圆、扇形、弓形的面积

1、圆、扇形、弓形的面积（一）教学目标： 1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面 积公式进行一些有关计算； 2、通过扇形面积公式的推导，培养学生 抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力； 3、在扇形面积公式的推 导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩 证思想 教学重点：扇形面积公式的导出及应用 教学难点：对图 形的分析.教学活动设计：（一）复习（圆面积）已知00半径 为R，0的面积S是多少？ s=n R2我们在求面积时往往只需要求 出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积为了更好研究这样的图 形引出一个概念 扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所 组成的图形叫做扇形.

2、提出新问题：已知00半径为R,求圆心角n 的扇形的面积 （二）迁移方法、探究新问题、归纳结论 1、迁移 方法 教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：（1）圆周长 C=2 n R； （2）1 圆心角所对弧长二；（3） n圆心角所对的弧长是1 圆心角所对的弧长的n倍；（4）n圆心角所对弧长二.归纳结论： 若设00半径为R, n圆心角所对弧长I,则 （弧长公式）2、 探究新问题 教师组织学生对比研究：（1）圆面积S=nR2；（2）圆心角为1的扇形的面积二；（3）圆心角为口的扇形的面积是圆 心角为1的扇形的面积n倍；（4）圆心角为n的扇形的面积二.归 纳结论：若设G0半径为R,圆心角为n的扇形的面积

3、S扇形，则 S扇形二（扇形面积公式）（三）理解公式 教师引导学生理解：（1） 在应用扇形的面积公式S扇形二进行计算时,要注意公式中n的意义.n 表示 1圆心角的倍数，它是不带单位的； （2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）； 提出问题：扇形的面积公式与弧长公 式有联系吗？（教师组织学生探讨）S扇形=IR想一想：这个公式与 什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究） 与三角形 的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长I看作底， R 看作高就行了这样对比，帮助学生记忆公式实际上，把扇形的 弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越 来越多的小三角形，

4、那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极 限要让学生在理解的基础上记住公式 （四）应用 练习： 1、已 知扇形的圆心角为120,半径为2,则这个扇形的面积,S扇二. 2、 TOC o 1-5 h z 已知扇形面积为，圆心角为120,则这个扇形的半径R=. 3、已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数= 4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积,S扇二. 5、已知半径为 2 的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长= （ ，2，120,）例1、已知正三角形的边长为a,求它的内切圆与外 接圆组成的圆环的面积 学生独立完成，对基础较差的学生教师指 导（1）怎样求圆环的面积？ （2）如

5、果设外接圆的半径为R,内切 圆的半径为r， R、r与已知边长a有什么联系？解：设正三角形的 外接圆、内切圆的半径分别为R, r，面积为S1、S2. S二.J ,S= 说明：要注意整体代入 对于教材中的例2,可以采用典型例 题中第4题，充分让学生探究.课堂练习：教材P181练习中2、4 题.（五）总结 知识：扇形及扇形面积公式S扇形二，S扇形=IR.方 法能力：迁移能力,对比方法；计算能力的培养（六）作业 教材P181 练习 1、 3；P187 中 10（二）教学目标： 1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上, 会计算弓形面积； 2、培养学生观察、理解能力,综合运用知识分析 问题和解决问题

6、的能力； 3、通过面积问题实际应用题的解决,向学 生渗透理论联系实际的观点教学重点：扇形面积公式的导出及应用 教学难点：对图形的 分解和组合、实际问题数学模型的建立 教学活动设计： （一）概念与认识 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 弦 AB 把 圆分成两部分，这两部分都是弓形弓形是一个最简单的组合图形之 一 （二）弓形的面积 提出问题：怎样求弓形的面积呢？ 学生以 小组的形式研究，交流归纳出结论： （1）当弓形的弧小于半圆时， 弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差； （2）当弓形的弧大 于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和； （3）当弓 形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一

7、半 理解：如果组成弓形的 弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧 则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组 成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三 角形的面积也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半 圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确（三 应用与反思 练习： （1）如果弓形的弧所对的圆心角为 60，弓形的 弦长为a,那么这个弓形的面积等于；如果弓形的弧所对的圆心角为300。，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于 （学生独立完成,巩固新知识） 例 3、水平放着的圆柱 形排水管的截面半径是06m，其中水面

8、高是0.3m.求截面上有水的 弓形的面积（精确到 0.01m2） 教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：（1） “水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提 供了什么数学信息？ （2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么 信息？ （ 3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？ 学生完成解题过程，并归纳三角形 OAB 的面积的求解方法 反思： 要注重题目的信息，处理信息；归纳三角形OAB的面积的求解 方法，根据条件特征，灵活应用公式；弓形的面积可以选用图形分 解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.例4、已知：。0 的半径为R，直径AB丄CD，以B为圆心，以BC为半径作求

9、与围 成的新月牙形ACED的面积S.解：J，有J，,，组 织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用（四） 总结 1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从 而选择分解方案； 2、应用弓形面积解决实际问题； 3、分解简单组 合图形为规则圆形的和与差 （五）作业 教材 P183 练习 2； P188 中 12 （三）教学目标： 1、掌握简单组合图形分解和面积的求法； 2、进一 步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解 决问题的能力； 3、渗透图形的外在美和内在关系 教学重点：简 单组合图形的分解 教学难点：对图形的分解和组合 教学活动设计： （一）知识

10、回顾 复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面 积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等 于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是 优弧时，其面积怎样求？ （二）简单图形的分解和组合 1、图形的 组合 让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣， 促进学生的创造力.2、提出问题：正方形的边长为a,以各边为直 径，在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积 以小组 的形式协作研究,班内交流思想和方法,教师组织给学生发展思维 的空间,充分发挥学生的主体作用 归纳交流结论： 方案 1S 阴 =S正方形-4S空白. 方案2、S阴=4S瓣=

11、4 （S半圆-SAOB） =2S圆-4S A0B=2S圆-S正方形ABCD方案3、S阴=4S瓣=4 （S半圆-S正方形 AEOF） =2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD方案4、S阴=4 S 半圆-S正方形ABCD 反思：对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；图形 的美也存在着内在的规律.练习1：如图，圆的半径为r,分别以圆 周上三个等分点为圆心，以 r 为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?分析:连结0A，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.解：连结AO,设P为其中一个三等分点，连结PA、P0,贝IPOA是等 边三角形.说明：图形

12、的分解与重新组合是重要方法； 本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去 O面积，也可得到阴影部分的面积.练习2：教材P185练习第1题例5、已知00的半径为R. (1) 求00的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与00直径(2R) 的比值；(2)求00的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面 积与圆面积的比值(保留两位小数)例5的计算量较大，老师引导学 生完成并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能 力 说明：从例 5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径 的比值，与直径的大小无关实际上，古代数学家就是用逐次倍增正 多边形的边数，使正多边形的周长趋近

13、于圆的周长，从而求得了 n的 各种近似值从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的 面积趋近于圆的面积 (三)总结 1、简单组合图形的分解； 2、进 一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形 面积、弓形面积的计算 3、进一步理解了正多边形和圆的关系定 理 (四)作业 教材 P185 练习 2、 3； P187 中 8、 11探究活动四瓣花形 在边长为 1 的正方形中分别以四个顶点为圆心， 以 l 为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示 再分别 以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花 形”，如图 (12)所示 探讨：(1)两图中的圆弧均被互分为三等份(2 两朵“花”是相似图形 (3)试求两“花”面积 提示：分析与解如图21