【条件】概率论与数理统计知识点总结

1、n 文档来源为从网络收集整.word 版可编辑欢下载支.n 【关键字】条件第章概率论与数理统计 概论基概2本空间、随事件事件间的关系 A 则称事件 包事件 A，指事件 A 发必然导致事件 B 发生 x A或 B称为事件 A 与件 的事件指且仅当A，B 中少有一个发生时，事件 A 发生 x A且 B称为事件 A 与件 B 的事件，指当 A，B同时发生时，事件 A B发生 x A且x BA 发B 不生时，事件 B 发称为事件 A 与件 的事件且当A ，则称事件 A 与 B 是不相容的，或互斥的，指事件 A 与件 能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B 且 ，则称事件 A 与件 B 互为逆事件，

2、又称事件A 与件 B 互对立事件运算规则 交换 A A B A结合律 ( A ) C A ( B ) ( A B C ( B C ) 分配律 A B) ( A )徳摩根律 B B B3率与概率定义在相同的条件下进了 n 次验在这 n 次试中，事件 A 发生的次数 A称为事件 A 发的频，比值 nA称为事件 A 发的频率概设 是机试验 是它样本空间于 E 的每事件 予一个实数为 称为事件的概率概率 ( )满足下列条件：（1）非负性对于每一个事件 A（2）规范性对于必然事件 S0 ( ) (S) （3列加性 A , A 1 是两两互不相容的事件 P ( A ) ( （ n 可 k k 1档来源为从

3、网络收集整理.word 版可编辑.n n 文档来源为从网络收集整.word 版可编辑欢下载支.n n 以取 ）概率的一些重要性质： （i） ( （ii）若 A ,1 2 An是两两互不相容的事件，则有 P ( A ) ( ) k（ 可取 ）（iii） A， 是个事件若 （iv对于任意事件 A， ( k ，则 ( B A) ( ) ( )， (A)（v） P A ( A（逆事件的概率）（vi对于任意事件 AB 有 ( A B P ( A ( ) ( )4 等能概型古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若 事 件A包 含k个 基 本 事 件 ， 即 i

4、 i i1 ， 里i ，i1，i ,2某k个不同的数则有 k ( ) i jj5件概率 A包含的基本事件 n S中基本事件的总数（1 定义：设 A,B 是个事件，且 ( ) ，称 ( B | A) P ( AB) ( )为事件 A 发的条件下事件 B 发的条件概（2 条件概率符合概率定义中的三个条件 非性：对于某一事件 B， ( A) 规范性：对于必然事件 S， ( S ) ( B A ) 可 列 设 ( ) iii i B , 1 2是 两 两 互 不 相 容 的 事 则 有（3 乘法定理设 P ( ) ，则有 ( AB ) ( ) P ( A | B 称为乘法公式（4 全概率公式： P A

5、 i ( B ) P ( | ) i i2档来源为从网络收集整理.word 版可编辑. 文档来源为从网络收集整.word 贝叶斯公式：立 ( ) ( ) P A ) k ( ) P( A ) i ii 定设 AB 是两事件，如果满足等式P ( AB ) P ( A ( )，则称事件 A,B 相独立定理一设 AB 是事件，且 P ( A ，若 AB 相独立，则 ( B A) P定理二第章若事件 A 和 B 相独立，则下列各对事件也相互独立A 与 随变及分B 与B 与 B1 随变量定义设随机试验的样本空间为S X 是定义在样本空间 S 上实值单值函数，称 X X(e)为随机变量2 离性随机量及其分

6、布 离随机变量：些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随 机变量称为离散型随机变量 ( p k 满足如下两个条件（）p k）P=1k 三重要的离散随机变量 （1 分设 随 机 变 量 X 只 能 取与两 个 值 ， 它 的 分 布 律 是 ( k) 1- p，k p 点分布。（2伯努利实验、二项分布则 X 服以 参数的分布或两设 实 验 E 只 有 两 个 果 ： A 与 A ， 则 称 为 利 验 . 设 0 ，此时 P(A) 1- 独立实验为 伯努利实验。.将 独重复的进行 n 次则称这一串重复的 (X q ，k ， 满足条件（） k） =1 注 k 到 是二项 的展开

7、式中出现k的那一项，我们称随机变量 X 服参为 n 二项分布。（3泊松分布3档来源为从网络收集整理.word 版可编辑.文档来源为从网络收集整.word 版可编辑欢下载支.设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 的 值 为 ， 而 取 个 的 概 为P (X k) -k!, 其中是常数，则称 X 从参数为的泊松分布记为X 3 随变量的布函数定义 设 X 是个随机变量，x 任意实数，函数 F(x) x, - x 称为 X 分布函数分 布 函 数 F ( ) ( X x)， 具 有 以 下 性 质 (1) F ( )是 一 个 不 减 函 数 （ ） F ( ) F ( F ( 4 连性随机量

8、及其概率度（3） F ( x F ( x F ( x)连续随机变量：如果对于随机变量 X 的布函数 F（x在非负可积函数 f x)，使对于任意函数 有 F(x) xf（）dt,则称 x 为续性随变量，其中函数 f(x)称 X- 的概率密度函数，简称概率密度 概密度 f ( )具有以下性质，满足1f ( ) (2)f ( ) dx ；- （3 ( X x ) 1 2xxf x)） f ( x)在点 连续，则有Fx ) f ( )三种重的连续型随机变量均匀分布 1 ， x 若连续性随机变量 X 有概率密度 ( x) - a 0 ，其均匀分布记为 X U （ b）指数分布成 X 在间上服从 e若连续

9、性随机变量 X 概率密度为 ( x) -x， x. ，其其中为常数称 X服从参数为的指数分布。（3正态分布若 连 续 型 随机变量X的概率密度为f x ( x 2 x 为常数，则 X服从参数 的正态分布或高斯分布，记为4档来源为从网络收集整理.word 版可编辑.y x文档来源为从网络收集整.word 版可编辑欢下载y xX N （ 特别，当 时随机变量 X 服从标准正态分布5 随变量的数的分布定理设随机变量 X 具有概率密度 f ( x) x x又设函数 ( 处处可导且恒有,( ) ， 则Y=g ( X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 为f ) , y Xf ( y

10、) 0 ， 其他第章多随变1 二随机变定义 设 E 是个随机试验的本空间是 e. X 和 Y 是定义在 上的随机变量，称 X 为机变量，由它们构成的一个向量XY）叫做二维随机变量设 （ X ， Y ） 是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 x ， y ， 二 元 函 数F（x，yP(X x) (Y y)记X ，Y y 分布函数称为二维随机变量（ X，Y）如果二维随机变量（，）全部可能到的值是有限对或可列无限多对，则称X， Y是离散型的随机变量。我们称分布律。( X Y ) i，j i j ij为二维离散型随机变量（ X，Y）对于二维随机变X的分布函数 x ， y存在非负可积函数

11、（使对于任意 xy 有 F（x，f（，v）dudvXY是连续性的随机变量，- -函数 fx，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变 X Y 的联概密 度 边缘分布二维随机变（XY作为一个整体具分布函数 x ， 而 X Y 都随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记F（x), y依称为二维随机变量XY）X 关于 X 关于 Y 的缘布数p ，i i ij ij p PY y j j ij ii 分别称i j为（XY）关 X 和于 Y 的边缘布。5档来源为从网络收集整理.word 版可编辑. ( x, ）dy f ( ) f ( f（ f ( x, ）dy f ( ) f ( f（ f

12、( z ) 和 f ( Y f ( ) Y 为 X，Y 关 X 和于 Y 边缘率度f ( x 分称 f ( )X， 条件分定义设X，）是二维离散型随机变量，对于固定的 j若Y y j则称PX y i jPX , Y y i j P y jpijp j, i 在 Y j条件下随机变量 X 条件分布律PY y X X j iPX Y y i j P x ipijpi, j 为在 x条件下随机变量 X 条件分布律。 i设二维离散型随机变量X，Y的概率密度为f )XY）关于 Y 的缘概率密度为f ( y)，若对于固定的 y，f ( y)0则称f ( ) f ( y)Y为在 Y=y 的件下 X 的件概率

13、密度，记为fX ( )=f ( y f ( Y4 相互独立的随机变量 定义 设 （x y ( )X， ( )分别是二维离散型随机变量XY）的分布函数及边缘分布函若对于所有 有PX y PY y，即Fx, F (y)，则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。X Y对于二维正态随机变量X，YX 和 Y 互独立的充要条件是参数 两个随变量的函数分布，Z=X+Y 的分布设(X,Y)是维连续型随机变量，它具有概率密度f ( )则 仍连续性随机变量，其概率密度为fX ( z ) f ( , y）dy 或 fX ( z) x ）dx 又若 X Y 相独立，设（Y）于 X，Y 边缘密度分别为f x ), f

14、( ) X Y则fX ( z ) X Y X f ( xf ( ) dx X 这两个公式称为f , fX Y的卷公6档来源为从网络收集整理.word 版可编辑.X 文档来源为从网络收集整.word 版可编辑欢下载支.X 有个互立正随变的性合然从态布的分布 的布 ，X设(是维连续型随机变量，具有概率密度f ( x, )，则 X， XY仍为连续性随机变量其概率密度分别为f X( z ) x ( , xz) f ( z ) XY1 f x, dx 又若 X 和 Y 相独立，X，）关于 X，Y 的边缘密度分别f ( x f ( ) X Y则可化为f ( ) f ( x) f ( X Yf z) XY1

15、 z f f ( M maxXYN minX Y 的分布设 X，Y 是个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F ( ), F ( ) X Y由于M ，Y不大于 z 等价于 X 和 Y 都大于 z 故有PM PX z,Y 又由于 X Y 相独立，得到M XY的分布函数为( z) ( z) ( z X N minX 的分布函数为Fmin( z ) )X Y第章随变的字征1学期望定义设离型机量 X 的分布律为PX kk，若数绝对 收敛则称级数x p的和为随机变量 X 的数学期望记为 ( X )即 ( X ) pkk i设连型机量 X 的概率密度为 f ( )，若积分 ( ) dx绝对收敛，则称积

16、分 ( x) 的值为随机变量 X 数学期望，记为 E ( X )，即E ( X ) ( ) dx定理设 Y 是机变量 X 的数 Y=g ( X 是连续函数)（i）如果 X 是离散型机量它的分布律为P x p kk，若 ( 7档来源为从网络收集整理.word 版可编辑. 文档来源为从网络收集整.word 版可编辑 绝对收敛则有 E (Y) ( g ( X g ( （ii）如果 X 是连续随变，它的分概率密为 f ( )，若 ( ) f ( ) dx绝对收敛则有 (Y) E ( g ( X ( x) f ( x )dx数学期望的几个重要性质 C 是数，则有 E ( ) X 是机变量， 是数，则有

17、(CX ) CE ( X ) X,Y 是两个随机变量，则有 E ( ) ( X ) Y )； X，Y 是互独立的随机变，则有 E XY ) ( ) (Y ) 2 方定义设 X 一个随机变量，若 X ( X 存，则称 ( ) 为 X 方差，记为 D（x）即 （x= ) ，在应用上还引入量( )，记为 ( )，称为标准差或均方差。方差的几个重要性质 C 是数，则有 ( ) 0, X 是机变量， 是数，则有 ( ) 2 ( )， D ( X ) D(X) X,Y 是两个随机变量，则有 ( X ) D(X) D(Y) 2E(X E(X)(Y - E(Y) 别，若 X,Y 相独立，则有 D ) D (

18、X Y )特D ( ) 0的充要条件是 X 以率 1 常数 E(X) ， ( X ) 切雪不式 ：随机变量 X 具有数学期望 ( ) ，则对于任意正数 ，等式P X - 成立 协方差及关系数定义量 ( X ) Y )称为随机变量 X 与 Y 的协方差为 Cov ( X , Y ，即 ( X ) E( X ( Y (Y ) ( XY ( X ) E ( )8档来源为从网络收集整理.word 版可编辑.， 1 文档来源为从网络收集整.word 版可编辑欢下载支.， 1 而XY (XY） D(X) D(Y)称为随机变量 X 和 Y 的关系数对于任意两个随机变量 X 和 Y， D ( 协方差具有下述性质 ) ( X ) Y ) Cov ( X , Y ) _ ( X , Y ) Cov ( , ( aX , ) abCov , ) ( X , Y ) Cov( Y ) Cov( , )1 2定理XYXY的充要条件是，存在常数 使 PY 当XY ，称 X 和 Y 不关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布PX ) k )1, ，二项式分布 ( k ) Cknp k pn , k ，泊松分布几何分布均匀分布 f x) ，其，指数分布