22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式-2022-2023学年九年级数学课件（人教版）

1、22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式学习目标1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；(难点）2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式1. 一次函数 y = kx + b (k0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2. 求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1) 设：解析式(2) 代：坐标代入(3) 解：方程(组)(4) 还原：写出解析式知识回顾22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式探究归纳 问题 (1) 由几个点的坐标可以确定二

2、次函数？这几个点应满足什么条件？3个由两点 (连线不与坐标轴垂直) 的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式.讲授新课(2) 如果一个二次函数的图象经过 (1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式故所求二次函数解析式为 y = 2x2 3x + 5.(2) 解：设所求二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c.由函数图象经过 (1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组解得

3、22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上，其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴.22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10) 三点，求这个二次函数的解析式.解： 设这个二次函数的解析式是 y = ax2 + bx + c，由于这个函数经过点 (0，1)，可得 c = 1.又由于其图象经过 (2，4)、(3，10) 两点，可得4a + 2b + 1 = 4，9a + 3b + 1 = 10. 所求的二次函数的解析式是解得22.1.4.2用待定

4、系数法求二次函数的解析式 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是： 设函数解析式为 y = ax2 + bx + c； 代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组； 解方程组得到 a，b，c 的值； 把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式.归纳总结22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式 已知二次函数 y = a(x 1)2 + 4 的图象经过点 (1，0)，求这个二次函数的解析式.试一试则函数解析式为 y = (x 1)2 + 4，即 y = x2 + 2x + 3.解：把 (1，0) 代入二次函数解析式得 4a + 4 = 0，即 a = 1.22.1.4.2

5、用待定系数法求二次函数的解析式例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的解析式.解： 这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)， 可设其解析式为 y = a(x - 8)2 + 9.由其图象经过点 (0，1)，可得 1 = a(0 - 8)2 + 9. 解得 所求的二次函数的解析式是 即22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式归纳总结这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法. 其步骤是： 设函数解析式是 y = a(x - h)2 + k； 先代入顶点坐标，得到只含一个参数 a 的解析式； 将另一点的坐标代入解析式求出 a 的值；

6、将 a 用所求得的值换掉，写出函数解析式.22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式解： (-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的交点， 可设这个抛物线解析式为 y = a(x + 3)(x + 1).再把点 (0，-3) 代入上式得 a(0 + 3)(0 + 1) = -3，解得 a = -1. 二次函数的解析式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.问题 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的解析式. xyO12-1-2-3-4-2-4122.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式归纳总

7、结 这种已知抛物线与 x 轴的交点，求解析式的方法叫做交点法. 其一般步骤是： 设函数解析式为 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； 将抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于 a 的一元一次方程； 解方程得出 a 值； 将 a 用所求得的数值换掉，写出函数解析式.22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式(1) 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2；解： 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2， 图象经过另一点 (3，0).故可设该二次函数的解

8、析式为 y = a(x 1)(x 3).将点 (0，3)代入，得3 = a(0 1)(0 3)，解得a = 1. 该二次函数的解析式为 y = (x 1)(x 3) = x2 + 4x 3.22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式(2) 图象顶点坐标是 (2，3)，且过点 (1，3)；解： 图象的顶点为 (2，3)，且经过点 (1，3)， 可设抛物线的解析式为 y = a(x + 2)2 + 3.把 (1，3) 代入，得 a(1 + 2)2 + 3 = 3.解得 抛物线的解析式为即为22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式(3) 如图，图象经过 A，B，C 三点代入可得解得 该二次

9、函数的解析式为 y = x2 2x 3.解：根据图象可知抛物线 y = ax2 + bx + c经过 A(1，0)，B(0，3)，C(4，5) 三点，22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式当堂练习1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 与 y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-421-1345 .22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式2. 若抛物线过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其解析式为 .顶点坐标是

10、(1，6)y = -2x2 + 4x + 422.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式3. 已知二次函数的图象经过点 (1，5)，(0，4) 和 (1，1)求这个二次函数的解析式解：设这个二次函数的解析式为 yax2 bxc.依题意得 这个二次函数的解析式为 y2x23x4.abc1.c4，abc5，解得b3，c4.a2，22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式4.下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分： x321012y0103815试求出这个二次函数的解析式. 22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 三点，试求

11、出这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式是 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入 y = ax2 + bx + c 得9a - 3b + c = 0，a - b + c = 0，c = -3.解得a = -1，b = -4，c = -3.所求的二次函数的解析式是 y = -x2 - 4x - 3.22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式5. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A(1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的解析式解： 点 A(1，0)，B(1，0) 是抛物线与 x 轴的交点， 可设此函数的解析式为 y a

12、(x1)(x1)又抛物线过点 M(0，1)， 1 a(01)(01)，解得 a 1. 所求抛物线的解析式为 y (x1)(x1)，即 yx2 1.22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式 6.已知一个二次函数有最大值 4，当 x5 时，y 随 x 的增大而 减小；当 x5 时，y 随 x 的增大而增大，且该函数图象经过点 (2，1)，求该函数的解析式解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为 (5，4)，设解析式为 y = a(x 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4，解得 二次函数的解析式为即22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式7. 如图，抛物线 yx2

13、bxc 过点 A(4，3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x3，请解答下列问题：(1) 求抛物线的解析式；解：把点 A (4，3) 代入 yx2bxc，得 164bc 3，即 c4b19. 对称轴是 x3， 3，即 b6. c5. 抛物线的解析式是 y x26x5.xyOx = -3AB22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD8，求BCD 的面积解： CDx 轴， 点 C 与点 D 关于 x3 对称 点 C 在对称轴左侧，且 CD8， 点 C 的横坐标为7. 点 C 的纵坐标为 (7)26(7)512. 点 B 的坐标为 (0，5)， BCD 中 CD 边上的高为 1257. BCD 的面积为 8728.xyOx = -3AB22.1.4.2用