型二空间几何体的三视图已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三

11、棱锥的侧视图可能为 ()解：三视图中正侧高平齐，排除A，俯侧宽相等，排除C，D故选B点拨：根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行要严格按以下几点执行：三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等注意实虚线的区别(eq avs4al(2018江西赣州一模)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图如示，则相应的侧视图可以为 ()A BC D解：A，B中的侧视图左边为矩形，结合俯视图知其为半圆柱，与正视图矛盾，排除由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(大致图形如图所示)，且顶点在底面的射影恰好是底面半

12、圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，排除C故选D类型三空间多面体的直观图已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图(单位：cm)解：由三视图可知该几何体是底面边长为2 cm，高为3 cm的正六棱锥，其直观图如图所示，画法如下：(1)画轴：画底面中心O，画x轴，y轴和z轴，使xOy45，xOz90(2)画底面：在水平面xOy内画边长为2 cm正六边形的直观图(3)画高线：在Oz上取点P，使OP3 cm(4)PE，PF，去掉辅助线，并将遮住部分改为虚线，就得到如图所示的直观图点拨：根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使xOy4

13、5，xOz90，确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图平行于x轴和z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半，且平行于轴的线段平行关系不变原图形面积S与其直观图面积S之间的关系为Seq f(r(2),4)S已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图ABCD(如图所示)，其中AD2，BC4，AB1，则DC的长度是 ()Aeq r(5) B2eq r(2) C2eq r(5) Deq r(3)解：如图，在直角梯形ABCD中，由斜二测画法，知 AB2，AD2，BC4，所以DCeq r(AB2（BCAD）2)eq r(22（42）2)2eq r(2)故选

14、B类型四空间旋转体的直观图(eq avs4al(浙江大学自主招生)有一个正放的圆锥，它的高为h，圆锥内水面高为h1，h1eq f(2,3)h将圆锥倒置，求倒置时的水面高度h2解：由题意知，水的体积与圆锥的体积之比在圆锥倒置前后相等，故1eq blc(rc)(avs4alco1(f(hh1,h)eq sup12(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(h2,h)eq sup12(3)，所以h2eq r(3,f(26,27)heq f(r(3,26),3)h点拨：空间旋转体的相关问题，注意紧抓轴截面的几何性质，尤其是相似性面积比、体积比一般分别是相似比的平方、立方(截面与底面平行)一个直

15、角梯形上底、下底和高之比为24eq r(5)，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为_解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x，4x，eq r(5)x，它们分别为圆台的上、下底半径和高如图示，过点B作BCOA于C，则RtABC中，ACOAOCOAOB4x2x2x，BCOOeq r(5)x，所以ABeq r(AC2BC2)eq r(（2x）2（r(5)x）2)3x所以S上S下S侧(2x)2(4x)2(2x4x)3x289故填2891在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关

16、元素之间的位置关系以及数量关系2三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等3一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”(1)三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变(2)三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变4对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S之间联系：Seq f(r(2),4)S，并能进行相

17、关的计算1一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是 ()线段；直线；圆；梯形；长方体A B C D解：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点故选D2某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ()解：D选项的正视图应为如图所示的图形故选D3(eq avs4al(2018福建毕业班质量检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影(如实线所示)可能是() A B C D解：从上下方向上看，PAC的投影为图所示的情况；从左右方向上看

18、，PAC的投影为图所示的情况；从前后方向上看，PAC的投影为图所示的情况故选D4(eq avs4al(2018北京西城区高三期末)一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是 ()A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱解：由三视图还原几何体如图所示，可知剩余几何体为直四棱柱ABEA1DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1ECC1F故选B5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积最大的是 ()A8 B6eq r(2) C10 D8eq r(2)解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，6eq r(2)，8，10，所以面积最大的是

19、10故选C6(eq avs4al(江西临川二中、新余四中2018联考)用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()A BC D解：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为eq r(2)，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2eq r(2)故选A7(eq avs4al(2018河北衡水高二月考)如图所示为一个简单几何体的正视图、侧视图，其对应的几何体为以下所给几何体中的一个，则该几何体是_(填序号)解：根据正视图与侧视图中对角线的位置及线的实虚可知，只有符合故填8(eq avs4al(2018珠海高三期中)如图所示的多面体NMABCD

20、的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图所示，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则AM的长为_解：如图所示，设E，F分别为AD，BC的中点，连接ME，EF，FN，过点M作MOEF于点O，则MNFE为等腰梯形，根据正视图，得MN2，AB4，由侧视图可得AD2，MO2，且EO1，则MEeq r(EO2MO2)eq r(5)在AME中，AE1，故AMeq r(AE2ME2)eq r(6)故填eq r(6)9画出如图所示的正五棱台的三视图，其中侧视方向与ED平行解：正五棱台的三视图如图所示10用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长解：设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r根据相似三角形的性质得，eq f(3,3l )eq f(r,4r)，解得 l9所以，圆台的母线长为9c