810科目辅导班笔记28p

1、810自动控制原理辅导班笔记-钟海秋教授二、系统的数学模型冲响应函数；阶(2)图形表炎:时域响应分析、对系统的三点要求:解析表达：微分方截;传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉二、系统的数学模型冲响应函数；阶(2)图形表炎:时域响应分析、对系统的三点要求:解析表达：微分方截;传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉1自动控制理论的分析方法:时域分析法；频率法；(3 )根轨迹法；状态空间方法；离散系统分析方法; (6 )非线性分析方法图(结构图)；信号流图；零极点分布；频率响应曲线;必须稳定，且有相侈裕量Y和增益裕量么动态品质指标好。S、o% 稳态误差小，精度高二、结构图简化梅逊公式 例1、 解：方

2、法一：利用结构图分析: 外）=冲）-zA）+作）=）-作）-1七）KKG（S）= M方法二：利用梅逊公式A=i-艺a + Zz人-tw. 其中特征式Z=1 J，k=i心，/=i式中：U为所有单独回路增益之和为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之:其中,Pk为第其中,Pk为第K条前向通路之总增益;为从中剔除与第K条前向通路n为从输入节点到输出志長6纏触4勺项;a路数目对应此例，则有:= 1 + Gfir2特征炎(1 + GyG: + GG3例2: 2002年备考题方法二：用梅逊公式于是:通路：P1=G方法二：用梅逊公式于是:通路：P1=G5G6G1G2A = 1 - - G3G2H Gfi2G3

3、H解：方法一：结构图化简继续化简:于是有:结果为其中二刪=1(1)参考输入引起的误差传递函数：及1 + (邱; 二 扰动引起的误差传递函数：外)1+GH(2)求参考输入引起的稳态误差时。可以用kp、氏、&叠加，也可以用终 lim s - G) 值足理：w 八7limy E (*y)求扰动引起的稳态误差时，必须用终值定理：趴对阶跃输入：=7?(5)= ssr TOC o 1-5 h z 如r(Z)=a，l(Z)，则S.,(5)对斜坡输入：K=SGS(、及(0 = y essr = 如f，则 S，Kv5-0(6 )对抛物线输入:Kp =眄 _ r(t)=-t2x)=45-0CQ 柳Ka如 2CQ

4、柳Ka.解：结构图化简:继续化简，有:令4)=0，求外0,令外)=0,求外)例3:求：,令#60=0，求_)，今R(s、=当#G)= 0时，戎 求得oJ；当Av)= 0时，有为了完全抵消干扰对输出的影响，则L4解：求用用梅逊公式：= 1, A J = 1 + A：G 2為=1 = -rKGiG2-KG + KG1G2 + KGi则：lKG+KG.,同理求得 若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。2V2八=nv/艸 TV/M一 1 + XO2即蛛)=0，故及(5)1 +码6+叫=0，所以一 G1例5: 2002年题例5: 2002年题4其中蛛恭2s% + 2) r和n分别是参考动

5、输入C9求误差传递函数Rs)和M5)； fvJ是否存在nl 0和n2 0,使得误差为零？设r和n皆为阶跃输入，若误差;此时的nl和n2解：2V0 1+Gfi. N 2V0 1+Gfi. N 为负77?(5)1 + Gfi2r(t)=l因为汐0,要求&=G，则nl+n2=lr (t)=t,r(t)=l因为汐0,要求&=G，则nl+n2=l + 4X5 + 2)+7C(5 + l)?则)=lims.么穴.jV(5)= lims- - = 4 7 MO N(s) V 7 一 Ns) s M匀二而事实上：N、s、5(5 + 4X5 + 2)+(5 + l)essn = lims E(s) = lims

6、. N(s) = lims 丄=0ssnv 70 Ns)2V(5)5可见积分环节在部分中，而不在久中。故nl=l，n2=0。就可以实现要求例6:如图，当 r（z）= sin 0 + 15）-2 cos（3-20 ）时，求稳态输出解：应用频率法:姊A则四、动态指标化(A=5% 或 2%)例7:K/1y% = 30%，试确定参数K, T。2s5（2）cos卜，e越大，和 7V-U解：25 =则解：应用频率法:姊A则四、动态指标化(A=5% 或 2%)例7:K/1y% = 30%，试确定参数K, T。2s5（2）cos卜，e越大，和 7V-U解：25 =则7% = exi51-f亍， 二阶系统传递函

7、数的标准形： 八巧 二阶系统传递函数的标准形： 八巧=n40 ?+2我+Ts2 + s + Ks2 + s / T + K / T s2 + 2,可得f? , T=?例8:求： 选择，O%20%, ts=l. 8 秒（A = 2%） 求 并求出时的稳态误差解：由a% 20%，则/女=i=。Rs) s2 +KiKts + K1 s2 +2a)ns + a)n2 exp - - 20% I，求得P,求得相0K) + Kt=Kt由传递函数:K p = lini Gq(5*)= r5 -01 +频率法当 r(0= !(0+则，输入是正弦信号，稳态输出。如：4）=4 sin 卜 sin+zr哉L二、.惯

8、性环节Z G (j(o )= - tan -1 (Teo )， 0。一 -90556? Vl + T2co2A G ja）= _ 90 0 _ tan （T（D）贝ij - ty :0 - +00 ，（6?） - 9 0o - -18 O0，A（p）y oo 4 0注意：叫，因为么（）=么=么（） = 一 90 - tan-1（To）K（ri + 1X2 + 1）,（如图3）则 4*刎-=-=KZ 一 tan-1 Tra）- tan1 T2（一 / 4+fc+1）?（如图4）Qy4仍 W（仞）=-j :、2.之一- tan1 T2.純崎求wi 0因- 9CPtail4 TJ-tan1 T2cd

9、=-tan1 忑妍 tarf1 T2g）=9CP:两边取正切;Z： 00 = 6Z2 =/，其中 T t2 （如图5）K增益裕量：. 1g相位裕量：/ = 180 ” （），如图6注意：用求 K;用 tan -GO.)=180。求 wl。卿+ 1)例 1: 5(7；5 + lX7；5 + l)? tiT2，K=10?作出波德图例2: 2002年题1求：(1)写出开环传递函数计算系统的相位裕量和增i裕量做出G。()的Nyqu i s t曲线，并分析闭环系统的 解:咖-咖+1)沒=2，因为幅频特性曲线_1=0. 5和w2=10时发生转折，显然w=2时，可见图中tan-14 - tan-12 =相位

10、裕量:因为：则Z=0，N=0? P=0。符合Z=P+N，故稳定9,则曲线只在wl=0. 5发生镑折 = 1=K = P到w2=10。故w2=10不发生作用，所以一 52（0.k + l）1 0.1 = 2a）i = 0.1 = = 0 = oo三、Nyquist判据Z为闭环右半平面根数，P为开环右半平面根数，N为包围-1圈数，顺时 针为正，逆时针为负。当符合Z=P+N是系统稳定。其中Z=02222例3:柳=本穿;解：奈氏曲线如下图。N=2，P=0，Z=N+P=2共0，故不稳定。例4: G(5)、2(tM,如图：N=2, P=0, Z=N+P=2 共 0,故不稳定。例5: l + G0()=4+

11、2+552+65 + 10 =判断系统是否稳;分析：判断稳定性，用劳斯判据:相邻系数必须为正，不能缺项如:1 + Go（5）= Ts3+s2+K = 0显然蛛务，丈不稳定。 劳斯阵列第一列全为稳定。如果有一个负数，则变号2次，即系系统如式，5 ： 6统有2个有根，不稳L点，则劳斯阵有一行全为0，此行的上一行为辅助多项么可求出与虚轴的交点坐标。如3V + 25 + 6 = 0 ,劳斯阵为：u，则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为:3?+6 = 0=气2 = 72；,则与虚轴的交点为土相解：劳斯阵:。 2510，可见系统不稳定，有两个右根。 解：劳斯阵：20s解：劳斯阵：20sQWOO

12、O5(5 +例 6:+ G (s)= s4 + 2s3 + 5 s2 + 10 s + 20 =0，因为此处0不能往下计算，换成S。10-0o且do时，故系统不稳定。2002年备考题单位反馈系统，开环传递函数_1要求: 画出对数幅频特性，求咚，判断系统稳定性。 加入矫正装置，使呀扩大一倍，求矫正后系统传d目位裕量。0.001 53+52+100 = o,缺项，则系统勿|定。ZG（j）= -180 - 加入矫正装置，使呀扩大一倍，求矫正后系统传d目位裕量。0.001 53+52+100 = o,缺项，则系统勿|定。ZG（j）= -180 -扩-邊二-190。也可由加Z/ = 18 0 o + Z

13、 G(jyc)判定系统不稳定O也可由零椒点）B 不稳定。f 是历1,即(O.OLy + l)、zu ,二-180 + tan 1tan1 0.01x20 = -160历i（wi可由图中按比例读出），则 =180O+ZGr20o解： 开环传递函数应由所给的零极点形式化成_常数形式: G腳（52_5 + 1）,由作图可得判据可知，例8: T ?利用基本概念，不用计算 Gc(s)= K(rS+l(r T),贝，J丄故： Ka解:士0.01 w5-s其中疒为相几条规则：实轴上的根轨迹根轨环放大倍数一、定义:_随参数r其中疒为相几条规则：实轴上的根轨迹根轨环放大倍数一、定义:_随参数r而变化的轨迹，称为

14、根轨迹。闭环特4卜条件.LmZG0(5)= 2,(最小相位系蜂最小相位系统右边有奇数个零极点时，有根轨迹 非最小相位系统右边有偶数个零极点时，有根轨迹 根轨迹条数=?又(n，m )，起点为开环极点(= G )，终点为开环零点( )n-m渐进线条数：(n-m)条，与实轴交点坐标：1n-m,(2/t+lXn-m、奶=n-m与实轴夹角：分离点与会合点:使ds，并使尺*0的点复数极点出射角:epX = is0 2零点至极点的向量辐角对非最小相位系统OpX =零点至极点的向量辐务其他极点至该极点的向量辐-x其他极点至该极点的向量辐角复数零点的入射角:分离点与会合点:使ds，并使尺*0的点复数极点出射角:

15、epX = is0 2零点至极点的向量辐角对非最小相位系统OpX =零点至极点的向量辐务其他极点至该极点的向量辐-x其他极点至该极点的向量辐角复数零点的入射角:量辐角+对非最小相位系统与虚轴交点:用辅助方程求得(b)5(5 + lX + 2)I极点至该零点的向量输Oz = 180 - Z其他零点至该零点的向0zl 其他零点至该零点座(a)用劳斯参闭环特征方程，由实部=0,虚部=o求得 K由1+由1+咖+ 2)一 0，则尺=一介+咖+ 2)，HM?+fc + 2)=0dsds,dsI-11 + 1-21., 12/t + IX na = -_L = 一1 (p = 土 = 一，苽解：渐进线(3条

16、)：3-0，33K* 1 - 1 -52 =-1.577,* =-0.385与虚轴的交点：方法一53 + 3s2 + 25 + = 0 ,劳斯阵:要与虚轴有交点，则有一行全零，3 K2- = 0=K = 6 * 1 - 1 -52 =-1.577,* =-0.385与虚轴的交点：方法一53 + 3s2 + 25 + = 0 ,劳斯阵:要与虚轴有交点，则有一行全零，3 K2- = 0=K = 6 即 3辅助方程：3?+6 = 0，尸办方法二将* = 代入特征方程： 为耶：八一）仍=ur-K = 6,6? = 2虚部：2a） 3a） = 05例2:分离点与会合点:_)2故:5464，可见根轨迹是圆

17、弧。 = 0e解：渐进线一条。出射命J则与虚部的交点=j，K=6根轨迹tan _1 V2 - tan令 140。证明：取圆弧上一点S = C7 + j。.-1 G)_!2a)+ 2(70)1ono=tantan ；= 180（应用辐角条件）(T + 2 c co + 2 o + 3（应用辐角条件）两边取正切:Z 十 ZCT 一厶十厶OW1_Z十Z 十 ZCTcr + 2 cr2 -52闭环特征方程为5例4:，有一个分离点s1（3人）2 -16/0,解得f9或解：结构图化简，有：1+=0=52闭环特征方程为5例4:，有一个分离点s1（3人）2 -16/0,解得f9或z 1 +也可以由s +k，由

18、此画& （1斗化）=0，画尺1根（4=-5 = 0 52（5 + 6Z） A =解：5 + 1s = -+a 则： a=f；当al时，显然不稳定。当a9时，如取a=10,贝，3-1,土 V13 - 10U _ 1US i ,.二二二 -+ _:：，、: _ I*4 4，根轨迹如上图。离散系统分析方法一、采样定理镜像作用，采样频率二、开环脉冲传递函数斗厂IzAr-丄t(z_l) z-1 z e中:八=W/闭环a )1 + Got),特征方程.厶“op/(z l)(z 0. -r v.uM-yy1 + Gq (z) = 0 即 z2 + (0.368足-1.368)z +(0.264 JWW68)

19、= 0g)+ 1判断稳定性：用双线性变换戶将其代入特征方程中，再用劳斯判据。理如果K给定，则直接解特狂方1z|l则稳定，若|z|l则不稳定。Q)G0(z)= zc(5)?7i)=iu=i=3判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自激振荡如何调整?解：乃加、疋做疋/1如、/1、做此o xAx5/|、做疋,UX 乂稳定.减小&使两者不相交，或调整a、6使两者不相交。两者相切时，即频率特性G(jw)的虚部等于-1/N，B点稳定，A点不稳定。 匕时， x 稳定；0 x 不稳定李雅普诺夫稳定性理论李氏稳定判据一、李氏第一方法：线性化方法A (12.线性系统平衡状态只有一个; I “J n“J n 线性系统平

20、衡状态只有一个; I “J n“J n dxx dx2非线性系统平衡状态有多个。雅可比矩阵:n加nx=xe，判断其稳定性用特征多项式1然后用劳斯判据。如果线性系统稳定，则非线性系统稳定；如杲线性系统不稳定，则非线性系统不稳定。CV不稳定，则非线性系统不稳定。如杲处于稳定边界（有纯虚根），则不能判定非的稳定性。 7（x）= xTPx,P为正定对称矩阵，则y（x） 0；如0,则大范围稳定 李氏直接方法：1克拉索夫斯基方法；2 量梯1法（不考）若：（中至少有一个实部为0,则此方法失效。先用线性化方法：dxx = xe 0若：（中至少有一个实部为0,则此方法失效。先用线性化方法：dxx = xe 07

21、2二、对非线性系统在平衡状态fcx性问题的解题步骤:，由= o得，5i = 21552 =，则系统在平衡状态心处是不稳定的; 0 ,则系统在平衡状态么处是渐进稳定的。否则，用克拉索夫斯基方法：+司当嘛定时，dx hc_ LAWQ（x） =+司当嘛定时，dxx dxx J即当主子式均大于零时，且当ll00时，有:w -，则系统在平衡状态4 =Q处大范围渐进稳定。最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数V(x)，例如:F(x) = Xi+x 要求v(o)=o，x*o，v(x)O。步骤：1、构造 (X最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数V(x)，例如:F(x) = Xi+x 要求v(o)=o

22、，x*o，v(x)O。步骤：1、构造 (X) = X1+X2;2、7(x)=2xlxl + 2x2x2 ?将毛代入，若咖)为负定，半负定,lxiH 厂(幻3。则系统在处大范围渐进稳定。例1: 使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点知稳定性。X = - X, + x2 - Xj 3 , X 2 = X y X 2 - X 2 3解：线性化方法失效，则只好用克拉索夫斯基方dx L 1_1_5x24_,贝4i“A2 + 102-40 . 0(x)正定.主子式 2 + 6x/ 0时，有围渐进稳2 _ X/ ) + 2 - )x j - 3 x 3, x 2 = x j + x 2 - 5 x 2

23、3=- 00，故此系统在原点处大范例乂2001年题6试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。MA = i dx1V11)01 XV= 0_ 1 1_1 1 -1 卜 1 ， *=/一 1 = 0解：用线性化方法:则= 1,S2 = 1，故系统在原点处不稳定状态空间分析方法一、模型的建立贝F + （y Q - y - ky = my , 艮p rny + cy + ky = F + cvQ . kxx cx2 Fx2 = y =- + x1 = y,x2 = y ?贝,j Lm m m;0im如对少（n） +（n-1）+ + an-xy + ny = bxu ?令一 一 人

24、1 _ wn-l 人 2“1 人n 丁则输出方程：=L w” 一 W-1或 j/ = l 0 oxulJ例1:由传递函数来求G（5）=鉍）则y =snQ（s）=U（s）-lSn + 6Zj5f 1 + +145 +175 +ZU遡= AU（s） sn + axs0=y，x2 = y,. xn =A.A昨），则 = bQsm -bm_s + bmLi例2:有:an-lX2aiXn ?即-i “1 L1bQ 00 x帶?+7?+16川2 =人3 丁 u7 = 2XlX2+53 即：L v7 = 2可见-2为重根，则此为约当标准型。-1丄+2 +（5 + 2）2-1 5x3+5 + 3 LXJ约当块对应B阵中的行中有一列不为零，则能控；约当块对应C阵中的列中有一列不为零，则能观。二、对=型题的解答步骤:判断系统稳定性：i5/ = 0,得么=又2，.，若又1 0，又2 0.稳定，否则系统不稳定。能控性判别矩阵:Ab A2b XpX若HM)=n，即满秩，为完全能控，否则不完全能M =b Ab，M = b，为完全能观，否则不完全能观。注意:，如果A是对角阵且没有若b中对应的值不为0中对应的值不J如果A状渤反馈：条件所调整的极