2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第8章 第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

1、 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题1直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d eq f(|AaBbC|,r(A2B2)dr代数法：由 eq blc(avs4alco1(AxByC0,(xa)2(yb)2r2)消元得到一元二次方程根的判别式0002.圆与圆的位置关系若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：相离外切相交内切内含图形量的关系

2、dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|常用结论1当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程2直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半 eq f(1,2)l满足关系式r2d2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)l)2.3圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两

3、切点所在直线方程为x0 xy0yr2 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0 xy0yr2.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1直线yx1与圆x2y21的位置关系为()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离B圆心为(0，0)，到直线yx1

4、，即xy10的距离d eq f(1,r(2) eq f(r(2),2)，而0 eq f(r(2),2)2，点A(3，5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1，2)，半径r2，而圆心到切线的距离d eq f(|32k|,r(k21)2，即|32k|2 eq r(k21)，k eq f(5,12)，故所求切线方程为5x12y450或x30. 考点一直线与圆的位置关系 eq avs4al(典例1)(1)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不

5、确定(2)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2 C3 D4(1)A(2)C(1)法一：(代数法)由 eq blc(avs4alco1(mxy1m0，,x2（y1）25，) 消去y，整理得(1m2)x22m2xm2因为16m2200，所以直线法二：(几何法)圆心(0，1)到直线l的距离d eq f(|m|,r(m21)1 eq r(5).故直线l与圆相交法三：(点与圆的位置关系法)直线l：mxy1m0过定点(1，1)，点(1，1)在圆C：x2(y1)25的内部，直线l与圆C相交(2)如图所示，因为圆心(3，3)到直线3x4y110的距离为 eq f

6、(|91211|,5)2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个1判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交2圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解如图，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足drt.如图，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足drt. 图图由图可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足rtdrt.若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足drt.跟进训练1(1)(2021新高考

7、卷改编)已知直线l：axbyr20与圆C：x2y2r2，点A(a，b)，则下列说法：若点A在圆C上，则直线l与圆C相切；若点A在圆C内，则直线l与圆C相离；若点A在圆C外，则直线l与圆C相离；若点A在直线l上，则直线l与圆C相切其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4(2)(2021山东烟台二中三模)已知直线axy20与圆C：x2y22x2aya230相交于A，B两点，且ABC为钝角三角形，则实数a的取值范围为_(1)C(2)(2 eq r(3)，1)(1，2 eq r(3)(1)对于，点A在圆C上，a2b2r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d eq f(r2,r(a2b2)r，直线l与圆

8、C相切，正确对于，点A在圆C内，a2b2r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d eq f(r2,r(a2b2)r，直线l与圆C相离，正确对于，点A在圆C外，a2b2r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d eq f(r2,r(a2b2)r，直线l与圆C相交，错误对于，点A在直线l上，a2b2r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d eq f(r2,r(a2b2)r，直线l与圆C相切，正确故选C.(2)圆C：x2y22x2aya230化为 eq blc(rc)(avs4alco1(x1)2 eq blc(rc)(avs4alco1(ya)24，故圆心C eq blc(rc)(avs4alco1(1，

9、a)，半径为2，当ABC为等腰直角三角形时，点C到直线的距离d eq f(blc|rc|(avs4alco1(2a2),r(a21) eq r(2)，解得a2 eq r(3)，ABC为钝角三角形，0df(5,2)，则 eq f(|4a10|,5)2a0或a5(舍).所以圆C：x2y24.当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 eq blc(avs4alco1(x2y24,yk（x1）) 得，(k21)x22k2xk240，所以x1x2 eq f(2k2,k21)，x1x2 eq f(k24,k21).若x轴平分ANB，则kANkBN eq