天津南开中学高三数学理联考试题含解析

1、天津南开中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆满足条件：成等差数列，则椭圆离心率为( ). . . .参考答案：B略2. 已知向量为单位向量，且它们的夹角为，则 A. B. C. D. 参考答案：A3. 已知三棱锥P-ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ）A. 3B. C. D. 参考答案：B【分析】画出图，根据弧长公式求解【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且.以顶点为球心，以2为半径作

2、一个球与的，分别交于，得cos，所以，所以，同理，又是以顶点为圆心，以2为半径的圆周长的，所以，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于.故选B.【点睛】本题主要考查球面距离及相关计算，考查空间想象能力属于中档题4. （坐标系与参数方程）曲线C1的极坐标方程为曲线C2的参数方程为（为参数），以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离为( )A B C2 D 参考答案：A略5. 某同学忘记了自己的号，但记得号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的号最多尝试次数为（ ）A.

3、18 B. 24 C. 6 D. 12参考答案：D6. 已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形参考答案：C【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判

4、断出结论【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，a2+a3a1，a3+a1=2a2a2，而a1+a2a3=a1d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1d0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a30，a2+a3a4=a10，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D由C可知不正确故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和

5、大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】结合椭圆和双曲线有公共的焦点可得，再利用恰好将线段三等分，可求得.【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以；双曲线的一条渐近线为，设渐近线与椭圆的交点为C,D,如图，设，代入椭圆可得因为恰好将线段三等分，所以，即有联立可得，结合可得，故选C.【点睛】本题主要考查圆、椭圆和双曲线的综合，寻求题目中的等量关系是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.8. ABC所在平面上一点满足 ,

6、则PAB的面积与ABC的面积比为（ ）2:3 1:3 1:4 1:6参考答案：B略9. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（）ABCD参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体）【解答】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体）该几何体的体积=+=故选：D10. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A. B. C. D. 参考答案：B二、 填空题:本大题共7

7、小题,每小题4分,共28分11. 为定义在上奇函数，时，则。参考答案：3略12. 在任意两个正整数间，定义某种运算（用表示运算符号），当、都是正偶数或都是正奇数时，当、中其中一个为正偶数，另一个是正奇数时，则在上述定义中集合的元素的个数为 参考答案：15略13. 如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于参考答案：【考点】69：定积分的简单应用；CF：几何概型【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答【解答】解：由已知，矩形的面积为4（21）=4，阴影部分的面积为=（4x）|=，由几何

8、概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：14. 已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数a的取值范围是_参考答案：【分析】由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，因为表示直线的斜率，当时，设切点坐标为，所以切线方程为，而切线过原点，所以，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题15. 函数的图象为,有如下结论:图象关于直线对

9、称;图象 关于点对称;函数在区间内是增函数。其中正确的结论序号是 .(写出所有正确结论的序号) .参考答案：略16. 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 参考答案：17. 已知函数f(x)是定义在(3，3)上的奇函数，当0 x3时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)cosx0的解集是 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数是的一个极值点

10、.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（1）且是的一个极值点， -2分-4分由得或，函数的单调增区间为，；-6分由得，函数的单调减区间为， -8分（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增当时，函数取得最小值，=， -10分时，恒成立等价于-12分即。-14分19. （本小题满分12分）李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为.（I）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（II）若走路线，求遇到红灯次数的X的数学期望；（III

11、）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.参考答案：20. 选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若有多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A. 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10 分) 如图, AB 和BC 分别与圆O 相切于点D, C, AC 经过圆心O, 且BC =2OC.求证:AC =2AD.B. 选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10 分)已知矩阵,，求矩阵.C. 选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10 分)在平面直角坐标系xOy 中,

12、 直线l 的参数方程为（t为参数）曲线C 的参数方程为（为参数）,试求直线l 和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标。D. 选修4-5:不等式选讲(本小题满分10 分)已知，求证：参考答案：21. （本小题共12分）关于x的方程。（）当时，写出方程的所有实数解；（）求实数k的范围，使得方程恰有8个不同的实数解。参考答案：（）据题意可令，则方程化为，时或6分（）当方程有两个不等正根时，得9分此时方程有两个根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个，所以。12分22. 已知圆C：；（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标参考答案：解：（1）切线在x轴，y轴上的截距相等，第一种情况：切线的斜率是1 -1分分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或法，解得切线的方程为：xy3=0, xy1=0, -2分第二种情况：切线经过原点（0,0） -3分设此时切线斜率为k，直线为kx-y=0，用点到直线的距离公式可求得，解得切线方程 -5分综上，此圆截距相等的切线方程为xy3=0, xy1=0, . -6分(2) 将圆的方程化成标准式（x1)2(y2)2=2，圆心C（