《离散数学》期末复习题答案-53551553740738151

1、离散数学期末复习题参考答案一、填空题（每空 1 分，共 20 分）1、集合A 上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。3、集合A=b,c，B=a,b,c,d,e，则AB=a,b,c,d,e。4、集合A=1,2,3,4，B=1,3,5,7,9，则AB=1,3。5、若A 是2 元集, 则 2A 有 4个元素。6、集合 A=1,2,3，A 上的二元运算定义为 b = a 和b 两者的最大值，则2*3=3。7、设A=a, b,c,d, 则A= 4 。8、对实数的普通加法和乘法， 0 是加法的幂等元， 1 是乘法的幂等元。9、设a,b,c 是阿贝尔群

2、的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。13、如果p 表示王强是一名大学生，则p 表示王强不是一名大学生。14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。15、量词分两种：全称量词和存在量词。16、设AB 为集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集。17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。1、设A=a, b，则 (A)a，b，a, b。19、代数系统是指由集合

3、及其上的一元或二元运算符组成的系统。20、设是代数系统，其中是*1,*2 二元运算符，如果*1,*2 都满足交换律、结合律， 并且*1 和*2 满足吸收律，则称是格。21、集合A=a,b,c,d，B=b ，则A B= a, c,d 。22、设A=1, 2, 则A= 2 。23、在有向图中，结点v 的出度deg+(v)表示以 v 为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以 v为终点的边的条数。24、一个图的欧拉回路定义为一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。25、不含回路的连通图是树。26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US 规则)、全称

4、推广规则 (UG 规则)、存在指定规则 (ES 规则) 、存在推广规则 (EG 规则)。二、判断题（每题 2 分，共 20 分）1、空集是唯一的。2、对任意的集合A，A 包含A。3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图G 中，与顶点v 关联的边数称为点v 的度数，记作deg(v)。6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,*）是代数系统，aA，如果a*aa，则称a 为（A，*）的等幂元。9、设 f：AB， g：BC。若f，g 都是双射，则gf 不是双射。10、

5、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设f：AB， g：BC。若f，g 都是满射，则gf 不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把与n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用A 表示“是

6、个大学生”，c 表示“张三”，则A(c)：张三是个大学生。26、设F,，则 F-1 ,。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f：AB， g：BC。若f，g 都是单射，则gf 也是单射。三、计算题（每题 10 分，共 40 分）1、设A=c,d, B=0,1,2，则AB=,，BA=,。2 A = a,b,c 1,2 = , 。3A = a,b,c，AA = a,b,c a,b,c =, 。 4、符号化命题“如果 2 大于 3，则 2 大于 4。”。设 L(x,y)：x 大于 y， a：2， b：3， c：4，则命题符号化为L(a,b)L(a,c)。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟

7、跑得快”。y G(y)H(x,y)。6、符号化命题“2 是素数且是偶数”。设 F(x)：x 是素数。 G(x)：x 是偶数。 a： 2，则命题符号化为F(a)G(a)。7A=a,b,c,dR是AR=, ,，写出A 上二元关系R 解：R 的关系矩阵为：110010001010101010111018A=1,2,3,4R是AR=, ,，写出A 上二元关系R 解：R 的关系矩阵为：110010001010101010111019、设有向图G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。deg(v1)3，deg+(v1)1，deg-(v1)2； deg(v2)deg+(v4)deg-(v2)0； deg(

8、v3)3，deg+(v3)2，deg-(v3)1； deg(v4)2，deg+(v4)1，deg-(v4)1；10、设有向图G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。答：deg(v1)3，deg+(v1)2，deg-(v1)1； deg(v2)3，deg+(v2)2，deg-(v2)1； deg(v3)5，deg+(v3)2，deg-(v3)3； deg(v4)deg+(v4)deg-(v4)0； deg(v5)1，deg+(v5)0，deg-(v5)1；11、设无向图G 如下所示，求它的邻接矩阵。011A(G) 01110101010101012、求命题公式(pq)的真值表。pqqpq(p

9、q)0010101001101101100113、设=，求 x，y。解：由定理列出如下方程组：2x y 10 x 3y 5求解得x=5，y=0。14R1R2 是从1, 2, 3, 4, 到2, 4, R1, , ,，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。解 ：domR1=1, 3, 5，ranR1=2, 4, 6，fldR1=dom R1ran R1=1, 2, 3, 4, 5, 6； domR2=1, 2，ranR2=4, 6，fldR2=dom R2ran R2=1, 2, 4, 6 。15、设A=1, 2, 3, 4, 4, 5, C=1, 2, B

10、 的关系R=x, 到C的关系S=|yz=2，求 RS。 5, , , S=, , 5, RS=, , S RSS RS；因R，S，所以 RS；从而 RS=, , 16A=a, b, 2, 3, 4, 是A A 到B R=, , , , ，S=, , , , c, RS，S1R1 RS=, , , , , , (RS)-1=, , , , , , R1=, , , , ，S1=, , , , S1R1=, , , , , , 。17、A1, 2, 3, 4, 5, 6，D 是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。464625311 是A 、6 都是A 的极大元。18 上的关系

11、R=, , R s(R)=,t(R)=,19、求下图中顶点v0 与 v5 之间的最短路径。7vv71312v253v0514vv6124解：如下图所示v0 与 v5 之间的最短路径为：v0, v1, v2, v4 , v3, v5最短路径值为 1+2+1+3+2=920、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。先根遍历：ABDEHCFIJGK 中根遍历：DBHEAIFJCGK后根遍历：DHEBIJFKGCA四、证明题（每题 10 分，共 20 分）1、若R S 都是非空集A 上的等价关系，证明R S 是A 上的等价关系。 aA，因为R S 都是A 上的等价关系，所以xRx 且x

12、Sx。故x R S 。从而R S 是自反的。 a,bA，aR Sb，即aRb 且aSb。因为R S 都是A 上的等价关系，所以bRa bSa。b R S a。从而R S 是对称的。 a,b,cA，a R S b b R S caRb，aSb，bRc bSc。因为R 和S 都是A 上的等价关系，所以aRc aSca R S c。从而R S 是传递的。R S 是A 上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。H(xx M(xx x)(H(xM(x)H(sM(s)证明： (x)(H(x)M(x)P H(s)M(s)US H(s)P M(s)、3、PQ，Q R，R，S P

13、S证明：R前提QR前提(3)（1），（2）(4)PQ前提(5)（3），（4）(6) SP前提(7)S（5），（6）4、在群中，除单位元 e 外，不可能有别的幂等元。e aG a=ea=(a 1 a)a=a 1(aa)=a1 a=e， a=e。6、证明：(QS)R)(S(PR) = (S(PQ)R.证明：左边：(QS)R)(S(PR)=(QS)R)(S(PR)=(QSR)(SPR)=(QSR)(SPR)右边：(S(PQ)R= (S(PQ)R= (S(PQ)R= (QSR)(SPR)所以 (QS) R)(S (PR) = (S(PQ)R.7、设 I 是整数集合，k 是正整数，I 上的关系R|x,

14、y I，且 xy 可被 k 整除， 证明R 是等价关系。证明：(1) 对任意的x A，有xx=0 可被k 整除。所以 R，即R 具有自反性。对任意的 y xy k ，则yx=km， 可被k R，即R 具有对称性。 z xy k k 整除， xy=km，yz=kn，则xz=k(m+n)，即xz k R，即R 具有传递性。综上所述， R 具有自反性、对称性和传递性，故R 是等价关系。8、证明：(pq)r) (qp)r)p(qr) r(qp) 证明：(pq)r)(pq)r)/蕴涵等值式(pq)r/蕴涵等值式(p(q)r/德摩根律(qp)r)/交换律p(qr) r(qp)p(qr)p(qr)r(qp)

15、/结合律与交换律r(qp)/蕴涵等值式r(qp)/9(PQ) (PR) (QS)SR 证明：PQ已知前提(2) PQ由(1)(3) QS已知前提(4) PS由(2) 和(3)(5) SP由(4)PR已知前提(7) SR由(5) 和(6)(8) SR由(7)10、证明P Q，QR，RS P证明用反证法，把(P)作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。(P)反证法附加前提(2)P由(1)(3)PQ已知前提(4)Q由(2)和(3)(5)QR已知前提(6)R由(4)和(5)(7)RS已知前提(8)R由 (7)(9)RR由(6)和(8)，矛盾11、证 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x)CP 规则：要证SRC ，也就是证明(SR) C(1) (x)P(x)前提引入(2) (x)P(x)由(1)(3)