天津中山中学高二数学理期末试题含解析

1、天津中山中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知ABC中，且，则ABC 是（ ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形参考答案：A【分析】由tanA+tanBtanAtanB，推导出C60，由，推导出A60或90，从而得到ABC形状【详解】tanA+tanBtanAtanB，即tanA+tanB（1tanAtanB），tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，A+B120，即C60，,2B60或120，则A=90或60.由题意知ABC等边三角形故

2、选：A【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用2. 直三棱柱中，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A B C D参考答案：D3. 点P是双曲线(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且,若F1PF2的面积是18，则a+b的值等于（ ）A. 7 B. 9 C. D. 参考答案：D不妨设点P是双曲线右支上的点，,则,解得,则的值等于,故选C.4. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D.参考答案：C略5. 设，则 参考答案：B略6. 在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中

3、a0且a1，则下列所给图象中可能正确的是( )ABCD参考答案：D【考点】指数函数的图像与性质；正弦函数的图象【专题】压轴题；数形结合【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定【解答】解：正弦函数的周期公式T=，y=sinax的最小正周期T=；对于A：T2，故a1，因为y=ax的图象是减函数，故错；对于B：T2，故a1，而函数y=ax是增函数，故错；对于C：T=2，故a=1，y=ax=1，故错；对于D：T2，故a1，y=ax是减函数，故对；故选D【点评】本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题7. 在等差数列中，若，公差，

4、则有，类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则，的一个不等关系是 （ ） 参考答案：A略8. 若三条直线l1：4x+y=4，l2：mx+y=0，l3：2x3my=4不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )A2个B3个C4个D5个参考答案：C【考点】两条直线的交点坐标 【专题】直线与圆【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m的值【解答】解：当直线l1：4x+y=4 平行于 l2：mx+y=0时，m=4当直线l1：4x+y=4 平行于 l3：2x3my=4时，m=，当l2：mx+y=0 平行于 l3：2x3m

5、y=4时，m=，此时方程无解当三条直线经过同一个点时，把直线l1 与l2的交点（，）代入l3：2x3my=4得：3m=4，解得 m=1或m=，综上，满足条件的m有4个，故选：C【点评】本题考查三条直线不能构成三角形的条件，三条直线中有两条直线平行或者三直线经过同一个点9. 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间(130,150分的考生人数近似为（ ）（已知若，则， ， ）A. 1140B. 1075C. 2280D. 2150参考答案：C【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果

6、.【详解】由题意得，因此，所以，即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.10. 设函数，若，则正数a的取值范围为（ ）A(0,e) B(e,+) C. D参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有五条线段，其长度分别是1，2，5，6，8，若从这五条线段中任取三条，则它们恰能构成

7、三角形的概率为 .参考答案：1/512. 已知an满足a1=1，an+an+1=（）n（nN*），Sn=a1+a2?3+a3?32+an?3n1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得4Sn3nan= 参考答案：n考点：类比推理 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：先对Sn=a1+a2?3+a3?32+an?4n1 两边同乘以3，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出4Sn3nan的表达式解答：解：由Sn=a1+a2?3+a3?32+an?3n1 得3?Sn=3?a1+a2?32+a3?33+an1?3n1+an?3n +得：4Sn=a1+3（a1+a2）+32?（a2+a3）+3

8、n1?（an1+an）+an?3n=a1+3+32?（）2+3n1?（）n1+3n?an=1+1+1+1+3n?an=n+3n?an所以4Sn3n?an=n，故答案为：n点评：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握13. 命题“”的否定是 _.参考答案：略14. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_ 参考答案：15. 圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，4）、B（0，2），则圆C的方程为 参考答案：（x2）2+（y+3）2=5【考点】圆的标

9、准方程 【专题】计算题【分析】由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可【解答】解：圆C与y轴交于A（0，4），B（0，2），由垂径定理得圆心在y=3这条直线上又已知圆心在直线2xy7=0上，联立，解得x=2，圆心C为（2，3），半径r=|AC|=所求圆C的方程为（x2）2+（y+3）2=5故答案为（x2）2+（y+3）2=5【点评】本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法16. 某学生5天的生活费(单位:元)分别为:, , 8, 9, 6. 已知这组数据的平均数为8, 方差为2, 则 . 参考答案：317. 将参数

10、方程（t为参数），转化成普通方程为_参考答案：【分析】将参数方程变形为，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为，两等式平方得，上述两个等式相减得，因此，所求普通方程为，故答案为：.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）已知点A（1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D（1）求直线l1的方程；（2）设BAD的面积为S1，求|BD

11、|及S1的值；（3）设由抛物线C，直线l1，l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1：S2的值为与a无关的常数参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程【分析】（1）由y=2x2，得y=4x当x=1时，y=4由此能求出l1的方程（2）由，得：B点坐标为（a，2a2）由，得D点坐标（a，4a2）点A到直线BD的距离为|a+1|由此能求出|BD|及S1的值（3）当a1时，S1=（a+1）3，S2=1a2x2（4x2）dx=1a（2x2+4x+2）dx=S1：S2=当a1时，S1=（a+1）3，S2=a12x2（4x2）dx=a1（2x2+4x+2）dx=S1：S2=，综上可知S1

12、：S2的值为与a无关的常数，这常数是【解答】解：（1）由y=2x2，得y=4x当x=1时，y=4（2分）l1的方程为y2=4（x+1），即y=4x2（3分）（2）由，得：B点坐标为（a，2a2）（4分）由，得D点坐标（a，4a2）点A到直线BD的距离为|a+1|（6分）|BD|=2a2+4a+2=2（a+1）2S1=|a+1|3（7分）（3）当a1时，S1=（a+1）3，（8分）S2=1a2x2（4x2）dx=1a（2x2+4x+2）dx=（9分）S1：S2=（11分）当a1时，S1=（a+1）3S2=a12x2（4x2）dx=a1（2x2+4x+2）dx=（13分）S1：S2=，综上可知S1

13、：S2的值为与a无关的常数，这常数是（14分）【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意双曲线的性质、导数、定积分的灵活运用，合理地进行等价转化19. (本小题满分10分)已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点 (1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值参考答案：试题分析：解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF

14、与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PFFD；（）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案 (2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.n=.20. 已知直线l的方程为. （1）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1的方程；（2）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程.参考答案：（1）设与直线l：2x-y+1=0垂直

15、的直线的方程为：x+2y+m=0，-2分把点A（3，2）代入可得，3+22+m=0，解得m=-7-4分过点A（3，2）且与直线l垂直的直线方程为：x+2y-7=0；-5分（2）设与直线l：2x-y+1=0平行的直线的方程为：2x-y+c=0，-7分点P（3，0）到直线的距离为，解得c=-1或-11-8分直线方程为：2x-y-1=0或2x-y-11=0-10分21. （本小题12分（1）小问6分，（2）小问7分）所有棱长均为1的四棱柱如下图所示，.（1）证明：平面平面；（2）当为多大时，四棱锥的体积最大，并求出该最大值.参考答案：(1)由题知，棱柱的上下底面为菱形，则，2分由棱柱性质可知，又，故4分由得平面，又平面，故平面平面6分（2）设，由（