2021年高中数学新北师大版必修第二册 第一章 2 任意角 教案

1、任意角【学标1了解现实生活中的周期现象 2了解任意角的概念理解象限角的概念(重点)3 掌握终边相同角的含义及其表 示(难点)4会用集合表示象限角(易错点) 【学程一、基础铺垫1角的概念（1）角的有关概念【心养1 通过学习周期现象、任意角 的概念象限角的概念体会数学抽 象素养2 通过终边相同的角的表示及 象限角的表示，培养数学运算素养.（2）角的概念的推广 类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角零角按顺时针方向旋转形成的角一条射线从起始位置 OA 没有 作任何旋转，终止位置 OB 与 起始位置 OA 重合，我们称这 样的角为零度角，又称零角1思考 1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角

2、一定是零角吗？示不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角2象限角的概念（1）前提条件角的顶点与原点重合角的始边与 x 轴的非负半轴重合（2）结论角的终边(除端点外在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（3）终边相同的角及其表示所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合： 360， Z如图所示：注意以下几点：k 是整数，这个条件不能漏掉 是任意角k360与 之间用”号连接，如 k36030 应看成 36030)( k 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个们相差周角的整数倍思考 2：假设 60的终边是 OB，那么66

3、0，420的终边与 60的终边有什么关系，它们 与 60分别相差多少？示它们的终边相同602360，420360，故它们与 60分别相隔了 2 个周角的和及 1 个周角 二、新知探究1.角的概念【例 1】下列结论： 锐角都是第一象限角； 第二象限角是钝角；2小于 180的角是钝角、直角或锐角其中，正确结论的序号为_锐角是大于 0且小于 90的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以正确； 480角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确；0角小于 180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以不正确【规律方法】判断角的概念问题的关键与技巧：（1）关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周

4、角等概念（2）技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可2.象限角的表示究问题（1）任意角都是象限角吗？为什么？示不是一些特殊角终边可能落在坐标轴上如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角（2）象限角的表示 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角示象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角角的集合表示 _角的集合表示k360k360 ，Zk360360180，kZ k360 k360，Z k360 k360，Z【例 2】已知 为第二象限，问 ， 分别为第几象限的角？2路探究 由角 为第二象限角，可以写出 的范围90k360180360(Z，在此基础

5、上可以判断 2， 范围，进而可以判断出它们所在的象限2 是第二象限角，90k360180k360(Z)31802k3602360k360(2 是第三或第四象限角，以终边落在 轴的负半轴上的角 k k同理，45 360 90 360(k)2 2 2当 k 为偶数时，令 k2n(Z则 45n360 90n360(k，2此时 为第一象限角；2当 k 为奇数时，令 k2n1(则 225n360 270n360(nZ)2此时 为第三象限角2综上可知， 为第一或第三象限角2【母题探究】1变结论)在本例条件下，求角 2 的边的位置 是第二象限角，k36090k k)k720 k 360(Z)角 2 的终边在

6、第三或第四限或在 轴的非正半轴上2变条件)若角 为第三象限角，则角 是第几象限角？2 如图所示，先将各象限分成 等份，再从 轴正半轴的上方起，按逆时针方向依 次将各区域标上一、二、三、四，则标三”区域即为角 的终边所在的区域，故角 为第二2 2或第四象限角【规律方法】倍角、分角所在象限的判定思路 ：（1）已知角 终边所在的限，确定 终所在的象限，可依据角 的围求出 n 的 范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉 n 的终边在坐标轴上的情况（2已知角 终边所在的象限确定 终边所在的象限，分类讨论法要 k 的取值分以下n4几种情况进行讨论： 被 n 整除； 被 n 除余 1； 被 n 除余

7、 2， 被 n 除余 n1然后方 可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观3.终边相同的角究问题（3）在同一坐标系中作出 ，330，30角并观察这三个角终边之间的位置关系， 角的大小关系示如图所示，三个角终边相同，相差 360的整数倍（3）对于任意一个角 ，与它终边相同的角的集合应如何表示？示所有与角 终边相同的角连同 在内，可以构成一个集合， 360，k，即任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与周角整数的和 【例 3】已知 1 910.（1）把 写成 k360(kZ,360)的形式，并指出它是第几象角； （2）求 ，使 与 的终边相同，且7200.路探究利用终边相同的角的关系 k3

8、60，Z.求解（1）1 9106360，其中 250，从而 250 (6)360，它是第三象限的角（2）令 250360(kZ)，取 k1，2 就得到满足7200的角，即 250360110，250720470.所以 为，470.【母题探究】3变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么阴影部包括边界)示的终边相同的角 的集合如何表示？5在 0360范围内、阴影部分包括边界)表示的范围是：150225，则满足条件的角 为k360 360 225，Z4变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部包括边界)的角的集合 如何表示？ 由题干图可知满足题意的角的集合为 k 60 k ， k Z k

9、360240 k360，kZ |2k180602k180105，Z |(2k 1)180 (21)180105，k n18060 n180105，nZ即所求的集合为 n180 60n180105，nZ【规律方法】1终边落在直线上的角的集合的步骤（1）写出在 0360范围内相应的角；（2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合；（3）根据条件能合并一定合并， 使结果简捷2终边相同角常用的三个结论（1）终边相同的角之间相差 360的整数倍（2）终边在同一直线上的角之间相差 180的整数倍（3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 的整数倍三、课堂总结1对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未

10、来在一定时间该现象发生的可 能性及发生规律，具有一定的研究价值2对角的理解初中阶段是以“静止”的眼光看高中阶段应用“运动”观点下定义理解 这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负，旋转量”决定角的绝对值大小”3区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示 |90k360 180k360，Z ，也可以表示为 270 360180 360，四、课堂练习1判断(正确的打“”，错误的“”)6（1）某同学每天上学的时间是周期现象( ) （2）第三象限角一定比钝角大( )（3）始边相同，终边不同的角一定不相等( ) （4）始边相同，终边也相同的角一定相等( )案（1） （2） （3）（4）2下列现象不是周期现象的是( )A钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化B游乐场中摩天轮的运行C抛一枚骰子，向上的数字是奇数D太阳的东升西落C A，B， 所述都是周期现象，而 C 中向上的数字是奇数”不是周期现象3下面各组角中，终边相同的是 A390，690C480，( )B330，750 D3 000，840B 为33036030，75072030，所以330与 750终边相同4从 13：00 到 14：00，时针转过的角度为_分针转过的角度为_ 30 360 过 1 小时